学习潜能视角下的中考数学考查探析

束浩东 陈清华 郭军成

【摘 要】 数学学习潜能，是学生学习数学的潜在能力.文章在分析数学学习潜能组成成分的基础上，以2021年中考数学试题为例总结了学习潜能的考查视角——即时学习能力、知识迁移能力、归纳概括能力及探究创新能力四个方面的考查.最后归纳了以考查数学学习潜能为目标的试题命制时应当遵循的六个原则：公平性、简洁性、适切性、发展性、时代性和导向性.

【关键词】 中考数学;学习潜能;知识迁移;探究创新;命题原则

中考作为九年义务教育的终结性考试，发挥着学业检测和区分选拔的双重功能.基于选拔而审视中考数学，不难发现选拔的标准就是考生是否具备进一步学习所必备的数学基础知识和能力素养.换言之，即通过中考数学试题来检验考生的数学学习潜能.本文拟以中考数学题为例，探析数学学习潜能的考查方式，归纳命题原则，以期为中考数学命题提供参考.

1 潜能与学习潜能概念界定

“能力”一词经常活跃在大众视野当中，常指一个人完成某项任务所体现出来的综合素质.在心理学中“能力”特指人们成功地完成某种活动所具备的个性心理特征，它会直接影响人的活动效率.能力根据表现形式可以划分为实际能力和潜在能力两种类型，实际能力指个人当前实际能够做到的，主要通过知识技能来表现，反映了学习的成就或训练的结果;潜在能力并非指个人已经形成的实际能力，而是指未来可能发展的心理特征基础，主要用来预测将来的表现[1].潜能即所谓“潜在的能力”，最早由古希腊哲学家亚里士多德提出，它是相对于“现实”的概念，意为可能性的存在.这种可能性的存在一旦在现实中得以实现，便成为现实性[2].心理学上认为人从一出生就有向外界学习（模仿）的能力，这是一个人学习能力的基本体现.学习潜能，顾名思义是指一个人潜在的学习能力，而把学习的范围具体限定在学校的教育教学上则特指学生在学科领域学习上尚未外显的而更进一步学习所必备的潜在能力.

2 数学学习潜能的内涵外延

所谓的数学学习潜能，即指学生学习数学的潜在能力.基于考查而审视数学学习潜能，可以发现，数学学习潜能是指学生基于已有的数学基础、学习新知识与方法的能力;也是指学生面对陌生的数学问题情境时，能够有效地基于新情境，联想已有的知识与方法，并将这些知识与方法运用于解决问题的能力[3].

基于上述分析，从选拔性考试的视角出发可以认为数学学习潜能主要表现在以下几个方面：一是即时学习能力，即指在有限的时间内能够快速理解新知识（新概念）、自主学习新方法并综合所学知识解决实际问题;二是学习迁移能力，即面对新的问题情境能够基于已有的知识、方法及经验积累进行合理的迁移以解决相关数学问题;三是归纳概括能力，即面对全新的情境材料能够归纳概括出一般性的规律或结论;四是探究创新能力，即能够把握相关问题情境的核心，综合运用所学知识和活动经验等进行合理探究并创造性地解决数学问题.

3 数学学习潜能的考查视角

3.1 即时学习能力的考查是检测数学学习潜能的基本体现

3.1.1 定义新概念，考查数学理解能力

概念是思维的细胞，理解概念是一切数学活动的基础[4].数学学习的过程总是与数学知识紧密相连，而数学概念是数学知识之间的联系桥梁.因而，数学概念理解水平的高低对于知识的掌握和能力的发展至关重要.基于此，以定义新概念的形式考查即时学习（理解）能力是检测学生数学学习潜能的重要依托.

例1 （2021年重庆市中考数学第24題）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“合分解”.

例如：因为609=21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

所以609是“合和数”.

又如：因为234=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，

所以234不是“合和数”.

（1）判断168，621是否为“合和数”，并说明理由;

（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M），A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令G（M）=P（M）Q（M），当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M.

评注 试题通过定义一个学生已有数学知识结构中尚未存储的新概念——“合和数”为背景材料，命制情境化试题，考查考生的数学理解能力.通过题设条件对“合和数”的定义以及所举两个案例准确理解“合和数”这样一个全新的概念是问题求解的关键.第（1）问根据“合和数”定义进行验证即可，旨在落实对基础知识的考查;第（2）问具有一定的难度与区分度，需要考生把握A，B两数各数位数字之间的特征及关联.合理设置未知数、寻找数字之间的等量关系建立方程是正确求解问题的前提条件.本题以定义的新概念为载体检测了考生数学理解能力的发展水平，凸显对数学学习潜能的考查.

3.1.2 引入新方法，考查自主学习能力

学生基于已有的数学基础，学习新知识、新方法的能力是数学学习潜能的重要体现，即时学习能力指学生能够合理借助已有知识或方法的学习经历或学习体验，快速掌握面对的数学新知识或新方法，并将其纳入自身已有的知识网络或方法体系之中[5]，反映在中考数学考场上，则特指考生在限时应答的环境中快速学习题干材料所提供的新知识、新方法进而完成试题的求解.

