自治自动 合作共享

姜卫东

[摘  要] 通过创设问题情境，引导学生自主探究、主动建构二项式定理及相关概念，在合作学习中体验二项式定理及通项的应用，积极打造“自治自动，合作共享”的课堂教学模式. 文章拟通过对教学过程的记录整理，对课堂教学行为进行反思与改进.

[关键词] 自治自动;小组合作;二项式定理;教学实录;教学反思

笔者所在学校一直倡导并践行“自治自动”的教育教学传统（成功申报了省级课题《指向数学思维的“自治自动”教学研究》），注重学生的自主研究与思考，强调学习之间的合作与交流，积极打造学生学习共同体.本文以“二项式定理”的教学为例，探讨如何打造“自治自动，合作共享”的课堂教学模式.

教学动因

1. 教师方面：课题《指向数学思维的“自治自动”教学研究》在我校的顺利开展，进一步提高了教师改革数学课堂教学实践的热情，引领教师积极构建“自治自动，合作共享”的课堂教学模式.

2. 学生方面：“二项式定理”是高二學习的内容，高二学生的心智、心理及情感发展已达到一定的高度，他们已经掌握了具体与抽象、特殊与一般、转化与化归等数学思想方法，以及观察、分析、类比、归纳、猜想和证明等数学探究能力，这些思想与能力为学生自治自动思考、合作探究学习提供了保障.

3. 教材方面：“二项式定理”是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-3）》第一章第5节的内容. 学生在初中已经学习了多项式乘法，二项式定理可以看成是多项式乘法法则的推广，同时，本章前面也已介绍了计数原理及排列组合的知识，这些知识为实施“自治自动，合作共享”的教学模式提供了可能.

教学实录

1. 创设情境，引入课题

情境1：若今天是星期二，再过8100天后的那一天又是星期几？

情境2：利用多项式乘法法则，分别计算（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100.

设计意图：设计生活情境与数学情境，让学生感受到今天所学内容，既是现实生活中的需要，更是数学知识内部发展的需要.这两个问题情境，都处在学生的最近发展区，便于学生上手探究.同时，这两个问题也会引起学生的认知冲突，从而激发学生的兴趣和求知欲.

2. 自治自动，初步探究

师：请同学们先独立自主研究上面两个问题，然后老师请两位同学汇报成果.

生1：由于一个星期有7天，要看再过8100天后的那一天是星期几，关键是要看8100除以7的余数是多少？

（生1对于8100除以7的余数问题，束手无策，在教师的引导下，最终将问题转化为求（7+1）100的展开式，进而将问题一般化，引出本节课的主题：求（a+b）n（n∈N*）的展开式.）

生2：分别用多项式乘法法则计算得到部分展开式：（a+b）1=a+b;（a+b）2=a2+2ab+b2;（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3;（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;对于（a+b）5，我知道可以看成（a+b）4·（a+b）来进行解决，但没时间计算.而对于（a+b）100，如果用此法计算，就实在太难了，真不想算，必须另辟蹊径.

（老师首先肯定了生2的实事求是的学习态度，同时赞同他改变思路的想法.由于有情境1的铺垫，生2也很快将问题归结为求（a+b）n（n∈N*）的展开式.）

师：既然直接用多项式乘法求（a+b）n较困难，那么就要寻找更优的解法. G·波利亚告诉我们“回到定义去”，让我们对多项式乘法进行再认识.

设计意图：通过初步探究与独立思考，让学生在“做中学”，引起他们的认知冲突，使寻求新方法成为必然.

3. 合作学习，建构知识

问题1：（苏教版教材2-3第9页上的习题10）乘积（a+b+c+d）（m+n）（x+y+z）展开后共有多少项？每一项是怎样构成的？

生3：将多项式利用乘法法则直接展开，可得24项，通过观察可知，每一项都是三次式，由每个括号内取一个字母相乘而构成.

师：是否还有简便的方法得到结果？以小组为单位进行合作学习，然后推选一位代表发言.

