如何判断空间中四点是否共面

管小红

在空间中的点是随意分布的，不一定在同一个平面内.判断空间中的三个点是否在一个平面内的依据是公理：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.由此公理可得出两个结论，即结论1：经过两条平行的直线，有且只有一个平面;结论2：经过两条相交的直线，有且只有一个平面.在判断空间中的四个点是否共面时，我们需根据这两个结论来解题.下面以一道题为例，谈一谈判断空间中的四个点是否共面的方法.

题目：如图1，已知平面 ABEF⊥平面 ABCD ，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠FAB =90°，BC  AD， BEAF .请判断 C，D，E，F 四点是否共面.

该几何体为不规则几何体，仅靠觀察图形，很难判断空间中的 C 、D 、E 、F 四个点是否共面.我们需根据上述两个结论来寻找解题的思路.有如下三种方法.

方法一：运用坐标系法进行判断

坐标系法是解答立体几何问题的重要方法.只要根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系，求出各个点的坐标，便可将问题转化为向量运算问题，运用向量的共线定理便可证明四个点所在的两条直线平行，根据结论1可判定空间中的四点共面.

解：因为平面 ABEF⊥平面 ABCD，AF⊥AB，所以 AF⊥平面 ABCD，所以以 A 为坐标原点、射线 AB为 x 轴的正半轴，建立如图2所示的空间直角坐标系 A -xyz .设 AB =a，BC =b，BE =c .由题意得 A0，0，0， Ba，0，0，Ca，b，0，D0，2b，0，Ea，0，c.则 F0， 0，2c，所以 F D =0，2b，-2c，而 E C =0，b，c，所以 E C = F D，所以 EC//FD，所以 C，D，E，F 四点共面.

方法二：利用三角形中位线的性质进行判断

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在判断空间中的四个点是否共面时，可巧妙添加辅助线，合理构造三角形及其中位线.若四个点在三角形的中位线或第三边上，便可利用三角形中位线的性质证明四点共线.

解：延长 CD 交 AB 的延长线于 G 点，由 BC// AD得 BC 是三角形 ADG 的中位线，则 GA = GD = AD =2.延长 EF 交于 AB 的延长线于 G′点，由 BE// AF 得EB 是三角形 AFG 的中位线，则 G′F = G′A = AF =2，所以 G′A = GA，所以 G 与 G′重合，所以直线 CD 、EF 相交于G 点，所以 C，D，E，F 四点共面.

方法三：根据平行四边形的性质进行判断

平行四边形的一个重要性质是：平行四边形的两组对边平行且相等.在判断空间中的四个点是否共面时，可根据题意合理添加辅助线，构造平行四边形，根据平行四边形的性质便可证明四个点所在的两条直线平行，根据结论1即可证明空间中的四个点共面.

解：如图4，取 FA，FD 的中点 G， H，连接 BG， GH， HC .由题意得 FG = GA，FH =HD，所以 FH =HD，所以 GH//AD，GH =2AD .又 BC//AD，BC =2AD，所以 GH//BC，GH =BC，所以四边形 BCHG 是平行四边形，所以BG//CH .又因为BE //AF，BE = AF，G 是 FA 中点，所以 BE // GH，BE = GH，所以 EF//BG，所以 EF// GH，所以 CE， FH 共面.又因为 D 在直线 FH 上，所以 C， D，E，F 四点共面.

解答空间立体几何问题需找到解题的依据，而判断空间中四点共面的依据是上述公理.我们由该公理的两个结论想到平面向量的共线定理、三角形中位线的性质、平行四边形的性质，于是运用坐标系法、构造三角形的中位线、平行四边形，从而判定空间中的四点共面.因此，在解答立体几何问题时，同学们需首先找到解题的依据，如公理、定理、性质等，由此展开联想，来寻找解题的方案.

（作者单位：江苏省盐城市大丰区南阳中学）