核心素养视角下2021年新高考I卷试题研究——基于SOLO分类理论

扬州大学数学科学学院(225002)汪彩虹 陈建华

一、引言

学业质量标准是本学科核心素养及其表现水平在学生学业成就上的总体刻画.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)指出“学业质量是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求,也是相应考试命题的依据.”数学抽象等六大数学核心素养按照学业质量标准被划分成了三个水平.这三个水平反映了学生思维能力由简单到复杂的发展过程,也反映了学生的认知指向深度学习的过程,体现了逐级进阶的特征.

教育心理学家比格斯建立的可观察的学习结果的结构-——SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)分类理论,将思维结构的复杂程度由低到高分为五个层次,分别为前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构和拓展抽象结构水平,这五个层次用下图表示:

SOLO 分类理论中的各思维结构水平,是根据学生答题时思维水平从低到高而呈现出逐层递进的关系,契合《课标》中对数学核心素养的水平划分.不同之处在于SOLO 分类理论更侧重于根据学生思维操作和信息处理的复杂程度的不同来决定认知水平,在评价上具有操作简单、路径多元的独特优势.

二、划分标准与研究量表

在本文研究中,笔者对2021 新高考全国I 卷试题进行了SOLO 思维层次的分析,认为在同一章节中的知识点关联性较强,而不同章节中的知识点关联性较弱、需要学生主动建构.

此外,由于处于前结构水平的学生头脑中不具备相关知识,对问题常表现为拒绝答复或瞎蒙,这显然违背了高考命题中的基本原则,故试题中并未考查该层次.因此,试题中主要包括四个层次:

(1)单点结构水平(U)这一水平的试题问题情境熟悉,学生只需要回忆某一个知识点,经过简单的单一推理或运算就可以顺利解决.

(2)多点结构水平(M)这一水平的试题需要学生回忆多个知识点,但无需构建它们之间的联系,只经过多步推理或计算就能解决.

(3)关联结构水平(R)这一水平的试题需要学生挖掘题目隐含的信息,联想不同章节的多个知识点,并根据题意构建这些知识点之间的联系,经过较复杂的归纳、类比和推理才能够得以解决.

(4)拓展抽象结构水平(E)这一水平的试题问题情境较为新颖,能获取的信息较少,需要学生深入挖掘题目隐含的知识,利用相关知识点并根据自己的理解对这些知识点进行创新性的组合和应用,经过多步复杂的逻辑推理和数学运算,才能解决.

按教育部2020年颁布的《中国高考评价体系》,可以从“数学学科核心素养”和“SOLO 思维层次”两个维度来解析高考题,为此,制定出指向数学核心素养的SOLO 思维层次评价量表,其中,纵向维度包含六大数学学科核心素养,横向维度包含SOLO 分类的四个思维层次.

三、试题分析案例

笔者针对2021 新高考全国I 卷数学试题,采用上述指向数学核心素养的SOLO 思维层次评价量表及划分标准,选取其中三道试题作为研究案例进行分析.

案例1(第5 题)已知F1,F2是椭圆C:的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )

A.13 B.12 C.9 D.6

分析本题考查椭圆的方程、几何性质及基本不等式的应用.学生在解题时首先根据椭圆定义得出MF1+MF2= 2a,即为6,然后利用基本不等式或二次函数的知识得出MF1和MF2乘积的最大值.主要考查了数学运算和逻辑推理的数学核心素养.由于运算时需要将分布在不同章节的椭圆与基本不等式两个知识点加以结合,需要学生主动构建二者之间的联系,因此数学运算素养考查SOLO 分类中R 水平;此过程中,只需经历简单的两步推理即可解决,因此逻辑推理素养考查SOLO 分类理论中的M水平.如下表所示:

表1 指向数学核心素养的SOLO 思维层次分析案例1

案例2(第16 题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm×12dm 的长方形纸,对折1 次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2= 180dm2,以此类推,则对折4 次,共可以得到不同规格图形的种数为____;如果对折n次,那么=____dm2.

分析本题以剪纸艺术为背景考查数列、数列求和公式以及错位相减法.第一空中,学生根据题目比较容易得出对折3 次得到的四种规格的图形,分别为:d m×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×dm,对折4次得到五种规格的图形,分别是:dm×12dm,dm×6dm,5dm×3dm,10dm×dm,20dm×dm.主要考查了逻辑推理的核心素养,学生只需知道单一的对折知识便可求,因此该素养考查SOLO 分类理论中的U 水平.

第二空中,学生需要根据题中所给信息,发现每次对折后图形的面积都减小为原来的一半,由此抽象出数列问题:每次对折后的图形,不论规格如何,其面积为首项为120(dm2),公比为的等比数列,因此第n次对折后的图形面积为对于第n次对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为n+1 种,故得猜想,由此可以表示成等差数列与等比数列乘积之后的前n项和,利用错位相减法便可得出结果.主要考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的数学核心素养.从对折过程中抽象出单一的数列问题对学生来说比较容易,因此数学抽象素养考查SOLO 分类理论的U 水平;学生在推理和建立模型的过程中只需回忆数列的多个相关知识,如通项公式与数列求和,方法是比较常规的错位相减法,因此逻辑推理和数学建模素养均考查SOLO 分类理论中的M 水平;该题在运用错位相减法求和的过程中,除了数列相关公式的运用,还需要大量的化简计算经验,因此数学运算素养考查SOLO 水平中的R 水平.如下表所示:

表2 指向数学核心素养的SOLO 思维层次分析案例2

案例3(第22 题)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:.

