近10年小孔扩张理论在岩土工程中的应用研究综述

于旭光

（唐山工业职业技术学院，河北 唐山 063299）

0 引言

广义的小孔扩张理论分为两部分：孔收缩理论和孔扩张理论。其广泛应用于桩基础、地锚、隧道和地下工程开挖、土体原位测试和钻孔稳定等分析与设计中[1]。由于小孔扩张理论能很好地解决复杂岩土力学中的问题，因此，许多研究人员在小孔扩张理论研究方面进行了广泛的研究，主要体现在岩土介质中扩张基本问题的求解和在岩土工程问题方面的应用两个方面。同钢、混凝土这些材料相比，岩土材料更复杂，其力学性能更难以测定，本构模型的发展和测试技术进步促进了岩（土）体性质的测定及其力学行为的描述。目前弹性和塑性理论最广泛使用的岩（土）体本构模型有很多，大致可分为三类：弹性模型（线性或非线性）、黏弹性或黏弹塑性模型、弹塑性模型（理想塑性或应变强化/软化）。对于不同类型的岩（土）体，可根据具体问题选择恰当的本构模型。

鉴于选择合适的本构模型的重要性，而目前研究人员将本构模型应用到这些岩（土）体的研究尚不完善，因此，本文回顾了相关研究人员对孔收缩理论（典型的隧道开挖）和孔扩张理论（典型的沉桩施工、静力触探等）两个方面的研究，并且对以后未进行的研究进行了展望，为相关研究人员进行下一步的相关研究提供参考。

1 孔收缩理论

对于孔收缩理论来说，孔壁均匀压力在初始地应力的作用下不断减小，典型的就是隧道开挖问题。近年来，国内外研究人员对隧道展开了大量研究，下面主要从黏弹性或黏弹塑性模型、弹塑性模型两个方面进行展开介绍。

1.1 黏弹性或黏弹塑性模型隧道

岩石通常表现出一定程度的时间依赖性行为(流变)，在某些情况下，流变产生的变形可能占70%的总变形[2-4]，虽然隧道的流变挤压主要与软岩有关，但是高地应力下的硬岩也能表现出典型的流变特性[5-7]。因此，在高地应力的软岩或硬岩中掘进时，不能忽略围岩的流变。

对于黏弹性岩石隧道开挖问题，已有许多解答。比如：国外学者Gnirk P F等[8]利用线性粘弹性理论，推导了静水应力作用下黏弹性介质中有衬砌支护和无衬砌支护的圆形竖井(或圆柱形空腔)开挖引起的应力场和位移场；Sakurai[9]通过引入“等效初始应力”，提出了一种在二维平面应变分析中考虑巷道工作面推进的三维效应的方法，进而得到了作用于隧道支护的压力随时间和隧道推进的变化规律；Pan和Dong[10-11]通过考虑岩体的流变特性、隧道推进，进而提出了隧道-支护相互作用模型用来模拟具有流变特性的岩体开挖施工过程，并在此模型的基础上进行了参数研究，分别研究了掘进和支护安装对巷道收敛和支护压力的影响；Fahimifar等[12]通过假定岩体为各向同性、均质、不可压缩性及开挖速度为无限大，推导了黏弹性Burgers岩体中圆形隧道洞壁时变变形的解析解，并通过3个实例进行了验证；Nomikos等[13]推导了轴对称隧道中线衬砌支承的线黏弹性Burgers体力学行为的精确封闭解，在考虑刚度和安装时间的情况下，给出了岩石/衬砌界面位移和岩石对衬砌施加的压力的解析公式,并且这些公式的计算结果验证了二维有限差分编码的数值计算结果；Chu等[14]考虑了纵向非连续开挖过程(开挖过程中发生的停止)和双弹性衬砌的安装顺序，建立了封闭解析解。推导过程中还考虑了掘进工作面在开挖前后推进速率的变化。与整个构造过程相对应，分5个阶段逐步求解，并根据积分方程理论给出了任意黏弹性模型深埋圆形隧道的广义推导过程；国内学者王华宁等[15]考虑双向不等应力作用下的双圆形隧洞顺序施工问题，给出了各个施工时段增量应力和位移的黏弹性解，其解与有限元结果吻合较好。

