注重数学本质聚焦通性通法提升核心素养——从2021年新高考Ⅰ卷中的极值点偏移问题说起

甘肃省清水县第六中学(741400)何少杰

2021年新高考全国Ⅰ卷压轴题中又出现了极值点偏移问题,追溯起来的话近十年高考压轴题中反复出现极值点偏移问题,分别在2010年天津卷、2011年辽宁卷、2013年湖南卷、2016年全国Ⅰ卷.而各地模考中此类问题更是层出不穷,作为压轴题自然综合性强、难度大,多数考生难以突破,在考试过程中会直接放弃,而要突破这一难题就要掌握解决此类问题的通性通法.何为通性通法? 文[1]中章建跃先生认为:“通性”就是概念所反映的数学基本性质;“通法”就是概念所蕴含的思想方法.我们从极值点偏移问题说起.

一、极值点偏移问题的通性

1.极值点偏移问题产生的背景

当二次函数f(x)=ax2+bx+c(a /= 0)的图象与直线y=m交于A(x1,m)、B(x2,m)两点时,线段AB的中垂线必过f(x)的极值点,即当f(x1)=f(x2)时,恒有,则称极值点无偏移.因为二次函数的轴对称性,二次函数的极值点无偏移,但对多数给定区间内的单极值点函数f(x)而言,因在极值点两侧函数的“增减速率不同”,图象就不是轴对称的.即当f(x1)=f(x2)时,常有,则极值点发生偏移.

2.极值点偏移的定义

一般地,若连续函数f(x)在[a,b]有唯一的极值点x0,对于任意的x1,x2∈[a,b],当f(x1)=f(x2)时,有,则称函数f(x)极值点偏移.

3.极值点偏移的类型及图示

图1

图2

图3

图4

4.极值点偏移问题在高考题中的设问形式及推广

高考题中出现最多的是形如“x1+x2＞2x0(或＜2x0)”的设问形式,比如2010年天津卷、2013年湖南卷、2016年全国Ⅰ卷以及2021年新高考全国Ⅰ卷;2011年辽宁卷中出现了形如“＞0(或＜0)”的设问形式,除以上设问形式外,还可将设问形式推广为证明:

(3)f′(x1)+f′(x2)＞0(或＜0);

(4)x1x2＞某常数(或＜某常数);

(5)lnx1+lnx2＞某常数(或＜某常数);

(6)ex1+ex2＞某常数(或＜某常数);

二、极值点偏移问题的通法

极值点偏移问题是近年高考考查的热点问题,经过大量的研究应用,破解此类问题的技巧已经成为通法,下面举例进行阐述.

1.构造对称函数法

我们有这两点基本的认识:第一,如果函数f(x)满足f(x)=f(2a-x),则f(x)图象关于直线x=a自对称;第二,函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a互对称.这里要构造对称函数依据的是第二点.

要判断函数f(x)是否关于直线x=a自对称,可以通过构造f(x)关于直线x=a的对称函数f(2a-x),然后比较两函数在极值点同侧是否完全相同即可作出判断.基于此,可以得到极值点偏移问题最基本、最奏效的破解策略——构造对称函数法.

例1(2021年新高考Ⅰ卷第22 题节选)已知函数f(x)=x(1-lnx),设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:.

解析可知f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,x= 1 为f(x)的极值点.blna-alnb=a-b可变形为不妨设且x1＜x2,易知0＜x1＜1＜x2＜e,则f(x1)=f(x2).下证2＜x1+x2＜e.

先证x1+x2＞2.构造函数g(x)=f(2- x)=(2-x)(1-ln(2-x)),(x ＜2)(如图5 虚线所示),下面比较f(x)与g(x)在极值点左侧的大小,令h(x)=f(x)-g(x),(0＜x ＜1),h′(x)=-lnx-ln(2-x),h′(x)＞0,故h(x)在(0,1)上单调递增.则h(x)＜h(1)= 0,即当0＜x ＜1时,f(x)＜g(x).因为0＜x1＜1,由f(x1)＜g(x1)得f(x2)＜f(2-x1),又x2＞1,2-x1＞1,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,故x2＞2-x1,即x1+x2＞2 得证.

