数学思维教学的“两阶段理论”

郑毓信

数学思维教学的“两阶段理论”

郑毓信

（南京大学 哲学系，江苏 南京 210093）

数学思维教学应当区分为两个不同的阶段：（1）帮助学生了解、学习数学思维从而改进思维；（2）“由数学地思维”转向“学会思维”，努力提升学生的思维品质．这可视为一种“螺旋式的上升”，与此为对照也可清楚地看出这样两种观点的片面性，即是“基础教育去学科化”，以及单纯从学科的视角对数学教育目标做出狭义解读．

数学思维教学的两个阶段；数学地思维；通过数学学会思维；螺旋式上升

除去数学基础知识与基本技能的学习，数学教育最主要的功能应是促进学生思维的发展，这就是强调“数学思维教学”的主要原因．就中国在后一方面的具体工作而言，则可追溯到20世纪80年代兴起的“数学方法论”研究与相关的教学实践：这既有过发展的高潮，包括对于国外相关研究的追踪，也有过相对低落的时期．进而，新一轮数学课程改革，特别是对于“核心素养”的积极提倡也可被看成为数学思维教学的进一步发展提供了重要背景，特别是，应如何更好地理解数学思维教学的意义，什么是这方面工作的主要方向？这也正是文章讨论的主要论题．

1 回顾与展望

20世纪的80、90年代可以被看成中国数学思维研究的黄金时代：由于著名数学家徐利治先生的倡导，不仅取得了若干重要的研究成果，也逐步形成了密切联系实际数学教学的重要特点，包括这样一个明确的指导思想：应当用思维的分析带动具体知识内容的教学，从而把数学课真正“教活”“教懂”“教深”：所谓“教活”，是指教师应当通过自己的教学向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓“教懂”，是指教师应当帮助学生真正理解相关的教学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背；所谓“教深”，则是指教师不仅应当通过自己的教学使学生很好地掌握相关知识内容，也应帮助他们领会内在的思维方法，即是使得相应的思维活动对其而言真正成为“可以理解的，可以学到手的和加以推广应用的”[1]．

就这方面的具体工作而言，人们还形成了这样的共识：相关研究不应停留于“一般性思维理论+数学实例”这样一个模式，而应从专业角度做出更深入的分析研究．

就国际上的相关研究而言，则应特别提及著名数学家波利亚的“数学启发法”研究：尽管这在当时并未对实际教学工作产生很大的影响；但是，随着“问题解决”成为了数学教育在20世纪80年代的主要口号，相关工作又重新成为人们关注的焦点．因为，这正是这一改革运动的主要指导思想，即是认为应以努力提升学生解决问题的能力作为数学教育的主要目标，并应围绕“问题解决”组织全部的数学教学活动．还应强调的是，尽管相关的教学实践并未取得预期的效果，但却极大促进了这方面的理论研究，更直接导致了“对于波利亚的超越”，后者即是指，“启发法”不应被看成影响人们解决问题能力的唯一要素，或者说，为了提高人们解决问题的能力，应当关注更多的方面或环节，特别是“元认知”和“观念”这样两个要素．另外，这也是人们通过总结反思形成的又一共识：与“问题解决”相比，“数学思维”是更合适的一个口号，应将“帮助学生学会数学地思维”看成数学教育的主要目标[2–3]．

从20世纪90年代开始，随着新一轮数学课程改革（“课标运动”）在世界范围内的展开，人们的关注点应当说也有所转移：尽管“问题解决”与“数学思维”作为改革的有机组成部分仍然得到了明确肯定，但就总体而言人们已将目光转向了另外一些更加宏观的问题，特别是，数学教育如何能够很好地适应“时代的挑战”[4]？

再回到中国的数学教育，尽管有一定的时间差，但总体上也与国际上的情况基本一致：无论是所谓的“数学教育的三维目标”或“数学课程总体目标”都对“数学思维（思考）”和“问题解决（解决问题）”做了明确的肯定，但对此的关注程度也可以说大大地降低了，取而代之的是“数学教学方法的改革”与所谓的“四基”，特别是“数学经验”等这样一些“新”论题，这也就是指，除去简单的“口号式”提倡，或是由“解决问题”转向“问题解决”这样的词语转换，数学思维教学的研究就总体而言可以说陷入了发展的停滞．

