如何构造三角形中位线
2020-10-29王翰琛
三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题时若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.
一、连接两点构造中位线
例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。求证：DE=EF
证明：连接CM，BN，如图2.
△ABM和△ACN是等边三角形，易证△MAC≌△BAN（边角边）.
∴MC=BN.
∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，从而DE=EF.
二、用“角平分线+垂直”构造中位线
例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，连接MD.
（1）如图3，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长：
（2）如图4，若AD为△ABC的外角的平分線，求MD的长，
解：（）如图5.延长BD交AC于E.
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD=DE，AE=AB=12.
∴CE=AC-AE=18-12=6.
又∵M为BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，MD=3.
（2）延长BD，CA交于E，如图6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，
∴MD=CE2=15.
三、倍长法构造中位线
例3 如图7.在△ABC中，∠ABC=90° ，BA=BC.△BEF为等腰直角三角形，
如何构造三角形中位线
吉林省长春市解放大路学校
王翰琛
三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题时若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.
一、连接两点构造中位线
例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。求证：DE=EF
证明：连接CM，BN，如图2.
△ABM和△ACN是等边三角形，易证△MAC≌△BAN（边角边）.
∴MC=BN.
∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，从而DE=EF.
二、用“角平分线+垂直”构造中位线
例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，连接MD.
（1）如图3，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长：
（2）如图4，若AD为△ABC的外角的平分线，求MD的长，
解：（）如图5.延长BD交AC于E.
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD=DE，AE=AB=12.
∴CE=AC-AE=18-12=6.
又∵M为BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，MD=3.
（2）延长BD，CA交于E，如图6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，
∴MD=CE2=15.
三、倍长法构造中位线
例3 如图7.在△ABC中，∠ABC=90° ，BA=BC.△BEF为等腰直角三角形，
