谈谈三类三角函数问题的解法

金彩虹

三角函数在数学高考试卷中所占的比重较大，其题型主要有三种，即求三角函数的值、化简三角函数式以及有关三角函数性质与图象的问题.为了帮助同学们提升解答三角函数问题的效率，笔者对这三类常考的题型及其解法进行了总结.

一、求三角函数的值

求三角函数的值问题，一般要求根据已知的角、三角函数值求其他的角或者三角函数的值.解答此类问题，需首先将已知条件与所求目标关联起来，建立它们之间的联系，然后选择合适的公式，如诱导公式、两角的和差公式、二倍角公式、辅助角公式等，通过三角恒等变换由已知的角、值向所求的角、值靠拢，从而求得三角函数的值.

例1.已知α是第三象限的角， cos2α=-，求 tanè（æ）+2αø（ö）的值.

解：∵α是第三象限的角，且 cos2α=-<0，∴ +22k +1π<2α<π+22k +1πk ∈ Z，∴ sin 2α=，∴ tan 2α= =-，

∴tanè（æ）+2αø（ö）=1-tanπtan 2α= =-.

解答本题，需先明确：（1）函数名称不同;（2）2α与+2α之间相差 .于是在求得2α的取值范围后，便可根据诱导公式求出sin2α、tan2α的值，然后利用正切的两角和公式求得tanè（æ）+2αø（ö）的值.

二、化简三角函数式

在化简三角函数式时，我们需灵活运用一些进行三角恒等变换的技巧，如升幂、降幂、“1”的代换、弦化切、切化弦等，使三角函数式中的角、函数名称、次数统一.一般地，可运用二倍角公式或半角公式进行升幂、降幂;运用 sin2x+cos2x =1以及 tanα= 实现弦切互化;运用辅助角公式以及tanα= 将函数名称统一.

例2.化简：       cos2α      .

4 4 2 cos2α-1 +tan2α

解：原式=

該三角函数式中的角有α、+α，函数名称有正弦、余弦、正切，幂有一次的、二次的，需运用tanα= 将切化为弦，运用余弦的二倍角公式将二次幂降为一次幂，运用正弦的二倍角公式将α转化为2α，从而将函数式化简.

三、有关三角函数性质与图象的问题

三角函数性质和图象的问题具有较强的综合性，解答此类问题需灵活运用正弦、余弦、正切函数的图象、奇偶性、单调性、对称性、周期性、最值等.在解题时，可先根据题意明确三角函数的性质和解析式，然后画出三角函数的图象，借助图象来分析函数的其他性质，求得函数的最值、单调区间等.

例3.已知函数 fx= cosè（æ）2x - ø（ö）+2 sinè（æ）x - ø（ö）⋅sinè（æ）x+ ø（ö），（1）求函数 fx的最小正周期和对称轴;（2）求在 ， û（ù）上函数 fx的值域.

解：（1）f x= cosè（æ）2x - ø（ö）+2sinè（æ）x - ø（ö）sinè（æ）x + ø（ö）

= sin2x -π

∵ T =，ω=2，∴ T =π，

∵2x - =kπ+k ∈Z，∴ x = +k ∈Z，∴函数 f x的对称轴是：x = +k ∈Z;

（2）∵ x ∈ ， û（ù），∴2x - ∈ ， û（ù），   ∴函数 f x在 ， û（ù）上单调递增，在 ë（é）， û（ù）上单调递减，

∴当 x = 时，f xmax=1，

又fè（æ）- ø（ö）=-<fè（æ） ø（ö）= ，

∴当 x =-时，f xmin=-，

∴函数 f x的值域为-，1.

在解答本题时，我们需先将函数式化简，根据正弦函数的周期性和对称性求得函数的最小正周期和对称轴，然后根据函数的图象讨论函数在定义域上的单调性，从而求得函数的最值.

由此可见，解答三角函数问题，需熟练掌握三角函数中的基本公式、性质、图象，灵活进行三角恒等变换，这样才能从容应对各类三角函数问题.

（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）