例2 （2021年随州市中考数学第15题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：227（约率）和355113（密率）.同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（即有ba<x<dc，其中a，b，c，d为正整数），则b+da+c是x的更为精确的近似值.例如：已知157150<π<227，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：157+2250+7=17957;由于17957≈3.1404<π，17957<π<227，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数……现已知75<2<32，则使用两次“调日法”可得到2的近似分数为.

评注 本题以未见于学生当下已有学习经历的新方法为背景，介绍了运用“调日法”寻求精确分数来表示数值的算法，要求考生运用该方法求解2的近似分数.根据题设材料准确把握问题的本质，即时学习并掌握“调日法”的求解原理是解决问题的前提.本题基于情境创设、知识获取、信息整合与转化检测考生面对数学新知识、新方法时即学即用能力的发展水平，有效落实了对数学学习潜能的考查.

3.2 学习迁移能力的考查是检测数学学习潜能的有效路径

所谓迁移就是一种学习对另外一种学习的影响，数学教育的目标无非就是为学生的后续发展奠定基础，使学生学会举一反三，把一种学习中形成的学习经验迁移到另一种学习中去，即学会自我学习[4].而自主学习能力对学生进一步学习义务教育后续阶段数学课程乃至终身发展都至关重要.因而通过创设新情境，以检测知识（经验）迁移能力为依托考查考生学习迁移能力发展水平也是选拔性考试检测数学学习潜能的有效路径.

例3 （2021年江西省中考数学第20题）图1是新冠肺炎疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA=8.5cm.

（1）求∠ABC的度数;

（2）测温时规定枪身端点A与额头的距离范围为3～5cm.在图（2）中，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间的距离为50cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内，并说明理由.（结果保留小数点后一位）

（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，2≈1.414.）

评注 本题结合当下社会热点，以新冠疫情期间体温测量过程中“测温枪”的使用为载体，创设全新的问题情境，命制情境化试题.试题将“测温枪”这一仪器抽象成数学模型，考查解直角三角形的实际应用，有效检测了考生面对新的问题情境是否能够基于已有的知识、方法及经验积累进行合理的迁移以解决相关问题.试题精心撷取背景材料，巧妙融入日常生活资源，彰显数学知识广泛应用价值的同时也润物无声般地检测了学生的数学学习潜能.

3.3 归纳概括能力的考查是检测数学学习潜能的良好载体

归纳是从个别的事物或经验事实出发推出一般的概念、法则等;概括表现为找出一类事物本质特性并且把本质特性推广到同类事物中去[4].《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：“数学作为对于客观对象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具.”[6]由此观之，归纳概括能力在数学学科发展中具有重要地位，一定程度上可视为学生学习数学的前提条件.从这一层面上来看，归纳概括能力也是数学学习潜能的重要组成因子，这也应是中考考查数学学习潜能的重要一环.

例4 （2021年怀化市中考数学第16题）观察等式：

2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，….已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199.若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是.

评注 正确求解本题需要根据材料所给的3组等式归纳概括出一般性的规律：

21+22+23+…2n=2n+1-2;并依据此规律求解出：21+22+…+299=2100-2=m-2，

21+22+…2199=2200-2=（2100）2-2=m2-2，故所求和式的值为m2-m.试题旨在考查考生根据已有材料，概括规律、归纳结论的能力，进而考查数学学习潜能.

例5 （2021年自贡市中考数学第16题）某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是.

5*36=3018482*67=1442569*25=4510554*86=密码

评注 本题求解过程中根据材料归纳出一般性的规律a*bc=ac/bc/acbc是关键，因此4*86=244872.本题以无线网密码为背景，基于情境创设、信息获取、规律探究检验学生归纳概括能力发展水平，落实对数学学习潜能的考查.

3.4 探究创新能力的考查是检测数学学习潜能的重要依托

义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性的特点[6].而普通高中教育的任务则是在义务教育的基础上促进学生更进一步发展，为学生的终身发展奠定基础.高中数学课程基本理念之一就是“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，以促进学生创新意识的发展”.毫无疑问，实现这一切的前提必须以学生个人的学习潜能为基础，以自身的主动探究为依托.这也应当是中考数学将考生探究创新能力的考查提升到体现其选拔功能的意义所在！

例6 （2021年杭州市中考数学第19题）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.

解答：

问题：如图3，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在AB边上

（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），

连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若，

求证：BE=CD.

评注 本题是一道典型的结构不良问题，考生无论选取三个条件中的

哪一个均可以借助相应的数学知识或方法完成待证结论的证明.结构不良试题所具有的条件或部分数据缺失或冗余，目标界定不明确，具有多种解决方法、途径，具有多种评价解决方法的标准，涉及的概念、规则或原理不确定等特征[7]，使其在考查学生的探究创新能力方面作用尤为明显.