图5

在极值点偏移问题中,构造对称函数解设问形式形如“x1+x2＞2x0(或＜2x0)”的题目时非常有效,它的实质是利用原函数的单调性解抽象不等式,所以对原函数做到“心中有图”,是顺利解题的不二法宝.需要注意的是,通过高考题及模考题的广泛运用,这种技巧已经被固化成了一种通法,要明确构造的目标是解抽象不等式,所以当题目出现形如的设问形式,也就不难想到应该构造函数类比以上解法破解题目.

类题演练(2016年高考全国Ⅰ卷第21 题节选)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点x1,x2.证明:x1+x2＜2.

2.比值换元法

对于含对数式的极值点偏移问题,可以考虑依据已知条件f(x1)=f(x2)列方程组,尤其当原函数中含有参数时,通过两方程作差或求和可消去参数,将问题转化为只含x1,x2的双变量问题,再利用比值换元(即),构造关于t的

再证x1+x2＜e.构造函数u(x)=f(e- x)=(e-x)(1-ln(e-x)),(x ＜e)(如图6 虚线所示),下面比较f(x)与u(x)在左侧的大小.

图6

令m(x)=f(x)- u(x),m′(x)=-ln(ex - x2),易知函数m′(x)在上单调递减.又由零点存在性定理,存在使得m′(x0)= 0,则m(x)在(0,x0)上单调递增,在上单调递减,又x →0+时,m(x)→0,故当时m(x)＞0,即f(x)＞u(x),因为由f(x1)＞u(x1)得f(x2)＞f(e-x1),又x2＞1,e-x1＞1,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,故x2＜e-x1,即x1+x2＜e 得证.

点评通过上例,可以归纳出构造对称函数法的具体解法步骤:

(1)求f(x)在[a,b]的极值点x0;

(2)构造f(x)关于直线x=x0的对称函数g(x)=f(2x0-x);

(3)比较直线x=x0一侧f(x)与g(x)的大小(常作差比较,有时也可利用不等式直接比较),得到抽象不等式f(x)＜f(2x0-x)(或f(x)＞f(2x0-x));

(4)利用f(x)在极值点一侧的单调性,去掉符号“f”,得到结论.函数解题.

例2(2011年高考辽宁卷第21 题节选)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x,若函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f′(x0)＜0.

解析不妨设A、B两点横坐标分别为x1,x2,且x1＜x2,则要证f′(x0)＜0,即证2ax+2-a,故只需证因为f(x1)=f(x2)= 0,所以两式相减得故所以需证即证令只需证g(t)＞0,因为故g(t)在(1,+∞)上单调递增,即g(t)＞g(1)=0.

类题演练已知函数f(x)= lnx-ax,若x1,x2是函数的两个零点,且x1＜x2,证明:x1x2＞e2.

3.差值换元法

对于含指数式的极值点偏移问题,可以考虑依据已知条件f(x1)=f(x2)列方程组,与比值换元法相仿,将问题转化为只含x1,x2的双变量问题,再利用差值换元(即t=x2-x1),构造关于t的函数解题.

例3(2019年武汉调研第22 题节选)已知函数f(x)=x-aex+1(a ∈R)有两个零点x1,x2,且x1＜x2,证明:ex1 +ex2＞2.

解析由题意可得两式相减得,两式相加得故x2+要证只需证即证x1+x2＞0,令t=x2- x1(t ＞0),即证即证(t-2)et+t+2＞0,构造函数g(t)=(t-2)et+t+2(t ＞0),g′(t)=(t-1)et+1,g′′(t)=tet ＞0,故g′(t)在(0,+∞)上单调递增.g′(t)＞g′(0)=0,即g(t)在(0,+∞)上单调递增,得证.

