拽住思维的“线头”

朱宇

小学生在解答应用题的过程中，经常会出现这样的现象：要么是找不到思路，不知道“从哪里想起”;要么是理不清思路，不知道“下一步往哪里想”;要么是打不开思路，不知道“还可以怎么想”。如果把应用题看作一张“网”，其中的情境、情节、数量（已知的和未知的）等诸多信息就是网上的一条条“线”，教师要紧盯着问题，找到“线头”，然后拽着这个线头，顺势而为，条分缕析，精准解答。

一、寻找“线头”，知道“从哪里想起”

要形成解题的完整思路，通常要关注三个要素：思维方向、思维顺序和思维方法。首先要确定思维方向，也就是知道“从哪里想起”。

1.从四则运算的意义想起。从建模的角度看，应用题中的数量关系都可以归结为加、减、乘、除这四种运算关系。例如，“求比一个数多几的数是多少”的简单应用题，求未知的数就是把“作为标准的数”和“多出来的部分”合成一个数，体现了加法的意义。应用题中的关键词句固然值得深究，但是我们更需要准确识别两个已知数量与所求问题在运算意义上的关联，在分析数量关系的基础上，将实际问题准确纳入相应的运算模型。

复合应用题虽然步骤多，但是每一步必然是加、减、乘、除关系的某一种。例如，求“一个数比另一个数多（少）百分之几”的百分数应用题，不管条件怎样变化，我们都可以把百分数的意义“表示一个数是另一个数的百分之几”当成思考的起点，而百分数的意义直接反映的就是除法运算的意义。生活中一些常见的数量关系，例如单价与数量、总价之间的关系，工作效率与工作时间、工作总量之间的关系，速度与时间、路程的关系，归根结底都是乘、除法问题的基本模型。

实践表明，从四则运算的意义整体捕捉问题的本质特征，可以有效避免见“多”就加、见“少”就减等望文生义的错误做法，有助于依托题目的条件和问题进行模式识别，顺利地找到解题的切入点。

2.从事物的发展变化想起。应用题中的数量关系一般寓于情节之中，情节的发展通常体现了数量的变化。所以，情节也是解题的主要线索，教师要指导学生通过审题，把已有的生活经验嵌入应用题描述的情节，寻找解题线索。

数量的变化通常有两种呈现方式：一种与实际生活中事物发展变化进程相同，我们称之为顺向结构题;另一种则相反，我们称为逆向结构题。例如：小红要看一本180页的故事书，第一天看了48页，第二天看了32页，剩下的准备2天看完，每天要看多少页？此题中变化的数量是页数，页数的变化与解题思路的走向一致，解题时只需沿题目叙述的事件进程展开，以“剩下的页数”为切入点展开思考：是怎么剩下的？剩下多少页？剩下的页数几天看完？

相比较而言，逆向结构题的思维“线头”就不那么明显。例如：水果店有6筐苹果，每筐重量相同。从每筐取出20千克后，剩下的苹果重量相当于原来2筐的重量。原来每筐苹果重多少千克？本题需要对数量顺序与运算过程的一致性进行再调整。本题变化的数量有两个：重量与筐数。因为筐数原来和现在的数量已知，所以把筐数的变化作为思考的“线头”——原来6筐，剩下2筐，少了几筐？为什么少了？虽然存在联系的数量顺序有些“错乱”，但是只要抓住数量的变化这个“线头”，仍然能够找到明确的思维方向，不会引起解题思路的混乱。

3.从与例题的关联想起。为了帮助学生有效获得解题步骤，尽可能增强识别问题中条件线索的能力，教材精心编选了一些典型例题。通过这些例题的学习，学生能够形成解决某类问题的内隐图式，遇到新的问题，学生将之与例题进行匹配，把握两者内在关联，通常能够便捷地找到解题的突破口。

例如，苏教版数学五年级下册“方程”单元有这样的两道题。

例题：一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是多少？

习题：两艘轮船从一个码头向相反方向开出，8小时后两船相距400千米。甲船的速度是26千米/时，乙船的速度是多少千米/时？

通过画图分析，学生发现习题的图式与例题属于一类，都是求一个运动物体的速度。学生如果从“未知”看“需知”，逐步向“已知”靠拢，通过图式表征，可以发现，虽然出发地点、运动方向不同，但是解决两个问题的充分条件是相同的：甲行的路程+乙行的路程=总距离。领悟了“相遇问题”的本质，在此基础上及时解决“反向行走”“环形跑道行走”等典型问题，学生在运用策略、对比反思的过程中感受到行程问题的“变”与“不变”，进一步积累了画线段图解决实际问题的基本数学活动经验。

二、厘清“线头”，解决“下一步往哪里想”的问题

有了思维的“线头”，为解题奠定了良好的基础。但是，有时候虽然总有思维“线头”冒出，却不能深入;有时候很多的“线头”在脑子里，却杂乱无序。为此，在找到思路的第一步以后，我们还要借助思维导图（思路图）厘清思路，弄清先想什么，再想什么，然后由此又能想到什么，形成正确的思维顺序。

1.着眼整体，导图指路。学生思维顺序受到干扰，很大程度上是因为小学生不能把握整体思路和具体步骤的平衡，经常纠结于每一步的计算结果而忽略了解题目标，制约了系统思路的形成。对此，在平时的教学中，教师要培养学生整体审视应用题题意的习惯，借助“先想……再想……然后再想……”等程序性的表达方式，帮助学生明确解题逻辑，形成整合优化的思路。