从以上可以看出，大多数研究人员将岩体视为黏弹性介质，为了进一步进行研究，一些研究人员采用黏弹塑性模型来求解由于开挖造成的隧道响应随时间变化的影响。Wang等[16]通过假定岩体为各向同性、均质且处于静水初始应力作用下的黏弹塑性岩体，将隧道分为初始塑性区、粘塑性区和弹性区，采用广义Bingham模型与Mohr-Coulomb屈服准则，推导了考虑非关联流动规律和黏弹塑性的圆形隧道解析解，并将计算结果与静态条件下的弹脆塑性解进行了比较，从而验证了解析解的正确性。Kargar[17]充分考虑隧道开挖后两个因素：一是采用当前断面与隧道工作面之间的距离来模拟隧道工作面的前进，另一个因素是开挖后围岩的时变特性；并假定围岩为各向同性、均质、服从黏弹塑性本构模型，推导了有衬砌和无衬砌圆形隧道周围的应力场和位移场的解析解。夏才初等[18]基于西原模型，先假定黏塑性体偏应力张量一阶导数与瞬态偏应力张量和稳定偏应力张量差值成正比，得到本构方程，接着采用拉普拉斯变换和逆变换，推导了圆形隧道黏弹-黏塑性解析解。朱建林等[19]基于分数阶微分黏弹塑性流变模型（该模型由分数阶Maxwell模型和黏塑性体串联而成），同时考虑围岩应力释放系数，推导了圆形隧洞黏塑性应力和位移的解析解，并与整数阶西原模型的解答进行了对比分析。

1.2 弹塑性模型隧道

在弹塑性模型（理想塑性或应变强化/软化）方面，相关学者做了大量研究，下面分别从理想弹塑性模型、弹脆塑性模型、应变软化模型、应变强化模型四个方面展开介绍。

对于理想弹塑性模型方面：李宗利等[20]考虑渗流场影响，结合Mohr-Coulomb屈服准则，推导了理想弹塑性模型圆形隧洞的弹塑性解，并将内水压力按照作用于隧洞内壁的面力情况（即不考虑渗流场影响）和以渗流体积力方式作用的情况进行了对比分析；刘成学等[21]为了解决文献[20]在理论上不能唯一确定塑性区半径的不足，通过考虑渗流影响，并引入应力调整系数，结合Mohr-Coulomb屈服准则，推导了理想弹塑性模型圆形隧洞的弹塑性解，通过实例对比分析得出应力重分布影响不能忽略；潘继良等[22]考虑渗流影响和围岩的剪胀特性，结合广义SMP准则，该准则不仅可以考虑中间主应力的影响，还能克服Mohr-Coulomb屈服准则的奇异性以及D-P准则的拉压强度相等性，推导了理想弹塑性模型圆形隧洞的弹塑性解，并与Mohr-Coulomb屈服准则求解的应力分布和塑性区半径进行了对比；黄阜等[23]考虑渗流影响，采用原始Hoek-Brown屈服准则推导了理想弹塑性模型围岩的特性曲线、塑性区半径和支护力关系曲线等，并与Mohr-Coulomb屈服准则求得的解进行了对比；王睢等[24]通过考虑施工和运行阶段下地下水的渗流影响，采用D-P屈服准则推导了第一主应力分别为径向应力和切向应力下的理想弹塑性模型圆形围岩弹塑性解，并与Mohr-Coulomb屈服准则求得的解进行了对比；李有钢等[25]采用三维非线性Hoek-Brown强度准则（GZZ准则）求解了理想弹塑性模型围岩的应力、塑性区半径及考虑扩容影响的位移解，并与经典准则（广义二维非线性HB准则以及三维线性D-P准则）通过数据对比，从而验证了该方法的正确性。