生4：有. 首先，根据多项式乘法法则可知，展开式中的每一项都是从三个括号内各取一个字母相乘得到的，结合分步计数原理，可得共有4×2×3=24项.

（通过问题1的探究，使学生明确展开式中项的结构就是每个括号内任取一个字母相乘而得到.）

追问：是否所有多项式相乘求展开式项数的问题都可以用类似问题1的方法快捷得出？

（由于这个问题学生不容易一下子回答准确，所以教师再次组织学生进行合作探究学习，然后派学生代表进行展示.）

生4：不可以.

师：为什么？能否举例说明.

生4：因为问题1中多项式展开后没有同类项，所以项的个数就可以由分步计数原理直接求出，各项的系数都是1.但若多项式展开后出现了同类项，那么就不能这样来求. 例如：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，由于存在同类项，项的个数不是2×2×2=8，而是4项.

问题2：刚才生4给我们提出了一个新的问题，当因式相同时展开后会有同类项需要合并，项数发生改变，各项的系数也发生改变. 下面，就以（a+b）3为例，请同学们继续合作探究，项的结构有哪些形式？各项的系数究竟与什么有关？

（这个问题是本节课的一个教学难点，教师可以提醒学生将（a+b）3看成（a+b）（a+b）（a+b），然后利用乘法法则将它展开为a3+a2b+ba2+ab2+a2b+ab2+b2a+b3，再合并同类项，进而发现各项系数的规律.）

生5：由于（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），结合问题1的讨论，它的展开式中只有四种类型的项，即a3，a2b，ab2，b3，各项前的系数就是项的个数吧.

（生5对项的结构的回答是清晰的，但对各项系数的理解还不透彻，于是教师设计问题3.）

问题3：为什么a3，a2b，ab2，b3这些项在展开式中的个数就是1，3，3，1呢？

生5：数出来的.

师：当n较小时，可以数出来.但n较大时，就不能数了.我们继续思考，寻找它的数学本质.

生6：a3这样的项只能3个括号都取a（没有括号取b）相乘，因此系数为1=C;a2b这样的项只能2个括号都取a，1个括号取b相乘，因此系数为3=C;ab2这样的项只能1个括号取a，2个括号都取b相乘，因此系数为3=C;b3这样的项只能3个括号都取b（没有括号取a）相乘，因此系数为1=C.

（尽管生6的表达与展示非常清晰，但教师通过观察发现还是有少部分学生在理解上有障碍，于是教师进行追问.）

师：生6的分析非常好！但比较抽象，同学们能否联系前面刚学过摸球模型进行形象化的解释？[1]

（分析多项式的展开结果时，常见的策略有三种：根据多项式乘法法则直接展开;利用乘法原理分析;采用摸球策略.而且摸球的策略可以将抽象的数学问题形象化，便于学生理解. 当然，要让学生构造出摸球的模型具有一定的难度，还是集中大家的智慧，采用小组合作学习，请小组代表走上讲台展示交流.）

生7：将字母a对应黑球、b对应白球.如图1与图2，在图1中有三个盒子，每个盒子中分别放有完全相同的1个黑球和1个白球，a2b前的系数就相当于从三个盒子中取出2个黑球、1个白球的个数（如图2），即C，以此类推其他各项的系数.

问题4：通过上面的方法我们得到了（a+b）3的项的结构及项的系数，而且发现项的系数与组合数有关. 那么，这种方法及结论对其他特殊情形（a+b）1，（a+b）2，（a+b）4，…，也适用吗？

生：也适用. （a+b）1=Ca+Cb;（a+b）2=Ca2+Cab+Cb2;（a+b）3=Ca3+Ca2b+Cab2+Cb3;（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4.

（至此，二项式定理的特殊情况已探究完成，接下来研究一般情况自然水到渠成.）

问题5：根据前面得到的规律与方法，类比猜想一下（a+b）n（n∈N*）的展开式会是什么？

生8：（a+b）n=Can+Can-1b+…+Cabn-1+Cbn.