除去数学教育整体形势的变化以外，这也是造成“发展停滞”的又一重要原因，即是缺乏对于已有工作的认真总结与反思，从而也就未能很好地弄清什么是数学思维教学进一步发展的主要方向．

还应指明的是，尽管“大形势”的变化对这方面工作的深入开展有较大影响，但课程改革仍为数学思维教学的进一步发展提供了重要契机．只有围绕数学教育的基本目标去进行分析思考，才能很好地把握数学思维教学的主要目标，包括什么又可被看成这方面工作的主要方向．具体地说，应坚持这样一个立场，即是基础教育的基本任务应是努力提升学生的“核心素养”，也即“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”．

具体地说，对于数学思维教学应当区分出两个不同的阶段：（1）帮助学生了解、学习数学思维，从而改进他们的思维，特别是由日常生活逐步形成的各种思维习惯和思维方式；（2）“由数学地思维”转向“学会思维”，特别是努力提升学生的思维品质，并能由理性思维逐步走向理性精神．

以下就对为什么要做出这样两个阶段的区分，以及什么又是它们各自的特征与基本性质做出具体说明．

2 数学思维教学的第一阶段

这是数学思维教学第一阶段的主要特征：帮助学生了解、学习数学思维，并应通过数学思维教学帮助学生改进他们习惯的日常思维．

以下就是“通过数学思维教学改进学生思维”的一些具体涵义．（1）由局限于“正向思维”转而学会“逆向思维”．这也是相关研究的一个明确结论：如果仅仅依靠“自发的数学能力”，人们往往不善于从反面去思考问题；与此相对照，通过学校学习所说的情况就有了很大改进[5]．（2）由模糊的“定性描述”转向精确的“定量分析”．如由“何者大、何者小”转向“到底有多大”“大多少”，等等．（3）由“直观感知”上升到理性分析，即如对于各种平面图形主要特征的深入研究．这也是冯·希尔夫妇区分学生几何思维不同发展水平的一个主要依据[6]．（4）由“零碎的认识”过渡到“整体性把握”．就如苏联著名心理学家维果斯基所指出的：“系统化的萌芽首先是通过儿童与科学概念的接触而进入他的心灵，然后再被迁移到日常概念，从而完全改变了他们的心理结构．”[7]

再者，这也可被看成以下一些论述的主要涵义．（1）“我们必须通过数学化来教数学、学数学．”[8]（2）（中学）数学教学的主要目的之一就是“培养学生逻辑推理的能力”[9]．另外，从同一角度可以更好地理解人们经常提到的关于“初等数学思维”与“高层次数学思维”的如下区分：与前者不同，后者已包括了由“描述”向“定义”、由“确信”向“证明”的重要转变[10]．

最后，正如相关研究所表明的，这也是日常思维的一个重要特征，即是“快思”占据了主导地位；但是，尽管后者对于人们的日常生活和工作有很大的重要性，但又常常会导致一些系统性的错误，从而就应通过提倡“长时间思考（慢想）”帮助人们纠正日常思维的这一局限性，这也正是数学思维教学所应发挥的又一重要作用[11–12]．

那么，究竟又应如何帮助学生了解、学习数学思维呢？正如前面所提及的，中国数学教学的相关实践即可被看成在这方面提供了很好的经验，后者即是指，相对于专门的思维教学而言，应当更加重视通过具体数学知识的教学帮助学生很好地了解、学习数学思维，也即应当努力做好用数学思维的分析带动具体知识的教学，从而将数学课真正“讲活”“讲懂”“讲深”，特别是，即能让学生深切地感受到数学思维的力量，从而就能在这一方面产生潜移默化，但又十分重要的影响．

