高等数学课程思政建设中思政案例的分析研究

王 岳

(济南职业学院，山东 济南 250103)

近年来，教育部要求高校在各类课程教学中同时进行思政教学。为使各高校能更有效地进行课程思政建设，2020年5月，教育部专门发布了《高等学校课程思政建设指导纲要》。纲要中指出：要深入挖掘各类课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源，不断完善课程思政工作体系、教学体系和内容体系。

高职院校的高等课程属于公共课，是通识教育的一部分，承载着更多育人的功能。“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”是教育的根本问题，教育工作中“立德树人”的实施效果是检验学校所有工作的根本标准。因此，在高职院校数学课程的教学中，以高等数学课程思政的建设研究为抓手，研究数学课程思政建设的内涵、实施策略、设计教学中适合的思政案例，是当前高等数学课程思政建设中必须解决的重要问题。对于高职数学老师而言，应注重挖掘和数学课程相关的思政元素，设计适合的思政案例，有效融入教学，使课程思政自然地贯穿于数学教学始终，起到“润物细无声”的作用，这样才能在数学课程教学中真正落实立德树人的根本任务，厚植高等数学课程的思政育人情怀。

教学中结合高等数学课程思政的教学实践，以思政案例研究为切入点，对高职院校的高等数学教学中“函数极限”“导数与微分”“积分及应用”“常微分方程”这四大模块重要内容的教学进行案例设计、应用分析。

一、极限思想中的数学文化

对于高等数学中非常重要的“极限”概念，在教学过程中，不仅要让学生理解极限概念的本质，还要使学生了解这一概念产生和发展的历史背景，这样更有利于加深学生对概念的理解和认识。我国早在战国时期，就出现了“极限”的思想萌芽。《庄子·天下》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一根一尺长的木棒，每天截去其长度的一半，总会剩下一半，再截去剩下的这一半的一半……如此，可以无限地截下去。这句话恰恰反映了我国古人对“无穷”和“极限”的理解和认知水平，在当时，他们就已经创造性地将极限的思想方法运用到数学之中。我国古人对极限思想的提出比西方早了500多年，我国古代数学所取得的成就是无比辉煌、伟大的。

极限理论在世界数学发展史上被不断完善，成为微积分研究的基本工具。极限是高等数学的重要概念之一，它贯穿于高等数学课程的始终，是建立微积分学的理论基础。教学中，在向学生给出极限的概念时，可以结合我国古代极限思想的萌芽与发展，引入并介绍刘徽提出的利用“割圆术”求圆的面积的方法，让学生初步认识极限的思想，感受极限的变化，从而理解极限的概念。

在我国古代，数学发展到魏晋时期，数学家刘徽在为《九章算术》做注时，提出了一种求圆的面积的方法，称之为“割圆术”。割圆术是通过对圆的内接或外切多边形穷竭的方法求圆的面积，是一种运用运动变化的观点来研究问题的方法，是极限思想的完美体现。

教学中，我们可以结合图形展示向学生介绍割圆术的基本思想[1]：利用正多边形的边数的增加，使正多边形面积无限逼近圆的面积。割圆术的具体方法步骤为：在待求面积的圆内先做内接正三角形，将其面积记为A1，显然，A1的面积和圆的面积差别比较大。再在正三角形基础上对圆再进一步分割，又作圆的内接正六边形，其面积记为A2，此时A2的面积比A1更接近圆的面积。为了使近似程度更高，继续割圆，再作圆的内接正十二边形，其面积记为A3……不断分割下去，把圆的内接正3×2n-1边形的面积记为An，这样就得到一个数列A1,A2,A3,…,An。应用割圆术时，圆内接正多边形的边数不断增多，其正多边形的面积也越来越接近于我们要求的圆的面积。由此可以想象：当边数n无限增大时，内接正3×2n-1边形的面积An会无限接近圆的面积A。常数A就称之为数列{An}的极限。

在这个过程中，刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之弥割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。割圆术的方法反映了我国古人在解决问题时所呈现出的初步的极限思想。

古人利用割圆术，不仅求出了圆的面积，还求出了圆的周长。并且，割圆术为更精确计算圆周率提供了重要的方法。我国南北朝时期的数学家祖冲之，就以此为基础进行了更深入的探索研究，最终求出了精确到了小数点后七位的圆周率。这两位古代数学家在世界文明史上，为数学的发展做出了卓越的贡献，他们是我们中华民族的骄傲。