追问：以上仅仅是猜想，不一定正确，大家能否给出证明？（关键是看项的结构、项的个数及项的系数.请小组探究讨论，派学生代表展示交流.）

生9：由于（a+b）n展开式中的每一项，都是从n个因式中任取一个字母的乘积，故项的结构形式共有n+1种，即an，an-1b，an-2b2，…，abn-1，bn. an这样的项只能n个括号都取a（没有括号取b）相乘，因此系数为C;an-1b这样的项只能n-1个括号都取a，1个括号取b相乘，因此系数为C;an-2b2这样的项只能n-2个括号都取a，2个括号取b相乘，因此系数为C;……;bn这样的項只能n个括号都取b（没有括号取a）相乘，因此系数为C.

师：生9对生8的猜想给出了证明，这样我们就得出了（a+b）n的展开式，它正是我们今天要学习的二项式定理，其中右边的展开式叫做二项展开式. 当n分别取1，2，3，4，5，…时，它们所对应的系数构成一个三角形状的数阵，此表是我国宋代数学家杨辉1261年的杰作，称为“杨辉三角”.

问题6：对于二项展开式，从项数、指数、系数等方面探究具有什么特点？

生10：项数共n+1;指数和为n，其中a的指数从n降为0，b的指数从0升为n;系数为C（r=0，1，2，…，n）.

师：二项展开式中共有n+1项，能否像数列的通项一样，用一个式子来代表这n+1项呢？

（为了便于发现规律进行归纳，可以提醒学生将首项与末项的形式进行改写.）

生10：可用Can-rbr来表示，当r分别取0，1，2，…，n时，就对应展开式中的第1，2，…，n+1项.

（教师通过追问Can-rbr是展开式的第几项，给出二项展开式通项的概念及公式.）

设计意图：教师利用问题串，在自治自动探究及小组合作学习的基础上，帮助学生从特殊到一般，具体到抽象，通过类比、归纳、猜想、证明，建构起二项式定理的知识体系.

4. 精选例题，应用数学

师：观察例1中两个式子的结构，你准备如何解决这个问题？

生11：对于（1），二项式定理的左边用“+”连接，所以将原式变形，有（a-b）6=[a+（-b）]6，接着展开.

生12：对于（2），将作为一个整体，应用二项式定理直接展开.

追问：有无其他解法？

生12：有. 可以将原式先变形为，然后分子用定理展开，化简即可.

例2 求（1+2x）7的展开式中第4项的二项式系数及系数.

（通过例2向学生强调两者的区别：二项式系数是指C，而项的系数是指这一项所有数字的乘积.）

例3 求x-的二项展开式中的常数项.

（教师在发现有少数学生试图将二项式展开后，逐项寻找常数项时，可以做适当引导或让数学资优生做示范，启发其他学生通过通项来处理此类问题.）

师：能否根据今天所学的内容自己编一道题，让其他同学来做？

（学生对这个问题兴趣很浓，但编题的质量不太高. 当然，设置问题6的目的，不在于学生能编出多好的题，关键在于培养学生发现问题与提出问题的意识.）

5. 拓展思维，提升能力

师：下面解决本节课开头的问题，请问再过8100天后的那一天是星期几？

生：将8100=（7+1）100展开后，易知它除以7的余数为1，故再过8100天后的那一天是星期三.

例4 求（x2+x+y）5展开式中x5y2的系数.

（启发学生将原式转化为二项式的形式，并结合解题目标，可将原式变形为[（x2+x）+y]5，然后根据二项式定理求解.）

设计意图：通过解决开头的情境问题，让数学回归生活，使学生体会到数学的应用价值;设置例4的目的就是让学生利用研究二项式定理的方法来解决新问题，使学生不仅获得数学知识与思想方法，而且获得进行数学活动的基本经验.

6. 自主总结，回顾反思

问题7：本节课后你有哪些收获？（自主总结，可从知识层面、思想方法层面及活动经验层面展开.）

生：知识上，学到了二项式定理、二项展开式的特点、通项公式，要注意二项式系数与项的系数的区别;经验思想上，学到了类比、归纳的能力及科学的思维方式，特殊与一般的数学思想.

