证明不等式成立的三种途径

张蓓媛

证明不等式问题是一类较复杂的题目，证明不等式成立的方法有很多种，如导数法、换元法、取对数法、综合法、分析法，数学归纳法等.每种方法的特点和适用范围都不相同.本文主要谈一谈证明不等式问题的途径.

一、利用导数法

运用导数法证明不等式，需先根据不等式的结构特征构造合适的函数，再对函数求导，分析导函数与0之间的关系.若 f'x>0，则函数单调递增;若 f'x<0， 则函数单调递减.由此判断出函数的大致图象，确定函数的最值，建立使不等式恒成立的关系式，即可证明不等式成立.一般地，若 f x<0，只需证明 f xmax<0;若 f x>0，只需证明 f xmin>0;若 f x

例1.已知 x>1，试证明：lnx>

证明：由lnx> x +1可得 lnx - x +1>0，

设 f x= lnx-，可得 f'x= ，

当 x >1时，有 f'x>0，

因此当x >1时，f x单调递增，

当 x =1时，f 1= ln 1- =0，

则 f x>f 1=0，所以当 x >1时，lnx>.

要证明 lnx- >0，只需证明 f x=lnx-2x -1的最小值大于零即可，这样便将证明不等式问题转化为求函数最值问题，通过研究导函数的性质，明确函数的单调性，从而求得函数的最值，证明结论.

二、换元

换元法是指将复杂的代数式用新元替换，以化简不等式，进而证明不等式.运用换元法证明不等式，需明确换元的式子，它可以是某个式子，也可以是某个式子的一部分.在换元后，问题就转化为关于新元的不等式，通过讨论新不等式证明原不等式成立.在换元的过程中，要注意换元前后自变量的取值范围.

例2.已知 x >0，证明：>lnè（?）1+ ?（?）.

證明：由 >lnè（?）1+ ?（?）可得 >

令= t，可得 - >ln1+t，

再令= u，则 u - >2ln u，

设 f u= u - -2ln u，u >1，

则f'u= >0，

所以当 x >0时，不等式 >lnè（?）1+ ?（?）成立.

解答本题，需经过两次换元，才能达到化简不等式的目的，然后根据化简后的不等式构造函数模型，通过研究导函数求得函数的最值，从而证明不等式.

三、取对数

取对数法是比较两个函数式大小、证明不等式的重要方法.对于含有指数幂的不等式证明问题，常需用取对数法来求证.首先将不等式中的指数幂分别置于不等式的两侧，然后在不等式的两边取对数，这样便将不等式证明问题转化为对数函数问题，通过分析对数函数的性质或运用导数法来证明不等式成立.

例3.已知 a >4，证明：2a >a2.

证明：在2a>a2的两边取对数可得 ln2a>lna2，

即 ln 2a -lna2>0，

设 f a=ln 2a -lna2，

对其求导可得f'a= ln2- ，

当 a =4时，f 4= ln 24- ln42=4 ln 2-4 ln 2=0，当 a >4时，f'a= ln 2- > - = - =0，因为 f a>f 4=0，所以 a ln 2-2lna >0，

也就是 ln 2a>lna2，即2a>a2，

综上所述，当 a >4时，不等式2a>a2成立.

不等式的两边含有指数幂，需在不等式两边取对数，这样便将不等式化简，然后根据化简后的不等式构造出函数模型，利用导数法证明结论.

无论是换元还是取对数，目的都是为了简化不等式，以便将不等式问题转化为函数最值问题来求解，且在运用其他方法解题的过程中可同时运用导数法.可见，函数思想、导数法在证明不等式问题中应用广泛.因此，同学们在证明不等式时，要学会将不等式与函数、导数关联起来，灵活运用函数思想、导数法来解题.

（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）