紧扣“不变量”灵活解决问题

蒋明玉

题目在一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的铁块。水位上升了多少分米?

分析与解有的同学会按照常规思路来解答，先求出这个棱长为6分米的铁块的体积：6×6×6=216(立方分米)，然后认为上升水的体积等于铁块的体积。所以，水位上升了6×6×÷(24×9)=1(分米)。这样做，就已经认定铁块完全浸没在水中了。

实际上，由于原来的水深只有4分米，而铁块的棱长却是6分米，所以当一个棱长为6分米的铁块放入水槽中，铁块不一定完全浸没在水中。那么，如何解答呢?

思路一原来有水24×9×4=864(立方分米)，当铁块放入水槽中，水位上升了，但是水的体积还是864立方分米。抓住了这个不变量，就可以巧妙解决问题。不妨设现在水位一共是×分米。

那么将浸没在水中的铁块体积和原来水的体积合在一起算，两者一共的体积就是24×9×X，而浸没在水中的铁块体积是6×6××，所以用一共的体积减去浸没在水中的铁块体积等于原来水的体积。得方程：

24×9××——6×6××=24×9×4

180×=864

X=4×8

因此，水位上升了4.8-4=0.8(分米)。

思路二换个角度，发挥想象，这样想：当铁块放入水槽中，就会有6×6×4=144立方分米的水被铁块挤占而要往上移，从而导致水面上升，上升的水的体积就等于被铁块挤占的那部分水的体积，这里也有一个不变量(等量)。但上升的水不是一个长方体，而是一个以24×9—6×6为底面的柱体，所以上升的高度为：6×6×4÷(24×9—6×6)=0.8(分米)。

可见，紧扣“不变量”是灵活解决问题的关键，这种思想在解决复杂问题中经常用到。

练一练一个水池的长是80厘米，宽是50厘米，高是50厘米，里面的水深是20厘米。现在往水池里放入一块棱长为40厘米的正方体石块。水位上升了多少厘米?