在弹脆塑性模型方面：Masoudian等[26]根据Mohr-Coulomb屈服准则，假定岩石材料在屈服点前为线弹性，对破坏后的脆性行为通过定义剩余强度参数和采用非关联的流动规则，推导了轴对称弹脆塑性膨胀岩石中圆孔的解析解；Singh等[27]采用Drucker-Prager屈服准则，提出了轴对称荷载作用下各向同性均质岩体中理想弹塑性和弹脆塑性模型圆形隧道的解析解，该解既考虑了面外应力，又将其视为中间主应力，通过与有限元分析结果进行对比比较接近；张常光等[28-29]基于俞茂宏双剪统一强度理论[30]，通过考虑施工期（即径向应力为第一主应力）和运行期（即切向应力为第一主应力）、剪胀和渗流影响，推导了弹脆塑性模型下有衬砌和无衬砌圆形隧洞围岩的应力解和位移解。

在应变软化模型方面：Fahimifar等[31]采用广义Hoek-Brown屈服准则提出了一种计算应变软化岩体圆形隧道围岩应力和位移分布的新方法。在塑性区，假设所有强度参数都是塑性剪切应变的线性函数，采用龙格-库塔四阶法对该问题进行数值求解，确定了塑性区应力和位移状态，通过几个实例说明了该方法的准确性和实际应用；Lee等[32]将塑性区划分为有限数量的同心环，假设所有强度参数均为塑性剪切应变的线性函数，采用Mohr-Coulomb和广义Hoek Brown屈服准则推导了应变软化模型圆形隧道围岩应力和径向位移分布的简单数值解；Xu等[33]考虑到在地应力高、围岩挤压严重的情况下，采用小应变理论会过高估计隧道的变形能力，计算得到的隧道壁收敛量甚至可能超过开挖半径，从而采用三维非线性Hoek-Brown强度准则（GZZ准则）推导了高地应力应变软化隧道大应变解的新方法；Zhang等[34]将塑性区划分为有限数量的同心环，采用Mohr-Coulomb屈服准则和广义Hoek-Brown屈服准则，基于对数应变对应变软化圆形隧道围岩进行了数值求解；付国彬[35]、姚国圣等[36]等考虑岩体应变软化和体积膨胀特性，推导了巷道围岩应力解和位移解；张黎明等[37]基于岩体非线性软化特性，分别考虑衬砌和围岩的渗透系数，推导了衬砌隧洞的应力解和位移解；于旭光等[38]基于三剪应力统一强度理论[39],通过将塑性软化区、破碎区的弹性应变分为2种情况（一是假定弹性应变为常数，二是由广义胡克定律来确定弹性应变），最后推导了考虑渗流、应变软化和扩容的圆形巷道围岩应力解和位移解。

在应变强化模型方面：侯公羽等[40]采用Drucker-Prager屈服准则，考虑幂强化-理想塑性模型推导了轴对称圆巷弹塑性解，并与理想弹塑性模型下的解进行了对比；于旭光等[41]采用4种常见的岩土材料强度准则，推导了考虑渗流影响的幂强化-理想塑性模型圆形隧洞的弹塑性解，并得到了适合幂强化-理想塑性模型的强度准则，最后分析了强度理论效应、幂强化参数和孔隙水压力的影响；赵均海等[42]基于三剪强度准则和双线性强化模型，推导了隧道和桩孔在均匀内外压下的弹塑性解答，分析了强化模量系数、中间主应力及材料强度拉压特性对弹塑性极限解的影响。

综上所述，可以看出国内外研究人员在黏弹性或黏弹塑性模型、弹塑性模型方面对圆形隧道展开了大量的研究，但是从中也可以看出不足之处：一是在黏弹性或黏弹塑性模型方面，众多研究人员未全面考虑各种因素，采用能综合考虑材料拉压异性和中间主应力效应的双剪统一强度理论，并结合纵向非连续开挖过程(开挖过程中发生的停止)和双弹性衬砌的安装顺序来推导各种本构模型下圆形隧道围岩的黏弹塑性解，这些内容笔者将在后续研究中将重点进行研究；二是在弹塑性模型方面，考虑到目前研究人员多采用小应变理论对圆形隧道围岩进行求解，也有部分研究人员采用对数应变（大应变）对软弱围岩圆形隧道进行求解，但是只是考虑施工期（即径向应力为第一主应力）的弹塑性解，未考虑运行期（即切向应力为第一主应力）和检修期（即放水检修后，此时径向应力为第一主应力）的弹塑性解。另外，众多研究人员将面外应力（即轴向应力）作为中间主应力，很少有研究人员将面外应力作为第一主应力和第三主应力对软弱围岩圆形隧道采用大变形进行分析。笔者在后续研究中将采用双剪统一强度理论或三剪应力统一强度理论，综合考虑渗流、应变软化、剪胀等因素采用对数应变对软弱围岩圆形隧道进行下一步的研究。

