浅析导体棒在磁场中的渐变运动

■河南省信阳市新县高级中学 付培军

导体棒在磁场中做切割磁感线运动时,回路中将产生感应电流,使得运动的导体棒受到一个变化的安培力作用,而做渐变运动,直至达到稳定状态。这类试题的难度相对较大,对考生思维能力的要求较高,同学们在复习备考过程中需要明确这类试题涉及的知识要点,厘清这类试题的常见考查方式,掌握这类试题的基本求解方法。下面举例分析,供同学们参考。

一、单棒的渐变运动问题的分析

单导体棒切割磁感线产生感应电流,属于力电综合问题,涉及导体棒的运动性质分析、受力情况分析、电路分析等知识要点。求解此类问题时需要综合应用法拉第电磁感应定律、楞次定律,以及平衡条件、牛顿第二定律、功能关系、串并联电路规律等物理规律。

例1如图1所示,两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=30°角固定,导轨间距L=1 m,电阻不计。一个阻值为R0的定值电阻与电阻箱并联后接在两金属导轨的上端。整个装置处于磁感应强度大小B=1 T,方向垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中。现将一根质量为m,电阻可忽略不计的金属棒MN从图示位置由静止开始释放,金属棒MN在下滑过程中始终与导轨接触良好。改变电阻箱的阻值R,测定金属棒MN的最大速度vmax,得到

图1

(1)求金属棒MN的质量m和定值电阻R0的阻值。

(2)当电阻箱取阻值R=2 Ω,且金属棒MN的加速度为时,求金属棒MN的速度大小v。

解析:(1)金属棒MN以最大速度vmax下滑时产生的感应电动势E=BLvmax,根据平衡条件得mgsinθ=BIL,根据闭合电路欧姆定律得,整理得,结合图像得,解得m=0.2 kg,R0=2 Ω。

(2)金属棒MN以速度v下滑时,根据法拉第电磁感应定律得E′=BLv,根据闭合电路欧姆定律得当金属图像如图2所示,取重力加速度g=10 m/s2。棒MN以加速度运动时,根据牛顿第二定律得mgsinθ-BI′L=ma。联立以上各式解得v=0.5 m/s。

图2

点评:解决单棒的渐变运动问题的关键是通过对导体棒运动状态的分析,寻找临界状态,确定速度、加速度取最大值或最小值的条件等。具体思路是:①先分析电路中产生感应电动势的电源,求出其参数E和r;②分析电路结构,弄清串、并联关系,求出电路中的电流大小,以便求解安培力;③分析研究对象(通常是金属棒、导体棒、线圈等)的受力情况,注意其所受的安培力;④根据力和运动的关系,判断出正确的运动模型,寻找到电磁感应过程中和研究对象在运动过程中的能量转化和守恒关系。

二、双棒的渐变运动问题的分析

1.无外力的情形。

两根导体棒与导轨构成闭合回路处在磁场中,若导体棒具有一定的初速度,因做切割磁感线运动而在回路中产生感应电流,通过安培力调节两导体棒的运动,直至达到稳定状态。两根导体棒都做变加速运动,其中初动量较大的导体棒做加速度减小的减速运动,初动量较小的导体棒可能做加速度减小的加速运动,也可能先减速至停下,再反向做加速运动,直至达到稳定状态。若导轨等宽,则最终两导体棒将以相同的速度做匀速直线运动;若导轨不等宽,则两导体棒的最终运动状态需要具体问题具体分析。

例2如图3所示,足够长的光滑轨道CDEF和PQMN平行放置在水平地面上,轨道左侧的宽度为2L,右侧的宽度为L,轨道的水平部分处在与水平面成θ=37°角斜向左下方的匀强磁场中。金属杆1、金属杆2与轨道构成一个回路,金属杆1 的质量m1=2m,电阻R1=2R,金属杆2的质量m2=m,电阻R2=R,回路中其余电阻不计。现将金属杆1从轨道左侧h高处由静止开始释放,最后两金属杆都在水平轨道上运动,且金属杆1未越过DQ连线。已知重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列有关叙述中正确的是( )。

图3

解析:金属杆1 从轨道左侧h高处下滑到磁场边界处(恰好未进入轨道水平部分)的过程中,根据机械能守恒定律得m1gh=,解得v0= 2gh。金属杆1 刚进入磁场做切割磁感线运动产生的感应电动势E=2Lv0·Bsinθ,回路中的电流I=,解得,选项A 错误。金属杆1进入磁场的瞬间金属杆2就开始运动,根据牛顿第二定律得ILBsinθ=m2a,解得,选项B 正确。金属杆1减速时金属杆2 加速,稳定时回路中没有感应电流,此时金属杆2的速度是金属杆1的2倍。设稳定时金属杆2 的速度为v,根据动量定理得,解得,选项C 正确。整个运动过程中对金属杆2运用动量定理得iLBΔtsinθ=m2Δv,又有q=iΔt,Δv=v-0,解得,选项D 错误。

答案:BC

点评:双棒构成闭合回路,因受到安培力的影响双棒都做渐变运动,稳定时双棒不一定同速,但回路中的电流一定为零。分别对每一根导体棒运用动量定理,写出动量变化量的一般表达式,再求和,往往可以求得双棒的速度和通过导体棒某一横截面的电荷量等物理量。需要注意的是双棒所受安培力不一定满足安培力时刻等大反向,因此动量守恒定律不一定适用。

