从一节数列习题课观习题教学

卢碧如

日前，为了提高课堂教学水平，提高教师的教育教学能力，我校进行了一次课堂教学公开课研讨活动.其中，郝老师的一节高三的数学复习课——“简单递推数列（作业讲评）”教学过程的呈现，展示了习题教学在数学课堂教学中的重要性.这节课的内容是探讨和研究递推数列的习题课，对象是高三年级的全体学生.我对这节课印象深刻，并由此对数学习题课堂教学进行了一系列的思考.

一、课堂实录

师：近几年的高考中数列问题多出现数列的递推关系， 递推数列是高中教学的重点又是教学的难点，今天主要讲评作业中出现的问题.咱们先复习两个问题：

问题1：中学阶段的常见数列是什么？

生：等差数列和等比数列。

师：考试说明中等差数列和等比数列知识是属于理解和掌握.

问题2：解决数列问题的基本思路是什么？

生：首先考察是否是等差、等比数列;如果不是，研究能否通过变换化归为等差、等比数列.

师： 跟我的想法一样.看下面的知识归纳，已经复习过而解题仍感困难，就是对知识的加工不够，今天在原来的发散思维基础上再集中思维.我们现在观察常见递推数列通项公式的求法：

在郝老师的引导下，学生得出（1）（3）（7）中更为一般的是（7），它是递推数列的基本类型：

教师再次引导学生对参量     进行讨论：

对于“（i）”称为等差型， 对于“（ii）”称为等比型.

师：一般递推数列求通项的解题思路？

生：转化为熟悉的等差或等比数列.

师：其中解题的关键是“变换化归”的方法，求通项没有万能的方法，但依据题目总是可寻找解法的，整体上把握解题方向，再从具体入手，才能做到从题海中跳出来.请同学自己归纳先做过的简单递推数列的课时作业A、B卷中哪些题是属于类型“（i）”、哪些题是属于类型“（ii）”？

教师给出递推数列通项公式求法小结：解决数列问题的基本思路是第一步观察、第二步变换化归.

三、课后反思

1.从数学的原始形态、学术形态、教育形态看

本节课的主要课型是“基础复习课”.教师先从学生已有的数学知识结构入手复习，顺藤摸瓜，各个击破，将要复习的知识点通过师生互动完整地梳理出来;然后再从学生的课时作业中，用含有重要知识点的典型习题来呈现相关的知识点，以增强知识之间的融会贯通与理解. 郝老师对数学课堂一丝不苟教学态度，符合张奠宙教授曾说数学有三种形态中的教育形态，它的呈现是让学生比较容易接受，而且有利于学生的发展的，故教育形态是最符合中学生的认知能力和认识水平的.高三数学复习课就是要用学生最容易接受的方式进行教学，弯弯曲曲的原始形态和板起面孔的学术形态都是不利于我们中学教学的.

本节课后，我与郝老师再一次做了简单交流，她计划下一节课再提升等比型，以及既可转化为等差型还可以转化为等比型的情况，以到达知识的完整性.教学过程中郝老师有两次说到同学们一定要“跳出题海”，而背后却是郝老师要“跳进题海”.他要根据教学内容的结构和学生的认知規律，进行去芜存精的认真备课，备好上课的内容和学生的实际情况，并深刻体会张奠宙教授的数学三种形态中的教育形态，然后才有可能地进行了教学过程的精心设计，以及教学过程的完整实施.而且本节课还有一个关键点——简单递推数列等差型，需要把它弄透、弄彻底.这也是高三作业目标：巩固基础知识、总结方法、从题海中跳出来，提高思维能力.

2.从罗增儒教授解题的四个水平划分看

数学解题的水平划分有四种：数学解题的记忆模仿阶段（水平1），具体表现是：学生能套用记忆中的公式和定理;数学解题的变式练习阶段（水平2），具体的表现是：学生做了数量足够多的数学题，而且习题的形式上有所变化;数学解题的自发领悟阶段（水平3）， 具体的表现是：对变式训练的题有一定的认识，而且能有一定的感悟;数学解题的自觉理解阶段（水平4），具体的表现是：能在领悟解题的基础上，灵活运用解题方法，自觉反思解题过程，并得到情感的熏陶.

这样学生便初步达到了解题水平（4），但是变换方法要靠做题后的不断积累.郝老师的这节习题课，能使不同层次的学生收获到不一样的数学解题水平，是一节成功的习题课.

3.从解答数学习题的方法看

当我们着手解答一道习题时，首先需要认识数学题的基本类型及其特点，这在寻找解题方案上迈出了非常重要的第一步.本节课的习题就是基本类型的识别及解答.其次寻找解题方案，简单说就是用已解过的习题的方法，解题就是把题目归结为已经解过的题目类型。我们开始解答一道数学题目时，如果遇到熟悉的典型题解答就会水到渠成;如果是遇到我们不熟悉的题目，就利用变换和划归等数学方法转化为熟悉的类型。例如，本节课中的第3题和第5题是通过变换划归改变式子结构，变成熟悉的等差数列;第4题就要利用变换划归改变式子的结构，得到第2题那样熟悉的模样。当然说起来很简单，但是实际操作起来却是很不容易的.这是因为没有一种确定的法则和套路可寻。然而只要我们对解过的题目深入思考和认真分析，就会记住解过题目的方法和思路，慢慢地就会形成一种对题目的“归结”能力.

总之，解题的本领是数学水平和掌握数学知识的主要标志之一，所以解题教学具有非常重要的地位，解题训练在数学教学中也很受重视.这也是很多数学教师在教学中一直苦苦不断探索的习题课，从如何设计，到如何实施，才能使习题课更有效，本节课给了一个较好的示范.

责任编辑  邱  艳