点评上述两种解法如出一辙,都是利用题设条件列出方程组,通过对两方程作差或求和,得到含参数及x1,x2的方程,利用该方程消参得到只含x1,x2的不等式,消参规避了对参数的分析,简化了问题,同时从结论入手,结合分析法证明.而最后利用比值或差值进行换元,其实是一种常见的减元思想,通过换元将双变量问题成功转化为单变量问题,进一步简化了问题.此解法没有分析原函数的图象与性质,而是另辟蹊径构造了关于参数的函数进行分析.这两种解法的亮点是将双变量x1,x2转化为单变量t,但同时也存在一定的局限性,有些题目是无法顺利转化的.

类题演练已知函数f(x)= ex -ax+3a(a ∈R),其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1＜x2,证明:.

4.对数平均值不等式法

例4已知若f(x)=a有两个不等实根x1,x2,求证:.

解析令则g(t)=a有两个不等实根t1,t2,(不妨设t1＜t2),又g′(t)=,故g(t)在上单调递增,在上单调递减,方程g(t)=a有两个不等实根,则且即要证即证只需证由g(t1)=a,g(t2)=a得即两式相减得:lnt1-lnt2= 2a(t1-t2),故即证(化为对数平均值不等式模型),其余步骤同例2.

点评通过适当变形将原问题化为对数平均值不等式模型,将不同的问题化归为同一类型,这样缩短了思维路径,解题过程充分展现了转化与化归的数学思想.

类题演练(2010年高考天津卷第21 题节选)已知函数f(x)=xe-x,如果且证明:x1+x2＞2.

三、极值点偏移问题的演变与延伸

通过演变延伸,在模考试题中已经出现了单调函数拐点偏移的身影,那么什么是拐点偏移?

1.拐点的定义

设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线,且在该点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,则该点为曲线y=f(x)的拐点,其必要条件为f′′(x0)=0.

2.拐点偏移产生的背景

极值点偏移与函数图象的轴对称性相关,而拐点偏移与函数图象的中心对称性相关,比如三次函数图象具有中心对称性,其对称中心恰是拐点,我们就称三次函数拐点不偏移.当函数(本文只针对单调函数)拐点不是其对称中心,即拐点两侧函数的“凸凹程度”不同,函数的拐点就会发生偏移.

3.拐点偏移的定义

一般地,若连续函数f(x)在[a,b]有唯一的拐点x0,对于任意的两个x1,x2∈[a,b],当时,有则称函数f(x)的拐点偏移.当时,拐点x0在[a,b]内向左偏移(如图7);当时,拐点x0在[a,b]内向右偏移.

图7

4.拐点偏移问题示例

例5(2019年深圳市一模改编)已知函数f(x)=其定义域为(0,+∞),若函数f(x)为定义域上的增函数,且f(x1)+f(x2)=-4e,证明x1+x2≥2.

分析可求得(1,-2e)为函数的拐点,由题设f(x1)+f(x2)=-4e 知该题是拐点偏移的判断问题.文[2]给出了拐点偏移的判定方法,但对未学习高等数学知识的高中生而言,站位高,可操作性尚欠缺.既然极值点偏移问题可以构造对称函数破解,而作为极值点偏移问题的延伸,拐点偏移是否也可以通过构造对称函数破解呢?

极值点偏移是构造原函数关于直线的对称函数,究其原因是极值点偏移与函数的轴对称性相关,而拐点偏移与函数的中心对称性相关,不妨构造原函数关于拐点的对称函数一试.

解析,易知当a=1 时f(x)为定义域上的增函数,故则f′(x)=由f′′(x)= 0,得x= 1,知f(x)的拐点为(1,-2e),构造f(x)关于拐点的对称函数h(x)=-4e-f(2-x)(x ∈(0,2))(如图8 虚线所示).

