电磁感应中的“知三求三”

■重庆市高新区教师进修学院 杨天才(特级教师,正高级教师)

恒力作用下的导体杆做切割磁感线运动,已知条件一般有:①基本属性:导体杆的质量m,电路中的总电阻R;②外部环境:匀强磁场的磁感应强度B;③几何长度:导体杆的有效切割长度L;④初始条件:导体杆的初速度为零;⑤隐含条件:导轨的电阻忽略不计,且足够长。待求的物理量一般有六个:①恒定外力F;②导体杆的速度v;③导体杆的运动时间t;④导体杆的位移x;⑤产生的焦耳热Q;⑥通过导体杆横截面的电荷量q。如果知道这六个物理量中的三个,那么就可以利用方程Ft+ (-qBL)=mv,Fx+求剩下的三个。

说明:①若导体杆的初速度不为零,则同理可以“知三求三”;②若导体杆最终达到最大速度vmax,增加一个方程,则可以“知二求四”;③在没有外力作用的情形下,方程Ft+(-qBL)=mv变为qBL=mv,则不能求解时间t,而位移x、焦耳热Q、电荷量q仍可求。

例1如图1所示,在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内,相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于轨道MN、PQ放置,与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻,导体棒cd在拉力F的作用下由静止开始运动,经过时间t,导体棒cd的速度为v。求:

(1)通过导体棒cd某一横截面的电荷量q。

(2)时间t内导体棒cd的位移x。

(3)时间t内回路中产生的焦耳热Q。

解析:(1)导体棒cd在拉力F和安培力的作用下做变加速直线运动,根据动量定理得qBL,解得。

(3)根据动能定理得Fx+(-Q)=,解得。

点评:恒力作用下的导体杆切割磁感线运动模型,涉及的物理量多,已知条件也多,所要用到的物理规律涵盖高中物理的绝大多数,如力和运动的关系(受力分析、牛顿运动定律等),功和能的关系(动能定理、能量守恒定律等),冲量和动量的关系(动量定理、力的冲量等),电路(串并联电路规律、闭合电路欧姆定律等),电磁感应现象(法拉第电磁感应定律、楞次定律、右手定则、左手定则等),因而成为了高考考查的重点、难点和热点。本题已知恒定外力F、导体棒cd的运动时间t和速度v,属于“知三求三”的具体应用。

例2如图2所示,相距为L的两根足够长平行光滑金属导轨MN、PQ与水平面间的夹角为θ,导轨上端N、Q间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下。将质量为m,阻值也为R的金属杆cd垂直放置在导轨上,由静止释放,下滑距离为x时达到最大速度。重力加速度为g,导轨电阻不计,金属杆cd与导轨始终接触良好。求:

图2

(1)金属杆cd下滑过程中的最大加速度amax。

(2)金属杆cd能够达到的最大速度vmax。

(3)金属杆cd由静止运动至达到最大速度的过程中,金属杆cd中产生的焦耳热Q。

(4)金属杆cd由静止运动至达到最大速度的过程中,通过金属杆cd某一横截面的电荷量q。

(5)金属杆cd由静止运动至达到最大速度的过程所用的时间t。

(6)画出金属杆cd在下滑过程中的大致v-t图像。

解析:(1)设金属杆cd下滑到某位置时的速度为v,则金属杆cd切割磁感线产生的感应电动势E=BLv,回路中的感应电流I=,金属杆cd受到的安培力F安=BIL,根据牛顿第二定律得,即。当v=0时,金属杆cd的加速度最大,最大加速度amax=gsinθ,方向沿导轨所在平面向下。

(2)当金属杆cd的加速度a=0时,速度最大,最大速度,方向沿导轨所在平面向下。

(3)根据能量守恒定律得mgxsinθ=,解得Q=。

(4)通过金属杆cd某一横截面的电荷量。

(5)根据动量定理得mgtsinθ-qBL=mvmax,解得。

(6)由(1)问的分析可知,金属杆cd在下滑过程中的大致v-t图像如图3所示。

图3

点评:本题已知恒定外力mgsinθ和金属杆cd沿导轨下滑的位移x,还已知下滑过程中金属杆cd最终达到最大速度,属于“知二求四”的具体应用。

如图4所示,相距为L的两根平行光滑金属导轨固定在水平面内,导轨左端接有阻值为R的电阻,磁感应强度为B的匀强磁场竖直向下分布在导轨所在空间内,质量为m的金属棒PQ垂直于导轨放置。现使金属棒PQ以一定的初速度v0向右运动,当其到达虚线c所在位置时停止运动,设导轨与金属棒PQ的电阻均不计,求:

图4

(1)通过金属棒PQ某一横截面的电荷量q。

(2)金属棒PQ运动的距离x。

(3)电路中产生的焦耳热Q。

参考答案:(1);(2);(3)。