谈谈两类常考的分段函数问题的解法

刘武

分段函数的定义域被划分为两段或者两段以上，每一段上的函数解析式各不相同.分段函数问题一般较为复杂，在解题时通常需运用分类讨论思想对不同区间段上的函数进行讨论，且往往需利用数形结合思想来辅助解题.下面主要讨论一下两类常考的分段函数问题的解法.

一、求分段函数的值

求分段函数值的问题一般较为简单，常以选择题或者填空题的形式出现.在求分段函数的值时，首先要明确所求值的自变量所在的范围，找出相对应的区间段和函数的解析式，再将其代入函数的解析式中进行计算，即可求得函数的值.

例1.

解：

由于函数解析式中含有参数a、b，因此需先根据已知条件建立关于a、b 的关系式求得a、b 的值，得到函数的解析式.由于-3≤0，所以需先将x =-3代入 fx=ax +b 中进行计算，得到 f-3=9.而9>0，所以需将 x =9代入 fx=log3x 中进行计算得到所求的值.若所求的值为 f（fa）的形式，应遵循“由内到外”的原则，从内到外依次求值，即先求 fa的值，然后将所得的值代入 f（x）中进行计算.

二、解分段函数不等式

解分段函数不等式通常有两种思路：①运用分类讨论法.即对每段函数的解析式进行分类讨论，分别求解，然后综合所得的结果（求并集）即可.值得注意的是，运用分类讨论法求解时，应检验所求的解集是否符合其相应区间段上自变量的取值范围.②采用数形武结合法.若分段函数的图象比较容易画出来，可用数形结合法进行解题.首先依据题意画出分段函数的图象，将题设中的数量关系式通过图象呈现出来，然后借助图象的直观性去掉函数符号“ f ”，建立关于自变量的不等式，解不等式即可解题.

例2

解法一：

解法二：

解法一主要采用了分类讨论法，根据对数函数的单调性，分4种情况讨论自变量x+1和2x 的大小关系;解法二主要采用了数形结合法，先画出函数 的图象，以明确 x +1和2x 可能所在的位置，再根据对数函数的单调性建立不等式，求得不等式的解集.

在求解分段函数问题时，同学们应该明白的是，分段函数的定义域是几个区间段的并集，因此需对每一个区间段上的情况都进行分析，讨论每一个区间段上自变量的取值范围、函数的取值、单调性等.

（作者单位：南京师范大学第二附屬高级中学）