2 孔扩张理论

对于孔扩张理论来说，孔壁均匀压力在初始地应力的作用下不断增大，典型的就是桩施工、静力触探等问题。近年来，国内外研究人员对土体的研究主要体现在饱和土和非饱和土两个方面。文献[43]、[44]分别以俞茂宏[30]提出的双剪统一强度理论、胡小荣等[45-46]提出的三剪强度准则建立了饱和土和非饱和土二者之间的联系。当基质吸力等于0时，孔隙水压力等于空隙气压力，此时建立的非饱和土统一强度理论退化为饱和土统一强度理论，极大地扩大了应用范围。

2.1 饱和土孔扩张理论

早期自Vesic[47]首次应用基于相关联的Mohr-Coulomb屈服准则得到小孔扩张问题的弹塑性解以来，众多研究人员从土体类型、强度准则、扩孔形式、不同拉压模量以及排水条件等五个方面对扩孔问题进行了大量分析。文献[48-52]假设土体为理想弹塑性材料，不计竖向应力作用，推导了柱形孔扩张问题孔周土体的应力解和位移解；Collins等[53-54]采用原始剑桥模型和修正剑桥模型，假定应变有限、初始孔半径任意、各向同性硬化材料，推导了圆孔排水和不排水条件下扩张问题的解析解，该解也为验证各种数值方法提供了依据；Chen等[55-56]采用修正剑桥模型，通过假设弹性区域的小应变变形和塑性区域的大应变变形，将问题简化为求解塑性区域径向、切向和垂直有效应力的一阶常微分方程组，推导了饱和黏土柱形孔排水和不排水条件下扩张问题的精确解；Li等[57]基于k0的修正剑桥-黏土(K0-MCC)模型描述了土体屈服后的弹塑性本构关系，该模型能较好地反映各向异性对土体性质的影响，根据大应变变形理论，将问题简化为求解塑性区域的一阶常微分方程组，利用拉格朗日方法和弹塑性边界条件，推导了柱形孔固结黏土不排水条件下扩张问题的各向异性弹塑性解；Chen等[58]基于SMP准则，推导了各向异性修正剑桥模型的饱和黏土柱形孔排水和不排水条件下扩张问题解，并将压力-扩张曲线、超孔隙水压力发展、应力分量分布及有效应力路径等通过与其他基于MCC模型的解进行比较，验证了所提解的有效性；Sivasithamparam等[59]推导了各向异性饱和黏土柱形孔不排水条件下扩张解，这是具有塑性各向异性的软土在平面应变条件下圆柱形孔扩张问题的第一个理论解，其计算结果与有限元分析一致；Mo等[60]采用对数应变定义，假定弹性区域为小应变，塑性区域为大应变，基于黏土和砂土的统一状态参数模型(CASM)推导了球形和柱形孔排水条件下扩张问题的解析解；Chen等[61]基于各向异性临界状态粘土塑性模型，推导了柱形孔不排水条件下扩张问题的半解析方法；Su等[62]通过引入辅助变量，定义为物体微粒的初始位置与当前位置之比，可将柱形孔扩张问题的控制微分方程转化为一阶常微分方程，推导了砂土中柱形孔排水条件下扩张问题的半解析排水解；Vrakas[63]基于速率的塑性公式，给出了临界状态下垂直柱形孔洞不排水条件下扩张问题的大应变解；Zhang等[64]综合考虑了材料参数，即变形参数和强度参数，采用有限应变来描述具有对数应变的塑性行为，在很小的区域内假定材料性质不变，将塑性区域划分为一系列同心环，采用Mohr-Coulomb屈服准则推导了具有应变硬化或应变软化的土体在非相关流动法则下圆形孔和柱形孔的有限应变解；罗战友等[65-66]考虑不同拉压模量及软化特性得到了柱形孔和球形孔扩张问题的统一解；并分析了模量、模型以及软化等参数对柱形孔和球形孔扩张时扩张压力、塑性区半径及应力场的影响；鲁燕儿[67]考虑不同拉压模量推导了柱形孔和球形孔扩张问题的统一解，并分析了不同拉压模量比、拉压泊松比以及剪胀角对扩张压力和塑性区半径的影响；李镜培等[68]采用修正剑桥模型，推导了饱和粘土不排水条件下球形孔扩张问题的半解析解，并将周围土体分为弹性区、塑性区以及临界状态区，在弹性区采用弹性理论得到应力和孔隙水压力，在塑性区以及临界状态区采用拉格朗日法和相关联流动法则得到应力和孔隙水压力，并分析了各向同性超固结比对土体应力、孔隙水压力及塑性区范围的影响；李林等[69]采用修正剑桥模型和大变形理论，推导了K0固结饱和天然黏土中柱形孔不排水条件下扩张问题的解析解。