例7 （2021年扬州市中考数学第27题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：

（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B，C除外），……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图4）.

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为;

②△ABC面积的最大值为;

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图4所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图4证明∠BA′C>30°;

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图5，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=43.

①线段PB长的最小值为;②若S△PCD=23S△PAD，则线段PD长为.

评注 本题以数学探究活动为依托进行优化设计，命制情境化试题.以问题为导向，分层设问，要求考生根据已知条件类比、模仿、创新并综合运用所学知识，建立合理的数学模型，探索问题求解策略.预设情境活动表明，试题能够基于信息获取与转化、知识迁移、类比探究和创新意识等考查学生的数学学习潜能.

4 数学学习潜能的考查原则

数学学习潜能的考查必须依赖于承载考查内容、落实考查目标的相关问题情境，基于以上分析，笔者认为以考查数学学习潜能为目标的试题命制时应当遵循以下几个原则.

4.1 公平性原则

公平性原则指的是，基于考查数学学习潜能的试题其背景材料、解决试题所需的知识与方法应该为所有考生所熟悉、或为所有考生所不熟悉[8]，既包括材料解读的公平、试题解答的公平也应当包括思维过程的公平.例如案例7中仅要求填写相关问题的答案，一定程度上忽视了学生的思维过程，这就必然导致“会而不全”与“毫无头绪”的考生享受“同等待遇”，一定程度上有违考试的公平性.

4.2 简洁性原则

简洁性原则是指以考查数学学习潜能为目标而选取的背景材料应当简洁明了，既包括问题阐述形式上的简洁，也包括情境材料内容长度上的简洁.例如案例2的背景材料内容过于冗长，尤其是作为客观题，如此长篇累牍合适与否尚有待商榷.

4.3 适切性原则

适切性原则是指针对意在考查数学学习潜能的具体试题而言，试题的难度、题型、设问方式、在整张试卷中的位置乃至试题的立意、表述形式等均应做到适宜、妥帖，符合学生的思维和认知发展水平，符合义务教育阶段教学实际，杜绝偏题、怪题的现象.

4.4 发展性原则

发展性原则是指以考查数学学习潜能为目标的试题命制时应以促进学生的可持续发展为指导思想，聚焦学生更进一步学习所应具备的数学关键知识和能力素养达成情况，创新试题的呈现形式，如结构不良、多项选择、多空填空等，为中考数学学习潜能考查功能的有效发挥提供坚实的载体.

4.5 时代性原则

时代性原则指的是，基于考查数学学习潜能的试题命制应注意与时代接轨，注重加强与实际生活的联系，反映经济社会与日俱增的发展和科学技术日新月异的变化.例如案例3巧妙融入社会热点话题，让试题更具新颖性和亲和力的同时也能引导教师的日常教学打破书本知识的禁锢，转而关注现实生活，进而引导学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界.

4.6 导向性原则

导向性原则指的是，基于考查数学学习潜能的试题命制必须关注中考“导向教学”功能的准确发挥.命题时应处理好传承与创新的关系，要稳中求变，优化设计出“低起点、高立意”且兼具高质量与新颖性的试题，打破“基础题考知识，综合题考思维”的命题刻板效应.如此，方能在落实考查目标的同时，为中学数学教学提供明确的导向：机械刷题收效甚微，以练代教切不可取.进而引导一线教师潜心研究课程、研究教法，以提高教学质量，切实减轻义务教育阶段学生的课业负担.

5 结束语

中考数学学习潜能考查目标的落实，主要聚焦数学理解、自主学习、归纳概括、学习迁移、探究创新等关键要素的考查，应遵循公平性、简洁性、适切性、发展性、时代性和导向性原则，创新试题的呈现方式和情境活动的构建，着眼于学生即時学习能力、知识迁移能力、归纳概括能力以及探究创新能力发展水平的检测.中考数学学习潜能考查目标的落实，既可以为中考“区分甄别”功能的实现提供保障，也能够为中考“导向教学”作用的发挥构筑基础.

参考文献

[1]黄希庭.心理学导论[M].北京：人民教育出版社，2001：800.

[2]谢弗勒.人类的潜能——一项教育哲学的研究[M].上海：华东师范大学出版社，2006，2.

[3]柯跃海.选拔性数学考试的命题与评价[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018：170.

[4]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第三版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]柯跃海.高考数学创新性考查要求的落实路径探析[J].中国考试，2021（01）：63-69.

[6]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[7]任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020，59（02）：1-3.

[8]柯跃海，陈清华.高考数学命题质量评价的基础与方法[J].数学教育学报，2020，29（01）：48-51.

作者简介

束浩东（1996—），男，安徽合肥人，硕士研究生;主要研究数学考试命题与评价.

陈清华（1962—），男，福建莆田人，教授，博士生导师;主要研究代数表示论、数学教育以及考试命题与评价.

郭军成（1979—），男，河南郑州人，副教授，博士研究生;主要研究数学教育、数学考试命题与评价.