基于Matlab的电磁场可视化方法探究

陈文琼， 梅中磊

(兰州大学 信息科学与工程学院， 兰州 730000)

将Matlab引入“电磁场与电磁波”教学中，有助于将抽象复杂的电磁场问题转化为直观简单的可视化图像，从而更清晰地获得电磁场的空间分布，加深对抽象电磁概念的理解[1]。力线是为直观表示空间场分布而人为引入的一簇有向曲线，这些曲线上任意一点的切线方向为该点的场的方向，而曲线的疏密程度则表示该点场强度的大小[2]。力线对于理解电场或磁场的空间分布情况具有重要的辅助功能。结合Matlab强大的计算功能，利用“描点法”绘制得到力线分布，通俗易懂，简便快速，且具有普适性，是绘制和研究电力线、磁力线的有效手段。

1 “描点法”绘制力线

基于Matlab的电磁场可视化方法主要包括利用流线图绘制函数streamline，二维向量场绘制函数quiver，及数值求解或解析求解力线方程来绘制力线。其中，利用quiver函数和streamline函数绘制力线程序简单，运行速度快；而数值法或解析法对于给定力线绘制范围时适用，但耗时较长[3]。本文首先提出了一种通用的电磁场可视化方法——“描点法”，即在电场或磁场已知的情况下，通过逐步描点的方法绘制力线，以直观显示电磁场的空间分布。

(1)

图1 “描点法”绘制力线示意

2 电偶极子的电力线

2.1 电偶极子的电场分布

电偶极子是由两个距离很近且等量异号的点电荷所组成的带电体系。对于由两个等量异号的点电荷组成的电偶极子系统[2]，假设两电荷相距为2a，建立如图2所示的直角坐标系，则通过分析可以获得该电偶极子系统在空间某点所产生的电场强度的大小。由库仑定律可得，两点电荷在空间一点P(x,y)所产生的电场强度大小分别为：

(2)

(3)

单位矢量的表达式为：

(4)

图2 电偶极子系统示意

2.2 “描点法”绘制电力线

获得了电偶极子在场点P处所产生的沿x和y方向的场强分量后，根据“描点法”即可得到该系统的电力线分布情况。假设两电荷之间的距离为2a=2，电力线起始点位于以Q2为圆心、半径a0=0.1a的圆上，取θ=0:π/6:2π为电力线起始点角度间隔，则可得每条电力线的起始点坐标为x(0)=-a+a0sin(θ)，y(0)=a0cos(θ)。根据式(3)中电偶极子系统电场的表达式，可以计算得到电力线起始点产生的场强大小(Ex和Ey)，由式(4)得该点的电场所对应的单位矢量(eEx和eEy)；沿着该单位矢量的方向移动Δl=a/1000的距离到另一点，同样计算得到该点的场强大小及电场的单位矢量；不断重复这个过程，直至获得一条完整的电力线，如图3(a)所示。而三维立体电力线是由平面内电力线绕x轴旋转一定的角度形成的[4]，因此在通过“描点法”绘制得到二维的电力线之后，将电力线坐标[x(i),y(i)]按一定的角度向量φ=0:π/3:2π绕x轴旋转，形成新的三维电力线的坐标：XX=x*ones(size(φ))，YY=y*sin(φ)，ZZ=y*cos(φ)。利用Matlab中的三维绘图命令plot3(XX,YY,ZZ)即可得到该系统的三维立体电力线分布，如图3(b)所示。与ode45函数求解电力线方程相比，利用“描点法”绘制电力线的方法耗时更短，且易于编程[3]。

(a) 二维情况 (b) 三维情况图3 “描点法”绘制电偶极子电力线分布

3 磁偶极子的磁力线

3.1 磁偶极子的磁场分布

(5)

(6)

利用基矢之间的关系对式(6)做化简，即

(7)

进一步有

(8)

其中，k2=4arsinθ/r2+a2+2arsinθ。

上式即为载流环周围所产生的磁感应强度的具体表达式。式中的K和E表示第一、二类完全椭圆积分[5]。

图4 磁偶极子示意

3.2 “描点法”绘制磁力线

图5利用“描点法”绘制了磁偶极子的磁力线分布。假设载流环的半径为a=1，取磁力线的起始位置分别为r=10-5a(近似为载流环中心)，r=0.3a，r=0.6a，r=0.8a，r=0.9a，θ=π/2，φ'=±π/2。以距离载流环中心r处作为绘制磁力线的起始点，由磁感应强度的表达式获得该点的磁场大小及对应的单位矢量，沿着磁场的方向移动Δl=a/1000的距离到空间另一点，循环整个过程直至获得一条完整的磁力线。该方法完美地解决了数值求解磁力线方程中遇到的仿真步长设置不合理导致求解不充分的问题，能够一次性得到磁偶极子完整的磁力线分布图[6]。

图5 磁偶极子磁力线分布

4 矩形波导端面的力线分布

矩形波导是横截面为矩形的空心金属波导管。如果能够形象直观地将电力线或者磁力线以立体形式绘制在波导的表面，对于理解波的传播大有好处。“描点法”即可完成这项任务。当波导中传播TE波时，电场分量位于垂直于波导传播方向的横截面内(Ez=0)。利用“纵向场法”可以得到矩形波导TE波的场分布表达式为[2]：

(9)

以TE11模式为例，利用“描点法”绘制得到其电力线和磁力线的分布。如图6所示。其中xy平面给出了电力线示意图；yz、xz平面给出了磁力线分布。

图6 矩形波导TE11波的力线分布

从图6中可以观察得到，矩形波导TE模式中场分布的特征为：电力线终止于波导壁，并总是垂直于波导壁；磁力线呈闭合曲线，并在波导壁的附近与壁平行；此外电力线以波导横截面的中心轴线x=a/2，y=b/2为对称轴呈对称分布。

5 结语

本文提出了“描点法”绘制力线的方法，并在Matlab中绘制得到了电偶极子、磁偶极子力线的二维和三维分布图以及矩形波导TE11波对应的力线分布。在保证一定精度的前提条件下，通过逐步“描点”的方法绘制力线，具有程序简单，执行速率高的优点。其次，利用“描点法”可以克服求解力线方程无法获得系统边界处数值解的问题，从而获得完整的电力线和磁力线分布图。基于Matlab仿真软件可更加直观形象地显示电磁场的空间分布规律，将抽象的电磁场可视化、形象化，从而加深了大家对复杂电磁概念的理解。