感悟数形结合 体味数学魅力

毛国荣

[摘  要] 基于理论研究与教学实践，文章提出数形结合在小学数学教学中的运用——以形助数，实现数学概念形象化;以数解形，实现几何规律显性化;数形结合，实现复杂问题简单化。

[关键词] 数形结合;小学数学;概念;几何

“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，华罗庚先生所言鲜明生动地说明了数形结合思想的重要意义。数形结合思想作为一种重要的数学思想，不但能够使数学概念形象化、几何规律显性化，更能使复杂问题简单化。笔者将从三个角度论述数形结合思想在小学数学教学中应用的基本策略，力图进一步丰富数形结合思想的实践经验。

一、以形助数，实现数学概念形象化

数学概念教学是教学的重要任务之一。然而，小学生形象思维的具象性与数学概念的抽象性似乎是一对难以调和的矛盾。数形结合的思想为解决这一矛盾提供了崭新的思路。在数学概念教学的过程中，教师要善于把抽象的数学概念通过直观形象的几何图形呈现出来，以“形”助“数”，从而实现数学概念的直观化、趣味化、形象化。

如，“分数的意义”教学节选。

师：对，把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫分数。在这里，“一个整体”也可以称之为单位“1”。同学们，我在此处的“1”的左右加了双引号，这说明了什么呢？

生1：说明单位“1”并不是指具体的数量，它可以指一个，也可以指很多个的集合。

师：对。

生：不能。

师：为什么呢？这不是把一个整体分成4份，取出其中的3份吗？

生1：必须是把一个整体平均分成4份才可以，这个三角形显然不是被平均分成4份。

师：你真聪明。我们掌握分数最关键的就是要掌握单位“1”和“平均分”的含义。

从范畴上来看，“分数的意义”属于代数内容。然而，分数其本身具有很强的抽象性，在初次接触学习时，小学生往往会感到困惑不已。在之前的教学节选中，教师通过引导学生画图的方式，使学生按照自己的思路画出1个正方形、1个圆，9个圆，12根骨头等图形来表示，教师趁势通过图形直观形象地阐释了单位“1”的含义，排除了学生理解分数意义的一大障碍。另外，教师通过变式，提供反例，向学生解释了“平均分”的含义，进而排除了学生理解分数意义的另一障碍。不难发现，教师通过数形结合的思想帮助学生逐一排除理解的障碍，彰显了数形结合思想在小学生概念学习中的独特优势和魅力。

二、以数解形，实现几何规律显性化

“图形与几何”是小学数学中知识内容极为丰富的重要板块。“形少数时难入微”，即缺乏精准的数据支撑，几何图形的本质特征就难以被描述。教师在讲述这部分内容时，要注意把图形的直观性与数据的精准性和可操作性紧密结合起来，通过数形结合的方式使学生更加深刻地了解图形的本质。

如，“长方形面积”教学节选。

师：同学们，张师傅用20根1米长的竹竿围成一个长方形的花圃，他能夠围成几种不同规格的花圃呢？哪种规格的花圃面积最大？

生1：“20根1米长的竹竿”说明这个长方形花圃的周长是20米。

生2：这个长方形的长和宽的和是10米。

生3：我们可以通过画图、列表格的方式来解决这个问题。

师：对，同学们可以画出满足条件的所有长方形，看看这些长方形的面积有什么特点？

生1：通过画图并列表格（见表1），我发现了这样的规律，由于长方形的周长是20米，所以它的长加宽的和是个固定数（10米），也就是说这个长方形的长越大，它的宽就越小。

师：你还有什么发现呢？

生1：我还发现，当长方形的周长一定时，它的长和宽的差越大，它的面积就越小。反过来说，它的长和宽的差越小，它的面积就越大。

师：你能举例说明你的观点吗？

生1：比如，当长方形的长是9米，宽是1米时，长与宽的差是9-1=8（米），它的面积是9×1=9（平方米）;当长方形的长是8米，宽是2米时，长与宽的差是8-2=6（米），它的面积是8×2=16（平方米）;当长方形的长是6米，宽是4米时，长与宽的差是6-4=2（米），它所对应的面积是6×4=24（平方米）。

师：的确是这样。那什么时候长方形的面积最大呢？

生1：当长方形的长与宽相等的时候，也就是长方形成为正方形的时候，它的面积达到了最大。所以，张师傅一共能够围成5种不同规格的长方形，当长方形的长和宽都是5米时，它的面积最大，是25平方米。

师：对。通过上面的分析我们可以得出这样的结论，即当长方形的周长一定时，它的长和宽越接近，面积就越大。当长方形的长等于宽时，它的面积达到了最大值。

寓形于数，赋予几何图形以直观的特质，使得隐含在几何图形内部的规律以“数”的形式显现出来。教学中，教师引导学生通过寓形于数的方式，使得几何图形的本质规律逐渐变得清晰、明朗起来。通过画图、析图，学生不但自主探索到了图形的内部规律，还熟练了动手操作的能力，找到了数形结合思想解决数学问题的新思路。

三、数形结合，实现复杂问题简单化

受思维水平和认知能力的制约，小学生面对一些比较抽象、复杂的数学问题时，往往难以对其中复杂的数量关系作出正确的判断，进而导致无法高效地解决数学问题。这就要求教师要引导学生转变思路，充分运用数形结合的思想，通过直观的线段图、表格、示意图等形式厘清各个数量之间的联系，从而寻找新的突破点。

如，分数加法和减法教学节选。

师：笑笑很喜欢喝牛奶。这天妈妈为笑笑准备了1杯牛奶，当喝了半杯后，感觉太凉了，于是她就在杯子里倒满热水又喝了半杯。请问，此时笑笑一共喝了多少杯奶，喝了多少杯水？

生1：这道题里的数据可真乱呀！

生2：是呀，我真不知道从哪里入手呢！

生3：我感觉我们或许可以画图先理清题目意思。

师：同学们一定感觉这道题无从下手，那么，老师提示一下，可以采用数形结合的思路来解决这个问题。

生1：画图解题的办法真好，它使复杂的数学问题变得简单了。

这一道数学题目的各个数量之间的关系不可谓不复杂。但是，数形结合的解题办法使得复杂的数量关系变得简单化，使得盘根错节的解题过程变得条理化，从而使学生能快速看透相关数学问题的本质，进而顺利解答问题。

总之，在小学数学教学中运用数形结合思想，实现“数”与“形”之间的灵活转化，能够最大限度地降低学生理解数学问题的难度，也能有效地拓展学生的思维方式，提高学生探究数学知识的能力。

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