这个案例，不仅仅用数形结合的方法让学生认识、理解了极限的思想及应用，还同时了解了数学史上极限思想的启蒙和发展，以及我国古代数学家在极限的研究中所做出的贡献。学生在数学学习中会产生较强的民族自豪感，增加文化自信，同时提高学习高等数学的兴趣。

二、导数概念中的辩证思想

“导数”与“微分”的概念是《高等数学》课程中“一元函数微分学”中的重点，也是难点。同时导数又是函数的重要研究工具，有着广泛的应用。

在导数的教学中，很多概念和运算能体现出辩证法的思想，让学生学会用辩证的思想方法去看待问题、分析解决问题，也是课程思政的一个重要内容。

在“导数概念”的教学中，为引入“导数”这一重要的、抽象的概念，有一个经典的引例，是通过研究“物体做变速直线运动时的瞬时速度”这一问题，给出了函数在一点处的导数的定义。

对于一个做变速直线运动的物体，如果只知道其运动方程，直接去求解它在某一时刻的瞬时速度是比较困难的。我们可以在该时刻附近再取另一时刻，使二者形成一个时间段，先求这个小时间段内的平均速度，然后再让两时刻无限接近，即让小时间段的长度无限趋近于0。在这个非常微小的时间段内，物体虽然做变速运动，但速度变化微乎其微。因此，小时间段内的平均速度也就无限趋近于该时刻的瞬时速度。利用极限的思想，当自变量时间的增量趋近于0时，位移函数的增量与自变量时间的增量之比的极限，就是该时刻的瞬时速度。由这个引例，可以归纳出导数的概念。

对于这个引例，可以从辩证法的角度和学生一起进一步分析研究。物体做变速直线运动，速度随时发生变化，其本质是变化的过程，在问题研究过程中，我们将变化的量(瞬时速度)用不变的量(平均速度)来代近似代替，实现对变化过程的研究和突破，这正体现了变与不变的辩证唯物论的观点。在很多问题的分析研究中，变化是绝对的，不变是相对的，变化和不变构成了相互依赖并可以相互转换的关系[2]。平时，我们面对变化无常的事物和生活，也应该保持一种平和的心态去面对，以不变应万变，运用辩证法的思想，化解矛盾，解决问题，无限接近目标，最终实现理想。

三、极值中的人生哲理

“极值”是高等数学中的一个重要概念，是研究函数的局部变化，描述函数特征的常用工具。极值概念的教学，需要我们通过数形结合来进行展示和分析。

在极值概念的讲解中，结合函数图像，我们可以让学生们一起回忆北宋文学家苏轼在《题西林壁》中描写庐山的经典诗句：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”随着观察者所处位置和观察角度的不同，庐山呈现的风貌各不相同，高高低低，变化万千。而教学中我们给出的函数极值的图形，正像庐山的山岭一样高低起伏，连绵不断。重山之间，一个个顶峰处取得极大值，一处处山谷间出现极小值。

人生的轨迹也像这连绵不断的函数曲线，起起落落，有低谷有高峰，这既是成长和成熟的需要，也是人生的必然之路。一方面看，低谷并不可怕，就像极小值，那只是临时(局部)的，从长远(整体)来看，那也许只是一时的波动，将来还会有高潮。任何时候都不要气馁，不能放弃希望和努力；从另一方面看，一时的突出成绩也不一定意味着达到了人生的顶峰，就像极大值未必是最大值。眼光仍要放长远，也许我们还有机会登上更高的山峰，看到更美的风景。

数学中处处有哲学思想的展现，处处有思政元素的体现。极值概念的教学中，老师可以自然地引导学生结合自身情况来对极值的特点进行思考：生活中要保持一颗平和的心，不管是一时处于低谷还是顶峰，都只是人生路上的一个转折点，未来还有无限可能。同时，鼓励学生看问题还要学会从全局着眼，跳出局限的区域，看清事物的真相与全貌。

四、积分定义中的量变质变

“无限细分，无限求和”是定积分的主要思想，运用它可以解决几何、物理等学科中的诸多问题，因此积分学在社会各领域中有着广泛应用。定积分是一个非常复杂、抽象的概念，也是一个非常容易结合实际进行思政教学的知识点。

