合情推理能力的培养措施

曲薇薇

[摘  要] 合情推理能赋予人类更多的联想与创造，它是培养学生形成良好创造力的重要途径之一. 文章以一道高三年级的解析几何题为主线，引导学生在归纳与类比中探究圆锥曲线的性质，形成合情推理能力，主要从四方面展开阐述：观察试题，找出问题本质;拓展纵深，提炼一般规律;横向延伸，类比异同性质;及时反思，形成新的猜想.

[关键词] 合情推理;类比;猜想;反思;解析几何

新课标提出：“学生要在学习中亲历实验、观察、猜想与证明等活动过程，获得良好的推理的能力.”这里所提到的推理能力主要指合情推理与演绎推理两种，合情推理指学生从自己已有的认知经验出发，以某个特殊情境推导出一些具有一定可能性的结论;演绎推理则是指以一般性的前提为出发点，通过推导、证明，获得个别结论或具体陈述.

波利亚提出：“证明某个定理之前，需先经历猜想、推测证明等过程，此过程需要更多的合情推理而非演绎推理”，由此可见合情推理的重要性. 笔者以一道解析几何题的教学为例，着重谈一谈培养学生合情推理能力的具体措施，与各位同仁共享.

[⇩] 观察试题，找出问题本质

新课标认为：“教师应关注学生对问题本质的认识程度，绝不可让生动的数学思维淹没于形式主义中.”当我们拿到一道试题时，绝不可贸然下笔，而应认真审题，挖掘问题本质，只有弄清问题内涵，才能以不变应万变. 波利亚提出：“数学的发现与创造源自合情推理.”第一步的观察，不仅能让学生明晰解题思路，还能为发现与创造提供条件，为合情推理能力的形成奠定基础.

例题 已知坐标原点为椭圆C的中心，该椭圆的焦点位于x轴上，F，F分别为左、右两个焦点，短轴长度为2. 点P位于椭圆上，且△PFF周长为6.

问题：（1）写出椭圆C的方程.

（2）若椭圆C与过点（-1，0）的直线相交于点A，B，x轴上是否有定点M，可使·恒为定值？如果存在，请找出點M的坐标以及该定值;如果不存在，请说明理由.

分析：（1）该问比较简单，可快速求得椭圆C的方程为+=1.

（2）这是一个开放性的问题，具有较强的探究价值. 于学生而言，此问对他们的思维能力以及运算能力都具有一定的挑战性，同时也给他们提供了更为广阔的思考空间. 观察此题的条件，发现要获得具体的结论，不能仅仅依赖于椭圆的常数，还需要从求解圆锥曲线与直线位置关系的通法的角度去思考与探析.

如果我们仅仅满足于这两问的解决，难以真正打开学生的思维与视野. 就题论题的教学方式，只会将学生的思维禁锢到一个狭小的空间内，无法从真正意义上揭示问题的本质. 而揭露问题的本质才是教学的主要目标，目标一旦实现，就能有效地拓展学生的思维，让学生形成以一通百的解题能力.

本题涉及的问题是特殊椭圆的定点与定值的性质，我们可沿着这些性质，将问题辐射到一般性的椭圆问题中，也可辐射到其他圆锥曲线类问题中. 这就需要教师进行科学的引导，鼓励学生深度挖掘与探究问题的本质，达到追根溯源、举一反三的能力. 为此，笔者针对本题进行了纵深的拓展，以便于学生更好地归纳总结.

[⇩] 拓展纵深，归纳一般规律

合情推理是通过个别特殊事物提炼出一般性规律的工具，它所呈现的思维形式以观察、猜想与探究为主. 为了开拓学生的视野，让学生的思维更具弹性，我们可将试题进行纵深拓展，由特殊情况推广到一般的椭圆.

观察本题，根据问题的已知条件（-1，0）是椭圆的左焦点，若将焦点和椭圆方程一般化，我们可做如下猜想.

猜想一：如果椭圆+=1（a>b>0）与过点D（m，0）的动直线相交于A，B两点，那么在x轴上有定点M（x，0）能使得·为常数.

证明：设过点D（m，0）的直线为x=ky+m，设点A（x，y），B（x，y），

可得·=（x-x，-y）·（x-x，-y）=x+（a2m2-a2b2k2+m2b2-a2b2-2ma2x），

当x=时，则·=x-a2为定值.

根据对称性，可得推论一：如果椭圆+=1（b>a>0）与过点D（0，m）的动直线相交于A，B两点，那么在y轴上有定点M（0，y）能使得·是定值y-b2.