显然，依据上述分析可以很好地理解这一阶段数学思维教学的基本性质：这主要是一种规范性的工作．当然，后者又不应被理解成某种单纯依靠外部力量得以实现的硬性规定，恰恰相反，这正是为什么应当特别重视数学思维向具体知识内容教学渗透的主要原因，也即应当通过“教学内容的方法论重建”使得相应的数学思维活动对学生而言真正成为“可以理解的，可以学到手的和加以推广应用的”．

再者，这也可被看成这一阶段数学思维教学的又一重要特征，即是对于数学思维，特别是数学解题策略的突出强调．当然，这方面工作也有一个逐步推进的过程，即是应当依据学生的认知发展水平很好地掌握相应的“度”，也即应当由“深藏不露”逐步过渡到“画龙点睛”，由“点到为止”逐步过渡到“清楚地表述”．

以下就是针对不同学段做出的大致划分．

低年级的小学生刚刚开始正规的学校学习，这时数学教学的主要任务就是帮助学生较好地掌握最基本的一些数学知识和基本技能，特别是数的认识与加减乘除．除此以外，这也是这一阶段数学教学的又一重要任务，就是帮助学生初步了解和适应数学的思维方式与工作方式，也即数学家是如何看待世界与处理问题的？这与学生习惯的日常思维又有什么不同？

具体地说，对于低年级小学生而言，数学学习就像进入了一个新的国家、一个新的文化环境：“数学王国”．显然，在此情况下，新进入者的首要任务就是很好了解并努力适应当地的风俗习惯，包括不同的语言文字、行为方式与道德规范等，而这事实上也正是小学低年级数学教学应当实现的一项任务，即是帮助学生很好了解并努力适应（习惯）这样一种新的思维方式和工作方式：数学的思维方式与工作方式，这主要是一个规范化的过程．（这方面的一些实例可见文[13]第二、三章）

其次，小学高年级数学教学的一个主要任务，则是应使学生喜欢数学、喜欢思维，这也就是指，教学中应特别重视引导学生对于数学思维方式与行为方式的欣赏与理解，从而就与先前所说的“了解与适应”有很大的不同．

在此仍可借助“数学学习就像进入了一个新的国家、一个新的文化环境”这一比喻来进行说明：这里所说的“欣赏与理解”就是指高年级的数学教学不应满足于学生对于数学的思维方式与工作方式有泛泛的了解，以及这一方面的简单规范，乃至使学生始终处于“无可奈何的适应”这样一种状态，而应帮助他们很好地理解相关做法与思维方法的合理性和必要性，从而就能发自内心地欣赏，并能很好地融入其中．例如，应用题教学就是实现这一目标的一个重要途径．

第三，初中的数学教学可以被看成由第一阶段向第二阶段的过渡阶段．首先，初中正是实现上面所提到的由“初等数学思维”上升到“高层次数学思维”的关键阶段，这就意味着对于数学思维的进一步了解和学习，包括如何能通过“解题教学”帮助学生较好掌握各种具体的解题策略．但在做出上述努力的同时，这一阶段的教学也应十分重视向更高层次的过渡，应当有意识地由唯一强调数学思维，特别是数学解题策略的学习逐步转向努力提升学生的思维品质．当然，为了更好地实现后一目标，应首先弄清所说的转变的合理性和必要性．这也正是下一节的具体论题．

3 数学思维教学的第二阶段

数学思维教学第二阶段的主要目标已不是帮助学生了解、学习数学思维，而是“通过数学学会思维”，并努力提升学生的思维品质．

为什么要提出这样一个新的主张或目标，或者说，强调数学思维教学的“两阶段理论”究竟有怎样的合理性和必要性？

首先，这可被看成基于学生与社会发展的需要进行分析的一个直接结论：由于大多数学生将来都未必会从事与数学直接相关的各种工作，数学思维显然也不是唯一合理的思维形式，或者说，并非适用于所有的工作和场合．因此，与单纯强调“学会数学地思维”相比，就应更加重视“帮助学生通过数学学会思维”，特别是努力提高他们的思维品质．

例如，这显然也可被看成波利亚以下论述的核心所在：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识．对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事．能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情．”[14]