教学中在引入定积分的概念时，常结合“求曲边梯形的面积问题”这一典型引例。利用“分割、取近似、求和、取极限”四步走的方法分步去求一个直接求并不好求的总量，而最终得到的“乘积的和的极限值”即为定积分。

曲边梯形求面积的方法与我国古代“曹冲称象”的过程有类似之处，大象的体重不易直接去称，便用总重量相同的众多石块来代替大象，最终全部石块质量的累计就是大象的体重。曹冲的方法非常巧妙，而且易于操作。

教学中我们可以引导学生对定积分的概念进行更深入的思考。两个例子中解决问题的思想方法非常接近。不管是求曲边梯形的面积，还是求大象的体重，整个过程都给了我们一个启发：对于不易直接求解的量，可以先“化整为零 ”，再“积零为整”，转化之后进而求解。

生活中很多复杂问题的处理亦是如此，比如，当我们需要解决的问题难度较大时，可以退一步，先寻找与之相接近的易于解决的问题，即先将复杂问题化整为零；再从简单、熟悉的问题入手，一步一个脚印，脚踏实地向前迈进。每解决一个小问题，成功的喜悦将激发我们更大的潜能，以更加积极的态度和有效的方法去处理更复杂的情况，从中探求出适合的方法，最终将问题积零为整，使其由量变到质变，从而实现终极目标。

定积分的概念虽然比较复杂，但主要体现了“化整为零、以直代曲、积零为整、无限细分”四步走的数学思想。其实质也就是“从有限到无限，由量变到质变，从近似到精确”的哲学思想。

五、微分方程中的预测应用

高等数学的课程内容中“微分方程”是在实际应用中频繁使用的一个重要概念。在很多领域的问题研究中，都需要建立微分方程模型，根据函数的变化速度研究函数的变化规律和特点，这一章内容应用性非常强。

教学中，首先我们要让学生理解为什么要学习微分方程。自然界与人类社会中有许多的现象有一定的规律，这些规律需要以一种动态的方式描述。此时，最有效的数学工具就是微分方程，微分方程是对函数与其导数间关系的一种描述，它能够刻画函数的每一个动态变化过程，恰好能够解决描述整个函数的变化问题。简单说，我们学习微分方程，可以通过函数的变化率来研究整个函数。

从科学技术和社会发展需求的角度来看，之所以我们在科学研究和专业应用中这么需要微分方程，本质上是因为人类掌握的都是物体的局部规律，所以需要微分方程来描述这种局部规律，然后由局部规律反推整体变化，架起局部和整体之间的桥梁。这也体现了“由点及面，由局部到整体”的思维方法。

其次，我们要让学生认识到学习微分方程，最重要的是学会以微分方程为研究工具，用数学的思维和方法去解决生活中和社会发展过程中的更多实际问题。

在“微分方程的应用”的教学中，我们可以通过生活实例使学生了解微分方程在科学发展和社会进步中有着非常广泛的应用，它已渗透社会发展的各个领域，特别是在各行各业的预测、鉴定、推断、分析等方面，微分方程优势尽显。

在预测方面，利用微分方程模型不仅能预测我国的GDP数值，还可以预测人口变化趋势、垃圾总量变化、台风强度、一些刑事案件的发案时间等等，在医学和刑侦等领域微分方程模型更是发挥了极其重要的作用。科学家们用微分方程建立传染病模型，分析病毒传播速度，预测感染人数，分析数据的规律性，这对传染病防控工作有着重要的指导作用。在刑事侦查过程中，技侦人员和法医的很多鉴定工作也是利用了微分方程模型，对数据进行分析、判断，从而给出鉴定结论。

通过课堂上引入的社会发展过程中微分方程的应用实例，学生们对这部分知识能解决的实际问题会有更直观的认识，从而提高他们在学习和探究方面的兴趣和积极性。在问题解决的过程中，学生能充分感受到社会的发展和建设都离不开科学的方法和理论，只有掌握一定的科学知识，养成良好的科学素养，才能更高效地解决生产和生活中的各类问题。

学生在学习过程中，有思考和感悟，才能树立正确的人生观、世界观和价值观；学生在处理问题时，能透过现象看本质，掌握事物的发展规律，才能培养良好的科学素养和分析问题、解决问题的能力。在高等数学课程的学习中，如果学生们能有深入的思考和美好的体验，那么，我们的数学课程就是一门有知识、有温度、有情怀的课程，我们的课程思政建设和思政案例设计就是有效的、成功的。