分析本题考查了用导数研究函数的单调性及导数在证明不等式中的应用.

第(1)问中,学生直接通过求导得到函数的单调性,考查逻辑推理和数学运算的数学核心素养.根据求导来求函数单调性的推理过程较为简单,知识点单一,学生比较容易想到,因此逻辑推理素养考查SOLO 分类理论的U 水平;而运算过程中学生不仅要正确求出导函数表达式,还要能分别解出导函数在大于和小于零时x的取值范围,因此运算素养考查SOLO 分类理论的M 水平.

不妨设b ＞a ＞0,所以x1＞1,0＜x2＜1.对于第一个不等式,当x1≥2 等式恒成立,只需证明1＜x1＜2等式成立即可,需构造新的函数g(x)=f(2-x)-f(x),求导知函数在(1,2)上单调递减,g(x)＜g(1)= 0,因此在1＜x ＜2 时,f(x)＞f(2- x),代入x1从而证明f(2-x1)＜f(x1)=f(x2),由于2-x1与x2的范围都是(0,1),由(1)知在该区间上单调递增,可证2-x1＜x2,即x1+x2＞2,得证;

对于第二个不等式,先求出f(x)在(e,0)处的切线方程为y=e-x,构造函数h(x)=f(x)-(e-x)=x-xlnx-(e-x),即可利用导数大于0 证明f(x)=x-xlnx ＜e-x对0＜x ＜e 恒成立,设f(x1)=f(x2)=t,则即可得到x2+t ＜e,又因为t=f(x2)=x2(1-lnx2)＞x2,所以可得x1+x2＜x1+t ＜e,得证.

该题考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算的数学核心素养.首先,将题目中的已知条件和求证抽象成函数的过程中,需要学生联想对数运算法则,思维跨度较大,因此该素养考查SOLO 分类理论的R 水平;其次,逻辑推理和数学运算的过程中,由于题目中信息量很少,有大量的隐含知识需要学生自己深入挖掘,比如日常积累的函数、不等式与导数应用等知识,学生必须对其进行创新性的组合与运用,通过大量的复杂推理与运算才能使问题得以解决,这对学生的思维能力要求非常高,因此逻辑推理与数学运算素养考查的是SOLO 分类理论的E 水平.如下表所示:

表3 指向数学核心素养的SOLO 思维层次分析案例3

四、整卷研究结果

通过对2021 新高考全国I 卷试题中每一道题考查的数学核心素养及最高SOLO 思维层次进行深入分析,将各题号填入量表中,其中对于设置了多个空或者多个小问的题目,则选择其考查的所有数学核心素养和最高思维层次作为该题的最终结果,得到如下所示的表格:

表4 指向数学核心素养的SOLO 思维层次评价统计表

为直观起见,将试题中六大核心素养和四大SOLO 分类水平的考查比例绘制成如下所示分布图:

指向数学核心素养的SOLO 思维层次分布图

从2021 新高考全国I 卷试题对数学核心素养考查的情况可以看出,新高考试题虽然涵盖了所有的数学核心素养,但是在分布上却呈现出失衡现象.逻辑推理和数学运算作为高考考查的方法素养,是学生解题过程中应当必备的关键能力,因此,对这两个素养要求会比较高,二者比重之和几乎达到70%.数学建模素养在新高考试题中占比较低,可见新高考试题在考查学生应用数学模型解决实际问题的能力上有所欠缺.数据分析素养主要分布在“概率与统计”主题中,与其他主题关联度不大,而“概率与统计”主题在整个高中数学中分布较窄,这也是高考考查该素养比较少的原因之一.

在数学核心素养所考查的SOLO 水平上,四个水平都有所涉及,这反映出了高考作为全国选拔性考试,其目的是区分出不同学生的思维水平.其中R 水平占比最多,达到了43.04%,说明试题在注重学生基础知识和基本能力的同时,更突出考查的是知识点的联想与迁移能力;E 水平占比最少,为10.05%,该水平对学生的要求比较高,需要学生有一定的创新思维,以便有效的发掘出满足现代社会发展的高水平人才.此外,U、M 水平占比较为适中,对学生思维要求都不高,在一定程度上保证了试题的基础性.

五、对高中解题教学的启示

通过以上对试题的分析,数学运算和逻辑推理作为高考中着重考查的两大核心素养,要求教师在解题教学中不仅要始终聚焦核心素养,还要尤其重视学生的逻辑思维能力和基本的运算技能培养,重视从现实情境出发的数学问题,培养学生数学抽象和数学建模素养,从多方位考查并增强学生的应用和创新意识.

教师要完善学生的知识体系,加强知识之间的关联性,凸显高中数学知识的广度与深度,这不仅是高考对于关联结构水平和拓展抽象水平考查的要求,也是提高学生问题解决能力的重要基础;其次,教师在编制或选择习题时应充分考虑到学生的思维水平发展,结合高考试题的层次性、综合性、灵活性、创新性等特点,在考查“双基”的同时,进一步考查学生对知识点的迁移能力和创新意识;教师还可以为数学习题制定符合SOLO 分类标准的参考答案,以便教师或学生对作答结果进行批改或自评时,可以根据参考答案对其所处的思维结构水平进行诊断;或者在习题讲解的过程中,为了给不同思维层次的学生呈现不一样的思维方式,可适当采用一题多变和一题多解的教学方式,由此在提高学生解题兴趣的同时还能实现教学“因材施教”.