其次，如果缺乏自觉性的话，数学思维也有一些严重的弊病．例如，如果教学中只是强调了思维的逻辑性，也即局限于“按部就班、言之有理”，但却忽视了整体分析与直觉的把握，包括如何能“分清主次、突出重点”，并很好掌握相关证明或概念的本质，显然就容易出现“只见树木不见森林”“捡了芝麻丢了西瓜”这样的现象，而这事实上也正是现实中人们往往同时强调“逻辑与直觉”“分析与综合”的主要原因，包括中国著名数学家陈重穆先生的这样一个主张：数学教学应当“淡化形式，注重实质”[15]．

一些学者从更一般的角度指明了数学思维的局限性．例如，按照著名数学家西瓦尔茨的分析，简单性（simpleness）、单一性（singleness）和文本性（literal）可以被看成数学思维固有的局限性[16]．又由于“封闭性”容易导致自高自大，抽象性（拘于文本）则容易脱离实际，因此，从这一角度进行分析，可以更好地理解著名哲学家怀特海所提到的这样两种“数学的恶”：所谓“微不足道的恶”，是指不应将抽象的模式与真实简单地等同起来：“讨论善与恶可能要求对经验的理解具有一定的深度，而一个单薄的模式可能阻挠预想的实现．于是，有一种微不足道的恶——一幅写生画竟能取代一幅完全的图画．”另外，所谓“强烈的恶”，则是指：“引起强烈经验的两个模式可以彼此冲突．于是，就有一种由主动的对抗所产生的、强烈的恶．”[17]

当然，从中小学数学教学的角度看，上面所提到的数学思维的局限性还只是一种潜在的危险；相比而言，以下则是一种真正的威胁：由于数学思维，特别是解题策略的学习与“应试教育”有较大的兼容性，因此，现实中也就容易出现以下现象，即是“数学思维教学”完全集中于“解题方法”的研究，乃至最终蜕变成“题海战术”，也即学生主要依靠记忆与模仿进行学习，而唯一的目标就是在各种考试中取得较好的成绩；但是，即使在最好的情况下，按照这一模式培养出来的学生也只会考试，不会思维，更缺乏创新能力．更一般地说，这事实上也可被看成过强的规范性所必然导致的一个后果．

由以下论述可以看出，上述分析并非杞人忧天，而是有很大的现实意义：“人到16岁开始成人，知道自己要有人生目标，优秀生开始思考未来，这是一个人成长、成型的关键时期．中国学生却在这两年天天复习高考”；“美国的优秀学生不断向上攀升，中国学生天天做高考题．中国高中的‘空转’，在最容易吸收知识，开始思考人生的年龄段，束缚于考试．更令人心焦的是，许多顶尖的中学，对‘空转’现象不觉得是问题．自我感觉良好．”[18]

还应强调的是，尽管所说的现象主要反映了“应试教育”的弊端，但由以下事实可以看出，这与数学教育圈内的以下倾向也有密切的关系，即是“解题策略”与“数学思维”的过度“细化”和“程序化”．例如，由于认为波利亚所给出的解题策略过于一般，从而不便于人们应用，“问题解决”现代研究的主要代表人物舍费尔德教授就曾试图对此做出更加细致的说明，也即认为相关教学应当很好地实现以下目标：（1）使隐含的过程明朗化；（2）让学生就这些过程进行讨论；（3）提供有指导的实践；（4）确保学生牢固地掌握相关的程序；（5）既注意定性的理解，也注重具体的程序[19]．但是，尽管他曾投入很大力量从事相关的教学实践，但最终却未取得真正的成功．由此也就可以引出这样一个结论，应跳出专业的“圈子”并从更广泛的视角认识数学思维教学的意义．

当然，后者事实上也可被看成“核心素养说”这一整体性教育思想给予的主要启示，特别是，作为数学教育工作者，显然不应停留于“核心素养”的一般性论述，而应更深入地去思考数学对于提升个人与社会整体素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用，也即应当对“数学核心素养”的具体涵义做出更清楚地界定．

