数学模型：建构生活与数学融合的育人场域

陈世美（福建省莆田市秀屿区实验小学）

所谓数学模型，通俗讲就是老师引导学生为解决生活中的问题，不断猜想、实验并验证而建立起来的数学性质、公式、定义等。本文结合数学广角《植树问题》，浅谈在数学课堂中怎样做到生活问题数学化，数学问题模型化化。

一、基于生活原型，感悟数学模型

数学问题藏在我们生活的每个角落里，在数学课堂上用生活中常见的具体事例进行教学，既可以大大降低学生害怕抽象性知识的程度，又刚好为建构数学模型提供了极好的便利。如《植树问题》感知模型教学片断：

师：孩子们，用数学的眼光看看老师伸出的这一只手（张开），你会想到哪个数字？生：数字5。

师：能说一说，这数字5指的是什么？生：指的是5个手指头。

师：可是老师想到却是数字4，这数字4藏在老师手上哪里？生：是手上4个间隔。

师：那么3个手指之间有几个间隔？生：3个手指之间有2个间隔。

师：那么这手指上的间隔是啥意思？生：指的是每两个相邻手指头之间的缝隙。

师：没错，这样的“手指缝”在数学上可以称作间隔，瞧瞧老师张开的这只手藏着几个间隔。（老师伸手张开随意变化手指头个数，学生一一说出对应的间隔数）今天的数学秘密就藏在这只张开的手，谁知道？

生：间隔数比手指数少1，手指数比间隔数多1。

师：像这存在间隔的问题，称为“植树问题”。

在课堂上让学生体验生活，如手指间隔这样的常见的生活原型，每个人身上都有，而且这样的生活原型处处可见，形象生动，使得学生一下子发现生活原型里面隐藏的规律，进而感知数学知识的形成过程。

二、经历知识形成过程，构建数学模型

小学数学模型的建模点主要由“数量关系”和“变化规律”两个方面梳理建模点。在建构数学模型时要引导学生有针对性地进行猜想，然后让学生动手操作进行验证。

画简单的示意图是进入高年级的学生常用的探究操作活动，从画简单示意图到依据简单示意图进行推理，再到发现规律，形成了解决问题的数学模型，学生也就经历了实际问题“数学化”和解决问题“模型化”的过程。

如《植树问题》建构模型教学片断：

课件出示《植树问题》例题1，并让学生读题获取数学信息后，

师问：这题中你觉得特别注意哪些信息？（学生汇报关键信息后师把一张纸条贴在黑板上）

师：假如把这张纸条当作一条路，“一侧”是在哪里？两端在又是纸条的哪里？（生上板指出一侧，又指着纸条的两端）

师：猜一猜看需要栽树多少棵？生猜：19棵、20棵、21棵。

师：孩子们是怎样算的？生汇报师板书算式（略）

师：发现了三种思路都有“100÷5”，它是求什么呢？生：是求这条路有几个间隔，就是求间隔数。

师：三种思路都有求间隔数，意味着想求棵树是离不开间隔数，接下来咱们就一起研究验证下，100这数稍大些，可选用小点的数进行研究，比如10米、15米、20米……然后画线段示意图进行验证。

（生画线段示意图验证后上板贴作品并汇报，师板书算式）

生1：我选用15米长的路验证（图略），15÷5求出有3个间隔，两端都要栽，就要栽3+1=4棵树，栽21棵树是对的。生2：我选用35米长的路验证（图略），35÷5求出有7个间隔，两端都要栽，就要栽7+1=8棵树，所以21棵树是对的。生3：我选用30米长的路验证（图略），30÷5求出有6个间隔，两端都要栽，就要栽6+1=7棵树，与前面两个想法是一样的。

师：孩子们都通过验证，发现100米路需要栽树21棵，那观察这些算式你可以发现什么？生：棵树比间隔数多1，间隔数比棵树少1。

师：孩子们用灵巧的手画线段示意图，用雪亮的眼睛观察算式、用聪明的心思领会规律，这100米的小路平均分成几个间隔？（20个间隔）栽了几棵树？（21棵树）（师板书：100÷5+1=21（棵））

师：为什么要“加1”？孩子们，能不能具体说明一下？生：比如15米的路，看这图就可以知道，两端都栽的话，1棵树对着1个间隔5米，最后1棵树没了间隔，这种情况下间隔数必须加最后1棵才可以。生：比如35米的路，看示意图便知两端都栽，每1棵树对着前面1段5米，第1棵树没了5米，必须算上第1棵树。

师：100米的路可以这样栽，如果两端都不栽，需要多少棵树？生：100÷5－1=19棵树。

师：那好，根据刚才两端都栽的方法说明一下你的想法。生：比如30米的路，看示意图知道，若头尾不栽，一段5米对着1棵树，最后1段5米没有树，这样得减掉1个间隔。

师：如果只栽一端，需要多少棵树？生：100÷5=20棵树。

师：具体说明一下你的想法。生：比如35米的路，看示意图就一目了然，若只栽头则最后1棵树不要加，若只栽尾则第1棵树就不用加，这样棵树与间隔数刚刚好。

在本节植树问题课中，通过引导学生用画线段示意图研究知识，发现规律，学生体验到学习的乐趣，建构了正确的数学模型，对新知识掌握更加深刻。

三、变式生活问题，应用数学模型

在小学数学课堂教学中，要让学生弄懂数学模型，再让学生依照所建构的数学模型解决实际问题，这样学生就清楚明白学习数学模型的实际应用。

如《植树问题》升华模型教学片断：

出示变式习题：丁丁乘独户电梯上楼，电梯从一层上升到二层约需2秒，照这样的速度，丁丁家在15层，大约需要多少秒？

师：我们学习的植树问题，是不是只适用于植树问题？看看刚才的练习，多少时间呢？用植树问题的知识能解决吗？生：可以，这15层可以看作15棵树。

师：说得真好，那间隔数怎么看？生：每上一层需要2秒是看作间隔长，15层就有14个间隔长。

师：这乘电梯是植树问题中的哪种情况？生：两端都栽。

当学生遇到乘坐电梯、敲钟等现实生活情境时，只需稍作引导，学生就会对应植树问题进行升华，就会联想到题目中把什么看作树？又是把什么看作间隔数？从而判断是植树问题的哪种情况，这样学生学到的数学模型不但进行了巩固也得到了升华，运用数学模型就要让学生在解决数学问题时，能用所学的数学模型解决相类似的数学问题。