图8

欲证x1+x2≥2,需证x2≥2-x1,即证f(x2)≥f(2-x1),由f(x1)+f(x2)=-4e,即证-4e-f(x1)≥f(2-x1),即证-4e-f(2-x1)≥f(x1),即证h(x1)≥f(x1)在(0,2)上恒成立.即证即证由基本不等式可知

证毕.

类题演练设函数证明:当且f(x1)+f(x2)=-1 时,x1+x2＞2.

四、几点思考

研究分析高考试题既能促进教师对之前的教学进行反思,又能指引教师今后教学的方向,《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确要求:数学高考命题应注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧.所以高中数学教学应该深入数学问题的本质,围绕解决问题的通性通法展开,以下是笔者的几点思考.

1.注重通性通法就要回归问题本源,揭示问题的本质

笔者曾了解过多个班级的学生,学生普遍认为通性通法就是解决问题最一般的思想方法,显然,他们对通性通法的认识已经被局限在了“通法”也就是解题的层面了,其实对通性通法的认识,更多要回归到“通性”上来,只有知“通性”才能会“通法”.数学概念是数学知识的源头,只要回归到问题的本源,充分咀嚼数学概念与定义,认清知识间的规律与联系,解决问题就会变得水到渠成.在教学中最不可取的是,为了让学生少走弯路,急功近利地追求“短期效益”,不揭示题目的本源,不寻找解题思路的逻辑性,简单粗暴地讲“你该怎么怎么做”,并不讲“为什么这样做”,这样的舍去分析过程,直接进行演绎推理的速成式教学,虽节省了时间,学生只机械地学习了解法,却没有理解问题的本质,不光阻碍了学生数学思维的发展,也将学生推进了题海的深渊,学生对知识的理解成了“夹生饭”,对知识的持续性迁移应用更成了一句空话.就如极值点偏移问题中的构造对称函数法,只要通过对“通性”的学习,学生会意识到极值点偏移问题与函数的轴对称性相关,他们自然会理解构造对称函数的原因,也自然而然地会归纳出利用构造对称函数法解极值点偏移的一般步骤,这样学习的知识就活了起来,在处理与之相关的拐点偏移问题时也就不难想到再次利用构造对称函数法了,这样的教学真正使学生得到了“长期利益”.

2.通性通法不是只见树木,不见森林

“巧技”与“通法”之间真的那么泾渭分明吗? 其实不然,任何问题的通性通法都不是静止不变的,随着学生知识与经验的积累与上升,往日学生认为的“巧技”也就成了“通法”,教师绝不能固步自封,抱守题目所谓的标准解法,不做更深入的探究,更不能无视学生的思路与想法,完全否定学生的思维成果,即便学生的想法还不是那么的严谨甚至是错误的.教师要把学生的思维引向更深处,并适时地纠正他们的错误,对学生思维中的闪光点给予高度的评价,经历了知识的螺旋上升之后,晦涩难懂的“巧技”自然会变成“通法”.比如上文中提到的比值换元法与差值换元法,学生在理解构造对称函数法的基础上,进一步认识到极值点偏移问题多涉及多元变量,减元消参思想应运而生,当原函数中有指数式,借助同底数幂的运算性质am÷an=am-n,想到采用差值换元法减元;当原函数中有对数式,借助对数的运算性质,想到采用比值换元法减元.

3.注重通性通法的教学始终着力与提升数学学科核心素养

忽略通性通法的解题教学,教师忽视过程只强调结果,这样的教学让学生失去了接近问题真相——本质的机会,让解题只是停留在解题层面上,在训练学生思维,提升核心素养方面徒劳无益.而相反,在注重通性通法的数学教学中,通过对问题通性的学习及典型例题通法的训练,学生的基础知识、基本技能、基本思想、以及基本活动经验(“四基”)都得到了落实,在通性通法的归纳及应用过程中,学生常会历经“体悟、推理、质疑、反思、分析、联想、思辨、比较、综合、概括、归纳、演绎”等思维活动,教学过程始终围绕着培养和发展学生的数学学科素养进行,学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(“四能”)会逐步得到提高.