综上可见，应对数学思维教学提出更高的要求，也即应当由唯一强调“帮助学生（初步地）学会数学地思维”上升到“通过数学学会思维”，特别是，应将努力提升学生的思维品质作为数学教学的主要目标．这也就是“数学思维教学”的第二阶段．

作为这一阶段的具体目标，还应十分重视学生学习能力的培养，特别是“总结、反思与再认识”的习惯与能力，从而就能真正成为学习的主人，包括由理性思维逐步走向理性精神．

也正是在这样的意义上，关于“数学深度教学”的以下论述就可被看成为做好这一方面工作指明了努力的方向：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人[20]．

显然，相对于第一阶段的数学思维教学而言，这体现了更高的要求，特别是，与简单的规范性不同，第二阶段的数学思维教学应当更加重视学生在学习活动中的自觉性．具体地说，这应被看成高中数学教学的主要任务；当然，正如前面所指出的，在初中阶段也应十分重视相关思想的渗透，特别是应超出单纯的数学思维转向努力提升学生的思维品质．

最后，正如先前关于波利亚的引言所表明的，数学思维教学由第一阶段向第二阶段的过渡在很大程度上可被看成“常识”的回归，或者更恰当地说，是常识在更高层次的“重构”，也代表了一种螺旋式的上升．

4 两种片面的认识

依据所说的“螺旋式上升”，可更好地理解对于数学思维教学做出两个阶段区分的必要性，包括不同阶段应有不同的重点：第一阶段应当主要强调“入”这样一个关键词，也即如何能够帮助学生很好地了解和学习数学思维以改进他们已习惯的日常思维；第二阶段则应特别强调“出”这样一个关键词，也即应当跳出专业的圈子从更大范围发挥数学教育的作用，包括很好地落实“努力提升学生的核心素养”这一整体性的教育目标．

还应强调的是，依据上述分析也可很好地认识以下两种主张的片面性，尽管它们在现实中都有转大的影响．

其一，以“三会”作为数学教育的主要目标：“现在，我们强调学生核心素养的发展，关注数学学科在人的素养发展中起到的作用，也就是说，通过数学学习，学生应当成长为什么样的人，这就是数学教育的终极目标：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．”[21]

除去前面已提供的分析，由以下实例即可更清楚地认识这一主张的片面性，即“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”究竟有什么优点，还是可能把一个本来不很复杂的事情搞复杂了？

【例】 从《红楼梦》看教育（《小学数学教师》，2019年第2期）．

这一文章的主要观点是：“《红楼梦》中有两个重要的主角，林黛玉和薛宝钗，她们的性格分别代表着数学中两种不同的问题解决策略——‘从条件想起’和‘从问题想起’．”

具体地说：“林妹妹也许并不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是习惯‘从条件想起’……宝姐姐或许也不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是善于‘从问题想起’．”“‘从条件想起’的人行为动机是出于内心真实的感受，而‘从问题想起’的人的行为动机是出于某种想要达到的目的……‘从条件想起’和‘从问题想起’出发点不一样，它们所经历的过程以及对新问题的生成影响也都是不一样的．‘从条件想起’就像林黛玉堆起的落花冢，无用，但能触及更多人的心灵；‘从问题想起’就像薛宝钗服用的冷香丸，实用，但只为解决她一个人的病症．”

显然，上述做法实在有点“数学霸凌”的味道，即是将一个丰富多彩的真实世界硬行塞入到了冰冷的数学樊笼之中，也即用一个缺少人味的量的世界代替了“我们的质和感知的世界，我们在里面生活着、爱着、死着的世界”（柯伊莱语）．

总之，仅从单一学科的视角进行分析和思考问题就很容易导致片面性的认识，后者既包括唯一强调“帮助学生学会数学地思维”，也包括“人人都应做到‘三会’”的主张．

其二，应当积极提倡“基础学科的去学科化”，不同学科的整合：“基础教育要去学科化，强调综合……只从学科的角度出发，不利于学生素养的发展．”相关人士还以清华附小的“1+X课程”为例，强调了相关工作的普遍意义：“基于学生发展核心素养的‘1+X课程’改革对于当下的基础教育课程改革具有价值引领的意义．”[22]

