极值点偏移的处理策略

东莞市第二高级中学(523129)章锐阳

导数中的极值点偏移问题在高考以及各类模拟考试题中频繁出现.其中以比较双变量与某一常数或含参数式子的形式最为常见,对学生逻辑推理的能力要求较高.下面通过例题解析说明极值点偏移问题的处理策略.

1 高考真题分析

本题实质上是函数极值点偏移问题,在高考和各类高考模拟题中经常出现这类试题设问新颖多变,有时难度较大,综合性较强,能比较好考查学生的逻辑推理能力、转化与化归、函数与方程思想等,往往作为压轴题出现.其基本的解题思路是将多元变量问题消元成统一变量,再构造函数,利用函数的单调性进行证明.

2 极值点偏移问题

2.1 含义

所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性.若函数f(x)在x=x0处取得极值,且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x1,b),B(x2,b)两点,则AB的中点为而往往.

2.2 图形特征

图1:极值点左偏移

图2:极值点右偏移

2.3 一般题设形式

此类问题在近几年高考及各种模考中,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待此类问题经常是束手无策.而且此类问题变化多样,有些题型是不含参数的,而更多的题型又是含有参数的.不含参数的如何解决? 含参数的又该如何解决,参数如何来处理? 是否有更方便的方法来解决? 其实,处理的手段有很多,方法也就有很多,我们从几个典型问题来逐一探索!

3 例题解析

3.1 不含参数的极值点偏移问题

例1已知函数f(x)=xe-x(x ∈R),如果x1/=x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2＞2.

证法一f′(x)=(1-x)e-x,易得f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,x →-∞时,f(x)→-∞,f(0)= 0,x →+∞时,f(x)→0,函数f(x)在x= 1 处取得极大值f(1),且,如图3所示.

图3

以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的.

3.2 含参数的极值点偏移问题

问题解决是数学思维的重要呈现形式,那么如何解决问题? 这是数学学习的核心.如果将极值点偏移问题作为题型,那么至少有两种解决问题的方案(构造比较函数和构造对称函数).这种训练虽然可以提高形式推导能力,但不能做到真正的理解与深入的独立思考,我们应该关注解题教学所培养的数学理解能力与问题思考能力.让学生不再简单模仿或是变式训练,而是逻辑思维与直觉思维共同作用的良好体验.