一个问题引发学生产生思考，到猜想的提出与验证，此过程有效地实现了知识由特殊到一般的演变过程，这里实现了从椭圆的定点与定值等特殊情况到一般性情况的突破. 学生的思维及解题策略在知识的发生发展过程中，以探究的形式逐渐暴露. 随着对知识纵深的理解，学生不仅彻底领悟了知识形成与发展的来龙去脉，还有效地培养了学生的运算能力、求知精神以及发散性思维，感受推理带来的无限乐趣.

[⇩] 横向延伸，类比异同性质

类比推理是指将具有某些相似特征的对象进行比较，由某一对象的已知特征推导出另一对象的类似特征的过程. 在解题中应用类比法，具有修路筑桥、启发思维等作用，这也是系统性地解决一些复杂问题的有效方法之一. 迄今为止，数学中很多著名的规律、结论等的发现，都是通过类比推理而来.

波利亚提出：“类比的伟大之处在于具有较强的引导性[1].”椭圆作为圆锥曲线中的一种特殊类型，与双曲线相比，它们在概念、几何特征以及方程结构上，都存在着一些共性特征. 本题经过对猜想一的探究以及验证，学生已然很好地将椭圆的定点与定值的性质纳入了认知结构，此时，学生已经具备了类比迁移的基本条件. 因此，教师可紧扣学生的最近发展区，带领学生从椭圆的性质出发，通过类比思想的应用，将思维横向发展到双曲线的相关知识.

猜想二：如果双曲线-=1（a>0，b>0）与过点D（m，0）的动直线相交于A，B两点，那么在x轴上有定点M（x，0）能使得·为常数.

证明：设过点D（m，0）的直线为x=ky+m，设点A（x，y），B（x，y），

可得·=（x-x，-y）·（x-x，-y）=x+（2ma2x+m2b2-a2m2-a2b2k2-a2b2）

当x=时，则·=x-a2为定值.

推论二：如果双曲线-=1（a>0，b>0）与过点D（0，m）的动直线相交于A，B两点，那么在y轴上有定点M（0，y）能使得·为定值y-a2.

将两个猜想与两个推论进行比较，会发现椭圆与双曲线的结构对称且呼应，这不仅彰显了数学独特的魅力，还有效地开发了学生的思维. 此时有学生脑洞大开，提出：抛物线的定义描述与椭圆也有相似之处，它们之间是否存在一定的共性特征呢？围绕这个想法，师生又进入新一轮的探索中.

猜想三：如果抛物线y2=2px（p>0）与过点D（m，0）的动直线交于A，B两点，那么在x轴上有定点M（x，0）能使得·为常数.

经证明可得·为定值m（m-2p）（过程略）.

从以上猜想与论证过程来看，类比除了能帮助学生发现新的命题之外，还能有效地打开学生的解题思路，促使学生在知识的概括、解释与迁移中形成良好的数学思想与方法，从而推导出更多的数学事实与一般性的规律，实现解题能力的提升.

[⇩] 及时反思，形成新的猜想

弗赖登塔尔认为：“反思是促进思维活动发展的核心.”反思作为学习不可或缺的一部分，对培养学生的推理能力具有直接影响. 数学不仅仅是知识的学习，还是各类数学思想、观念的学习. 只有建立在思考基础上的能力，才是真正属于自己的能力，反思就是促进学生在认知过程中，不断地进行自我调控、自我监督的重要形式[2].

解题过程中及时反思，不仅能理清整个知识体系，还能促使学生形成新的猜想. 牛顿认为：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现.”如本题，教师可引导学生顺应以上的猜想、论证与推理过程，反思以上所有的推论与命题是否合情合理，是否成立等.

纵观以上教学过程，笔者以一道解析几何题为出发点，将归纳与类比两大利器灵活地應用到合情推理中，与学生共同探讨椭圆、双曲线以及抛物线等圆锥曲线的相关性质，诠释了从解一题到通一类题的飞跃，学生所收获的不仅仅是与本题相关的知识，更是一种解题技巧与方法的掌握.

综上，可见合情推理的应用，不仅能优化学生原有的认知结构，还能整合学生的认知体系，促进思维及数学思想方法的有效发展，将学生带到一个更新颖的、更宽广的研究领域，体会数学探究的妙趣. 因此，教师应将合情推理应用到教学的各个环节，鼓励学生充分发挥想象，勇于猜想，善于总结、归纳、类比，实现合情推理能力与核心素养的双提升.

参考文献：

[1]  波利亚. 数学与猜想数学中的归纳与类比[M]. 李心灿，王日爽，李志尧，译. 北京：科学出版社，2001.

[2]  张奇. 学习理论[M]. 武汉：湖北教育出版社，1999.

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