尽管应当充分肯定各种“整合性研究”的意义，但这显然又可被看成先前分析所给予的又一重要启示：为了促进学生的成长，必须由笼统地提倡“核心素养”或“整体发展”，逐步过渡到各个学科的专业学习，只有在这样的基础上，才能进一步去谈及“对于专业化的必要超越”，包括如何才能实现“不同学科的必要整合”这样一个更高层次的目标．

这可被看成历史给予的一个重要教训：如果完全脱离专业的学习去谈论“个人品质与气质”等一般性素养的养成，这在很大程度上就是回到了孔子的教育思想，并将导致教育事业的严重倒退，也即不仅未能很好实现“对于专业化的必要超越”，而且，如果缺乏自觉性的话，反而会由初步的“专业化”重新回到“无专业”这样一个原始的状态，也即只能被看成所说的“高级状态”的一种庸俗化．

显然，依据上述分析也可更清楚地看出：在此所追求的并非常识的简单回归，而是其在更高层次的“重构”，而又正是专业的学习为所说的“重构”提供了必要基础．

当然，就努力提升学生的“核心素养”，包括他们的思维品质而言，数学学习又非唯一可能的途径，在此即可清楚地看到“大道归一”的现象．但是，作为问题的另一方面，这显然也应被看成这方面的又一基本事实，即不同的成长途径必然会对主体产生实质的影响，从而，作为数学教育工作者，应当从更高层面认真地去思考数学教学在这方面究竟有哪些特别重要的作用，包括其可能的局限性？

从上述角度也可更好地理解以下主张，即第二阶段的数学思维教学应当特别重视这样一些方面：“序”的思想与思维的清晰性，联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思维的灵活性，总结、反思和再认识与思维的自觉性．当然，也应十分重视这些思想在第一阶段的渗透．

5 关于第二阶段数学思维教学的若干建议

对于第一阶段的数学思维教学人们可以说已经积累起一定经验；与此相对照，第二阶段的数学思维教学则在很大程度上仍可说是空白，从而就需要密切联系教学实践积极地开展研究，特别是，应将此与努力改变“应试教育”，包括一般意义上的“减负增效”很好地联系起来．当然，后者不只是指如何能够帮助学生从“题海战术”中解放出来，包括在各类考试中取得较好的成绩，也是指使大多数学生在离开中学以后还能留下一些真正有价值的东西．

以下就是这方面的一些具体建议．

第一，明确目标，特别是，相对于各个具体的数学思想和数学解题策略，应当更加注重提升学生的思维品质．

应当强调的是，尽管相关主张从形式上看似乎已与具体解题活动有一定距离，但这恰恰应被看成提升学生解题能力的“正道”．具体地说，由于数学问题的多样性和复杂性，更由于解题活动具有非逻辑性的特征，必然表现出一定的或然性和个体性．因此，尽管应当充分肯定“题型分析”的重要性，包括帮助学生很好地掌握相应的“解法”，也应高度重视解题策略（“数学启发法”）与数学思想方法的学习，从而在遇到困难时就可获得一定启示．但是，单靠这些显然还不足以保证解题活动的成功，包括很好地实现解题活动的“程序化、算法化”，如果因此将主要精力放在题型与解题策略的“细化”与“程序化”之上，则是选错了方向，并很可能因此更深地陷入到“题海”“术林”之中．与此相对照，应更加重视如何能够通过解题教学努力提升学生的思维品质与对一般性思维策略的很好掌握，特别是，如何通过类比联想发现可能的解题途径，包括通过将事物联系起来考察从而获得更深入的认识，又如何能够通过适当变化实现“化未知为已知，化繁为简，化复杂为简单”，并能逐步学会从不同角度分析问题和解决问题，包括不同方面的必要互补与适当整合，还应通过总结、反思与再认识实现更大的自觉性，也即使得相应的思维过程真正成为“可以理解的，可以学到手和可以推广应用的”，包括如何又能通过“题后反思”实现必要的优化[23–24]．

