两类立体几何问题的解法剖析

谢梅林 谢志坚

立体几何问题的考查角度有很多种，如绘制三视图、直观图，求空间几何体的体积，判断或证明点、线、面之间的位置关系，求空间角的大小等.空间立体几何问题一般对同学们的空间想象能力和抽象思维能力的要求较高.下面主要探讨一下两类立体几何问题的解法.

一、证明直线、平面之间的平行关系

直线、平面之间的平行关系主要包括直线与平面平行、平面与平面平行两种.证明线面平行一般需利用线面平行的判定定理或者面面平行性质定理;证明面面平行一般需运用面面平行的判断定理.在证明线面、面面之间的平行关系时，往往需要根据相关的定理和性质添加适当的辅助线，构造出三角形的中位线、平行四边形，以便由线线平行证得线面平行、面面平行.

例1.如图1，已知 MA⊥平面ABCD，CN⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD =60°，CN =1，AM =3.证明：BN//平面ADM.

分析：根据已知条件，我们很难在图中找到与 BN 平行的直线，所以需根据面面平行的判断定理和性质定理来证明线面平行.由菱形的性质可知 BC//AD，且根据已知条件可知 MA//NC，这样便可根据两个平面平行的判断定理证明平面 BCN//平面ADM，再根据面面平行的性质定理证明 BN//平面ADM.

证 明 ：由 MA⊥平面ABCD，CN⊥平面ABCD 可 得MA//NC，

因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BC//AD，

又因为 AD，AM 在平面 ADM 内，且 AD∩AM = A，BC∩CN = C，

所以平面 BCN//平面ADM，

又因为 BN⊂平面BCN，

所以 BN//平面ADM，即命题得证.

二、求空间角的大小

空间角主要包括直线与平面所成的角、异面直线所成的角、二面角.求空间角的大小，我们通常需根据直线与平面所成的角、异面直线所成的角、二面角的定义，或利用空间向量法来求解.在运用向量法求空间角的大小时，需首先根据几何图形的特点建立合适的空间直角坐標系，然后求得各个点、直线、平面的坐标，运用空间向量的夹角公式和向量运算法则求解.

例2.如图2，已知四棱锥 P - ABCD 的底面是正方形 ，PA⊥平面ABCD，AE⊥PD . 若 AP = AB，求 二 面 角B - PC-D的余弦值.

证明：

我们根据几何图形的特点，以点A 为坐标原点， AD、AB、AP分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算法则求出两个面的法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的大小.需要注意的是，两个面的夹角不一定等于两个平面的法向量的夹角，还有可能等于其补角.

由此可见，解答空间立体几何问题，不仅要熟练掌握空间几何中的基本公式、定义、性质、定理，还需学会结合空间几何图形添加合适的辅助线、建立空间直角坐标系，这样才能顺利求得问题的答案.

（作者单位：江西省赣州市南康区第三中学）