2.有外力的情形。

两根导体棒与导轨构成闭合回路处在磁场中,若其中一根导体棒受到外力作用而做切割磁感线运动,使得回路中产生感应电流,则通过安培力调节两导体棒的运动,直至达到稳定状态时两导体棒都做匀加速运动;若两根导体棒都受外力作用,则先以两根导体棒组成的整体为研究对象进行受力分析,找出最终的稳定状态,再分析每一根导体棒在向最终的稳定状态渐变过程中的受力情况,写出动量定理的表达式,然后结合其他物理规律即可求解相关物理量。

例 3如图4所示,U 形光滑金属框bacd置于水平绝缘平台上,ba、cd边足够长,金属框的电阻可以忽略不计。一根阻值为R的导体棒PQ置于金属框上,用水平恒力F向右拉动金属框。运动过程中装置始终处于竖直向上的匀强磁场中,导体棒PQ与金属框接触良好且与ac边保持平行。经过一段时间后,金属框和导体棒的v-t图像应是图5中的( )。

图4

图5

解析:用水平恒力F向右拉动金属框时,ac边切割磁感线产生感应电动势对导体棒PQ供电,对金属框有F-ilB=Ma1,对导体棒PQ有ilB=ma2,在安培力的影响下金属框做加速度逐渐减小的加速运动,导体棒PQ做加速度逐渐增大的加速运动。当金属框的速度为v1,导体棒PQ的速度为v2时,回路中的电流随着金属框和导体棒速度的变化,当时,两者的速度差Δv恒定,回路中的感应电流不变,之后金属框和导体棒以相同的加速度做匀加速运动。因此金属框和导体棒的v-t图像应是图5中的C。

答案:C

点评:双棒构成闭合回路,导体棒受到外力作用,对系统整体而言,因有外力而具有加速度;对每一根导体棒而言,在外力和安培力的作用下做渐变运动。对每一根导体棒写出其动力学方程或动量定理的表达式,即可分析每一根导体棒加速度的变化规律,进而找到系统达到最终稳定状态时的速度和加速度的关系。

1.如图6所示,两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ水平放置,轨道间距为L。现有一根质量为m,长度为L的导体棒ab垂直于轨道跨接其上,且与轨道始终接触良好,导体棒ab和轨道电阻均可忽略不计。有一个电动势为E,内阻为r的电源通过开关S连接到轨道左端,另有一个定值电阻R也连接在轨道上,且定值电阻R右侧分布着垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度为B。现闭合开关S,导体棒ab开始运动,则下列叙述中正确的有( )。

图6

A.导体棒ab做加速度逐渐减小的加速运动,达到最大速度时导体棒ab中无电流

B.导体棒ab所能达到的最大速度为

C.导体棒ab稳定运动时电源的输出功率恒定,其大小为

D.导体棒ab稳定运动时电源的效率最高,其大小为

2.如图7所示,两根平行光滑金属导轨水平固定,导轨电阻忽略不计,虚线ab、cd均与导轨垂直,在虚线ab与cd之间分布着垂直于导轨所在平面向下的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN平行于虚线ab放置在导轨上,两导体棒始终与导轨垂直且接触良好。现对两导体棒施加相同的恒力F,使其先后自导轨上同一位置由静止开始运动。已知导体棒PQ进入磁场时的加速度恰好为零。从导体棒PQ进入磁场开始计时,到导体棒MN离开磁场为止,导体棒PQ的运动速度v、通过导体棒PQ的电流I随时间t变化的图像可能是图8中的( )。

图7

图8

3.如图9所示,足够长的光滑水平导轨(电阻不计)处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=1 T,导轨间距L=1 m,在导轨的右端有两个弹性立柱,立柱与导轨垂直固定。质量m2=1 kg,电阻R2=0.6 Ω 的导体棒2静置于导轨上,与立柱的间距x1=1 m,质量m1=2 kg,电阻R1=0.4 Ω 的导体棒1也静置于导轨上。现让导体棒1 以初速度v0=5 m/s向右运动,结果导体棒1 向右滑行x2=5 m 时导体棒2恰好撞到立柱。若两导体棒与导轨始终接触良好,所有碰撞均为弹性碰撞,则下列说法中正确的是( )。

图9

A.导体棒2 第一次撞击立柱前的速度是3 m/s

B.导体棒2 第一次撞击立柱时,导体棒1的速度是3 m/s

C.若导体棒2第一次撞击立柱后向左滑行的最大距离为0.8 m,则导体棒1 在导体棒2向左滑行的过程中向右滑行了3.2 m

D.导体棒2不会与立柱发生第二次碰撞

4.如图10所示,两根平行光滑金属导轨由圆弧部分A1B1、A2B2与水平部分B1C1、B2C2构成。导轨弧形部分的半径为r,导体棒长度与导轨间距均为L,导轨水平部分处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度为B。弹性导体棒甲、乙分别垂直于导轨,静置于导轨圆弧顶端A1A2处和水平部分中某位置。两导体棒的质量均为m,电阻均为R。将导体棒甲从导轨圆弧顶端A1A2由静止释放,整个运动过程中两导体棒与导轨始终接触良好,导轨电阻不计,取重力加速度g=10 m/s2。

图10

(1)求导体棒甲刚进入导轨水平部分时,导体棒乙的加速度大小。

(2)若两导体棒匀速运动前未发生碰撞,求两导体棒达到共速前通过回路的电荷量。

(3)若初始时刻导体棒乙与B1B2连线间的距离Δx=2 m,已知B=1 T,L=0.5 m,R=1 Ω,r=0.05 m,m=1 kg。求最后共速时两导体棒的间距。

参考答案:1.AB 2.ACD 3.BC

4.(1);(2);(3)Δx′=2 m。