例如，要解決如下的分数应用题：李师傅和张师傅同时加工数量相等的零件，当李师傅加工了任务的[13]时，张师傅完成了任务的[27]，照这种效率，当李师傅完成任务时，张师傅还剩200个没有完成，张师傅应完成多少个零件？此题在叙述中频繁转换数量，学生找不到已知数量“200个”的对应分数。我们可以让学生摘录关键句，勾勒思维导图，梳理数量关系。

李师傅加工任务的[13]➡张师傅加工任务的[27]

3倍 ⇩

李师傅完成“1”➡张师傅加工任务的？

借助思路图，学生轻松理解了应用题当中的隐含关系，即“张师傅还剩下200个没有加工的时候，他实际完成了任务的[67]”。思路图指引学生对烦琐的思路进行整体审视，有利于其形成清晰的思路。

2.善用转化，化难为易。对于数量关系比较复杂的应用题，我们可以通过转化的方法将复杂的问题向基本的问题靠拢。

一是化数为形，把隐蔽的数量关系转化为具体的图形，利用示意图分析数量关系，探索解题思路。例如，一个长方形花圃，长10米，现在把长增加2米，面积增加了12平方米，求现在花圃的面积。这是一道关于长方形的长增加面积随之增加的实际问题，涉及的对应关系包括长方形原来的长与面积、现在的长与面积、增加的长与面积，线索繁杂。学生可以结合图示，从所求问题向已知条件推理。

二是把未知转化为已知，借助结构的力量破解难点。一般而言，学生遇到陌生的问题时，“识别—提取模型—重复应用”的解题流程往往派不上用场，对此，教师需要“经验重组”，通过拆解、合并等手段带领学生经历高级别的识别与应用流程，扩展原有的知识结构。例如，列方程解应用题：今年水产养殖产值26万元，比去年的2倍少3万元，去年产值多少万元？解题时，我们可以把“去年的2倍”看作“一个数”，原题就转化为两数相差关系的简单应用题，原来复杂的数量关系随之简化为“一个数减3等于26”或“一个数减26等于3”。

3.及时反思，由表及里。数学解题活动是一个复杂的思维活动过程，整个过程离不开对解题步骤的反思。反思不应该只发生在解决问题的检验环节，更应该体现在解题思路的审视与调节过程中。例如，一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一个铁块，把铁块竖直插入瓶中，水面上升几厘米？确立了“体积÷底面积=高”的主要关系之后，我们需要思考：铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中？通过分析，可知铁块是部分在水中。此时学生发现，无法获知铁块在水中的体积，需要调整原有思路。经过反思，学生找到了解题的突破口：当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积因为被铁块“占据”，变成了3.14×10×10-8×8=250（平方厘米），体积还是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。于是，铁块部分沉入水中以后，水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升了10.048-8=2.048（厘米）。

三、开发“线头”，解决“还可以怎么想”的问题

如前文所述，解应用题需要拽住思维的已有“线头”。有时候，我们还需要发现新的“线头”，从不同的角度分析问题，开放解题思维。

1.摆脱思维定式。在解答应用题的过程中，学生往往从习惯入手，或着眼于问题的局部去分析问题。我们要启发学生延伸思维的触角，实现思维角度的变换，探索新的解法。

在四年级数学练习中，有这样一道与“单价、数量、总价”有关的应用题：“小红买5本同样的笔记本，用去32元;小明要买15本同样的笔记本，需要多少元？”按照常规思路，需要先求出每本笔记本的价钱，才能求出15本的总价。然而，32÷5的计算涉及小数除法，超出现阶段水平，因而学生的解答止步于列出算式32÷5×15。其实，细细深究，此题思维的“线头”不仅仅这一个。本题虽然与“单价、数量、总价”有关，但我们不必受此束缚。换个思路：从“5本”到“15本”，笔记本的数量扩大3倍，那么总价也应该扩大3倍。于是，我们就有了新的解法：32×（15÷5）=32×3=96（元）。

2.尝试不同组合。我们发现，如果把应用题各个条件和问题进行不同的搭配与组合，能引发不同的思考，找到新的思维“线头”。

例如，①一桶油连桶共重32千克，②倒出一半油后，③油连桶重18千克。桶重多少千克？

将条件①②③两两搭配，可以得到不同的思路。思路一：①和③组合，可知倒出的油32-18=14（千克），整桶油14×2=28（千克），桶重32-28=4（千克）。思路二：①和②组合，假设桶也减少一半，可知半桶油和半个桶共重32÷2=16（千克），再与③组合，可知半个桶重18-16=2（千克），一个桶重2×2=4（千克）。思路三：②和③组合，想到一桶油和2个桶共重18×2=36（千克），再考虑①，可知一个桶重36-32=4（千克）。

这种多种解法的应用题，对于活跃学生思维、培养其积极探索的能力是有益的。

3.让学生自主解释。数学应用题的思路不是教师的提示，也不是少数优秀学生的分析与解释，而应该是全体学生通过自己的思维活动，在寻找解题思路的过程中获得意义的内在建构。

例如，3只猫头鹰5天捉田鼠60只，每只猫头鹰每天捉田鼠多少只？这是一道普通的除法应用题，学生知道用连除60÷3÷5或者60÷5÷3，但并未真正理解每一步的思路，以至于對“60÷3”表示这一类的思路分析题乱说一通，有的说“每只猫头鹰每天捉田鼠多少只”，有的说“3只猫头鹰每天捉田鼠多少只”，都是错误的解释。所以，在应用题教学中，教师要习惯于深入追问：这一步算的是什么？你是怎么想到要这样计算的？下一步应该怎么想？学生对追问的解释，从具体的算式深入思路的规划，将脱节、零散的思维搭建成连贯的、结构化的思维。

（作者单位：江苏省高邮市天山小学）

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