特殊地，从上述角度也可更好地理解这样一个主张：解题教学必须从“就题论题”上升到“就题论法”和“就题论道”，包括应如何理解后者的具体涵义．（后一方面的若干实例可见文[25]）

第二，坚持教学的开放性，切实发挥学生的主体作用．

具体地说，教学中不仅应当积极鼓励学生通过自身的努力去解决问题，也应大力提倡解题方法的多元化，而不只是按照某一现成的模式去从事解题活动．当然，后者不应被理解成简单的标新立异，或是教师完全放弃了应有的引领作用；恰恰相反，在教学中应高度重视比较和优化的工作，从而帮助学生实现必要的优化，包括能针对自身的特性从中做出适当的选择．

进而，就总体而言，应特别强调这样一个思想：“以正合，以奇胜”，这也就是指，既应善于通过学习不断实现必要的优化，又应努力跳出已有的框架从不同角度进行分析思考，包括发现与建立新的联系，实现更高层次的抽象，等等．

再则，从上述角度可以更好地理解“适当放慢节奏”的重要性，也即教学中应给学生的积极思考提供足够的时间和空间，特别是，应帮助他们逐步养成“总结、反思与再认识”的习惯与能力，也即能够通过长时间的思考很好实现“化多为少，化复杂为简单”．

相信读者依据上述分析也可对以下问题做出自己的判断，即在以下两种“教学生态”中何者更有利于学生的成长？

其一：“学生排除买饭时都在看书，走路时都是一种小跑，为的就是争分夺秒地学习……”

其二：“在我的心里，一直有个固执的想法．总觉得，最好的校园是应该可以令人发呆的．”[26]

以下是更加详尽的对照，尽管文中直接论及只是校园：

“师生步履匆匆，除了食堂、寝室和教室、办公室，其它许许多多的角落和空间，对他们而言仿佛形同虚设，他们只是这里的匆匆过客……这样的校园没有情趣，没有内涵；紧张有余，从容不足；‘现代’有余，底蕴不足．”

“校园环境有你发呆的空间和机会……可以让人自由地对着一丛花或者一片叶子深入思考，可以在根底下捧起一本书忘我阅读，也可以什么都不想，什么都不做，就坐在那里或者站在那里静静地发呆，不必在乎别人怎么看你，也不用担心有人打扰你．总之，最好的校园一定可以让师生特别是孩子自觉地放慢脚步，从容思想，自由‘发呆’．”

但是，“我们的责任不就是将学生送进好学校吗？能使80%的毕业生考取211或985重点大学不正是我们苦苦追求的理想办学境界吗！”

以下则是完全相反的认识：“刚毕业那会儿，哪里懂教育，只知道‘考考考，老师的法宝；分分分，学生的命根’，并将此视为教育教学的准则和方向，起早贪黑地陪读，口若悬河地灌输，苦口婆心地劝诫，整天把学生逼进题海，只为学生考个好分数……可当领导、同事的鲜花掌声涌来，却没有几个学生感恩我的付出．学生的‘冷血’让我深刻反省：我就为了赢得这一‘佳绩’吗？如果给学生的只是分数，那叫教育吗？”

“因此，在教育的‘速成’与‘养成’之间我选择‘养成’，与其大量刷题，不如陪学生读一本书；在教学的‘外铄’与‘内化’之间我追求‘内化’，少强迫，多引导，让学生在自我教育中成长；在教育的‘有用’与‘无用’之间我更钟情于‘无用’，班级的审美教育、底线教育、阳光教育等活动开展贯穿每学期．我知道，教孩子三年，就要考虑孩子30年的成长与发展．”[27]

