线性变换的几何意义

雍龙泉，李翠霞，吴世良

（1.陕西理工大学 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723001；2.云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500）

线性代数课程具有概念多、定理性质多、抽象程度高等特点，导致学生在课程学习过程中会遇到各种各样的困难.线性代数课程知识之间的联系较为密切，可以说是环环相扣的，如讲授行列式以及矩阵的逆是为了给特征值和特征向量等内容做铺垫.线性代数教学一般都是大班上课，特别是目前学校普遍压缩线性代数课时，导致课时紧张，教师无法实时了解到每位学生的学习状态和教学效果.由于目前教材举例较少，图解也比较少，因此需要学生在课前多准备，多去预习，查阅相关的资料，课中保持认真听讲和做好笔记的习惯，课后不断巩固和学习相关内容，及时与教师沟通和去图书馆拓展知识内容.只有这样才有可能学好这门课程.

线性变换是线性代数中重要的知识内容，线性变换在计算机图形学、图像处理、现代光学等学科中具有重要的应用.目前线性代数教材缺少与几何图形的有机融合，线性代数教师在讲授线性变换内容时常常忽略线性变换的几何意义、特征向量与特征值的几何意义以及正交线性变换的几何意义[1-7].本文以二阶矩阵为例，阐述线性变换的一些几何意义.

1 非退化的线性变换

方程（2）表示一个椭圆，其长轴与短轴不在坐标轴上.

应用Matlab 程序绘制方程（2）的几何图形，结果见图1.图1表明，通过线性变换y=Ax，单位圆变成了一个长轴与短轴不在坐标轴上的椭圆.

图1 线性变换的轨迹

图2 特征值与特征向量的几何意义

从二次型的角度来研究方程（2）.方程（2）表示一个椭圆（见图3a），此时椭圆的长轴与短轴不在坐标轴上.通过选取一个正交线性变换[9-10]，使其长轴和短轴落到坐标轴上.

方程（3）便是一个长轴和短轴落到坐标轴上的椭圆（见图3b）.

方程（4）也是一个长轴和短轴落到坐标轴上的椭圆（见图3c）.

图3 方程（2）～（4）对应的曲线

图3b 相当于对图3a 做顺时针旋转45°，图3c 相当于对图3a 做逆时针旋转45°.

2 退化的线性变换

这表明，通过线性变换y=Ax，单位圆变成了线段y2=2y1，（见图4）.

图4 线性变换的轨迹

给出研究线性变换几何意义的思路（见图5），以便学生清晰了解和记忆.

图5 线性变换的几何意义

3 结语

线性代数是一门应用性很强的学科，但目前多数线性代数教材似乎都偏重“代数”而较少涉及“线性”一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让学生产生兴趣.通过挖掘线性变换的几何意义，让学生建立“代数”与“几何”的统一观，强化学生对唯物辩证法中“事物的联系是普遍的，要用普遍联系的观点看问题，防止孤立、片面地看问题”这一哲学思想的理解.讲授过程中从辩证法的角度理解数学知识，在教授学生数学知识的同时也潜移默化地对学生进行了唯物辩证法的教育.