7. 课外练习，巩固新知

必做题：笔者所在学校自主编写的《自治自动手册》第22课时.

选做题：探究（a+b+c）n（n∈N*）的展开式.

延伸阅读：查阅书籍或登录网站，了解杨辉三角的有关数学史料，为后续的学习做准备.

设计意图：安排必做题与选做题的目的在于体现层次性，满足学生的个性化需求，使不同的学生都有所收获.这里安排阅读题，也是契合新课程改革和全国卷命题趋向的需要，提高学生的数学阅读理解能力不能指望通过几节复习课就能实现，必须在平时的教学活动中逐步落实.

教学反思

1. 突出学生主体作用，自治自动. 在课堂教学中，学生永远是“主体”，教师只能是学生学习活动的引导者、组织者与管理者.任何知识只有经过学生的独立思考、主动建构，才能成为学生自己的知识.正如张奠宙教授所说：“数学不同于其他学科，需要进行逻辑化、符号化、数量化，其过程必定经历独立的、个性化的思考，因此，在合作之前必须先‘独立’”.在设计本节课时，无论是学生自主探究问题，还是小组合作学习，都是教师组织下的学生“自治自动”的自我学习过程.

2. 强化问题导引作用，主动探究. 没有思维就没有数学，没有问题就没有思维.贯穿整堂课始终的就是问题主线，七个主问题成为连接课堂教学活动的纽带，这些具有逻辑关联的问题串层层递进，引导学生进行主动探究，在探究中学会知识与思想方法，提升思维品质与能力. 这些问题有预设的，也有生成的，还有学生自己提出的，它们都指向学生的思维，指引教学目标的达成.

3. 注重培育活动经验，合作共享[2]. 新课程标准提出要加强学生的“四基”培养，笔者以为最重要的是加强数学基本活动经验的培养，因为只有习得活动经验，学生才有后续学习与发展的可能，所以在本节课的教学中，笔者始终聚焦学生活动经验的培育，例如：为研究（a+b）n的展开式，首先从一般退到特殊，获得特殊情况下的研究方法与结论，再用它们进行猜想与证明，最终解决一般情形问题. 当然，要获得丰富的数学活动经验，光靠学生个体往往不易实现，而要借助小组合作学习才能完成，例如：在突破“二项展开式中项的系数”教学难点时，正是经过多次小组合作探究才得以成功.

4. 关注数学育人价值，立德树人. 数学不是只有概念、公式与各种法则，数学更有丰富的育人元素.本节课中所使用的类比、观察、猜想、数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学思想与方法，都助推学生理性精神的培养. 同時，在课堂教学及课外作业中都涉及与“杨辉三角”有关的数学史，就是要在数学教育中，增强学生的民族自豪感，真正将立德树人落到实处.

5. 进一步处理好预设与生成的关系. 在本节课中，有大量的预设与生成的课堂资源，它们推动着教学进程的开展，但在某些地方两者之间的关系处理得不太妥当. 例如，在预设的问题2中，学生将其抽象为二项展开式问题时，不是很顺利. 笔者以为不如将此预设后移，等学完新知识后再出现;又如，在给出问题3后，如何通过摸球模型得到形象化的解释，这是课堂上及时生成的问题，但学生得到这一模型较困难，所以，笔者认为将此问题作为刚开始时的预设问题较妥帖.

6. 进一步关注学生的心理与情感活动. 数学课堂是学生活动的场所. 在本节课中，笔者对学生数学思维活动关注较多，但对学生在数学学习中的心理活动及情感活动关注偏少，重视对学生智力因素的培养，忽视对学生非智力因素的培育，还未真正实现数学教学向数学教育的根本性转变.

参考文献：

[1]  刘志诚. “二项式定理”教学设计[J]. 中国数学教育，2019（10）：16-19.

[2]  史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

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