第三，辩证思维的自觉指导．

上面所提及的“教与学”“规范（优化）与开放”之间的关系显然即可被看成这一方面的典型例子．

以下再针对“快与慢”之间的关系做出进一步分析：对此显然不应仅从时间的维度进行理解，而应更加注重相应的实质性问题，也即应当努力做到“当快则快，当慢则慢”．例如，既不应在形式等方面花费过多的时间，又应积极鼓励学生舍得花时间去从事思考，特别是更高层面的思考，从而就能“居高临下”地去解决问题．

例如，如果学生在解题过程中遇到了较大困难，这时就应引导他们跳出面对的问题并从更大范围去进行分析思考，即如什么是这方面的主要学习内容？什么又是要解决的主要问题？主要的难点是什么？什么又可被看成突破难点的主要手段或方法？等等——尽管这些思考似乎已在一定程度上偏离了当前的任务，但又往往会对顺利解决问题有很大的帮助．

还应指出的是，辩证思维的应用事实上也可被看成“中国解题研究”最重要的一个特征．对此例如由罗增儒和任樟辉教授所总结的“解题策略”或“思维原则”就可清楚地看出：“模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转换、数形结合、有效增设、以美启真”[28]；“以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真”[29]．

再则，从上述角度可以更好地理解正确处理逻辑与直觉之间关系的重要性，特别是，不仅应当帮助学生很好地学会逻辑思维，也应努力促进他们直觉能力的发展，而不应片面地强调其中的任何一个．例如，依据直觉思维的“跳跃性、形象性和整体性”就可总结出这样一些具体的教学措施：相对于“按部就班”而言，应当积极鼓励必要的“压缩”（凝聚）和跳跃，教学中还应十分重视“画图”这一策略的应用，因为，后者即可被看成内在思维活动的显化，从而就十分有益于跳出细节从整体上去把握对象，包括形象思维与直觉能力的培养．

第四，帮助学生由“理性思维”逐步走向“理性精神”应当成为这方面教学工作的一个更高追求．

显然，上述工作不仅具有重要的现实意义，也是中国数学教育工作者所应自觉承担的一项社会责任，因为，这正是中国传统文化的一个明显不足，即理性精神的缺失，而数学教育确又可以、而且应当在这一方面发挥重要的作用[30]．

当然，“理性精神”的养成主要又应被看成一个潜移默化的过程，因此，就应特别重视教师的以身作则．因为，无法想象一个既不喜欢思考，平时处事又十分任性的数学教师能够通过自己的教学帮助学生逐步学会思维并能真正成为一个高度自觉的理性人．

最后，再次强调的是，这方面工作确有很多问题需要深入地进行研究，十分希望能有更多同行，特别是广大一线教师积极投身这一工作．

[1] 郑毓信．数学方法论[M]．南宁：广西教育出版社，2008：整体引用．

[2] 郑毓信．“问题解决”与数学教育[J]．数学传播，1993（4）：74–83．

[3] 郑毓信．对于波利亚的超越[J]．中学数学研究，1994（7）：不详．

[4] 郑毓信．时代的挑战——美国数学教育研究之一[J]．数学教育学报，1992，1（1）：40–46．

[5] CARRAHER T. Adult mathematical skills, the effect of schooling [Z]. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, 1988.

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Two Stages of Mathematics Teaching for Thinking

ZHENG Yu-xin

(Department of Philosophy, Nanjing University, Jiangsu Nanjing 210093, China)

Teaching mathematical thinking should be divided into two stages: (1) helping students learn to think mathematically and in this way to improve their thinking; (2) going from “think mathematically” to “learn to think through mathematics”, and thus improve students’ thinking quality. By comparing with this “spiral development”, it can be clearly seen the one-sidedness of the following two views: the de-disciplinarization of basic education, and the narrow interpretation of the objectives of mathematics education from the disciplinary perspective.

two stages of teaching mathematical thinking; think mathematically; learn to think through mathematics; spiral development

G40–03

A

1004–9894（2022）01–0001–06

郑毓信．数学思维教学的“两阶段理论”[J]．数学教育学报，2022，31（1）：1-6．

2021–10–03

郑毓信（1944—），男，浙江镇海人，教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME-10）国际程序委员会委员，主要从事数学哲学、数学教育研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]