2.2 非饱和土孔扩张理论

由于实际中多数土体为非饱和土，因此研究人员对非饱和土也展开了相关研究。Cheng等[70]采用简化的统一边界面模型，假定吸力对有效应力的贡献为常数的排水条件下，推导了非饱和土球形孔和柱形孔排水和不排水条件下扩张问题的解析解；Russell等[71]采用有效应力概念和边界面塑性理论在临界状态框架下建立统一的本构模型，研究了非饱和土孔扩张问题，采用等速压缩试验、各向同性压缩试验和饱和和非饱和状态三轴剪切试验的结果对模型进行校准，分析中充分耦合了孔隙比、吸力、饱和度和有效应力，研究了初始水力状态在土体水特性曲线上的位置对孔壁压力的影响；Yang等[72]使用相似性技术，土的应力应变行为由一个边界面塑性模型来描述，存在水力滞回的非饱和粉质砂进行了孔扩张问题分析；Chen等[73]采用非饱和土弹塑性临界状态模型，推导了非饱和土中不排水(恒重力含水量)和排水(恒吸力)两种情况下的柱形孔的弹塑性本构矩阵，并将其导出为一阶微分方程组，建立了非饱和土中柱形孔扩张问题的弹塑性解；胡伟等[74]考虑沉桩速度的影响,推导了球形孔扩张弹塑性解；胡伟等[75]考率土体体积变化前提下，基于修正剑桥模型推导了非饱和土球形孔扩张的弹塑性解；刘旭[76]采用Mohr-Coulomb屈服准则推导了非饱和土中柱形孔排水和不排水条件下扩张问题的解析解，并与有限元分析进行了对比；赵均海等[77]采用非饱和土统一强度理论得出了柱形孔扩张的解析解；党星海等[78]采用统一强度理论，推导了非饱和黄土中椭球形排水和不排水条件下扩张问题的解析解。

综上所述，可以看出国内外研究人员在饱和土和非饱和土孔扩张问题方面进行了大量研究，但是仍有不足之处，未全面考虑各个因素。笔者已经初步通过非饱和土统一强度理论，全面考虑土体的不同拉压模量、剪胀特性来求解非饱和土柱形孔扩孔问题的自承载能力分析，同样当基质吸力等于0时，求解结果可退化为饱和土柱形孔扩孔问题的自承载能力分析公式，其结果的正确性可通过试验结果，工程案例测试结果或大型通用数值软件计算结果来进行验证。

3 结论

本文介绍了小孔扩张理论在孔收缩理论（典型的隧道开挖）和孔扩张理论（典型的沉桩施工、静力触探等）两个方面的应用，主要研究结论如下。

（1）在隧道开挖研究方面，主要介绍了采用黏弹性或黏弹塑性模型、弹塑性模型两个方面相关研究，并给出了未来研究方向。一是在黏弹性或黏弹塑性模型方面，众多研究人员未全面考虑各种因素，综合考虑材料拉压异性和中间主应力效应的双剪统一强度理论，并结合纵向非连续开挖过程(开挖过程中发生的停止)和双弹性衬砌的安装顺序来推导各种本构模型下圆形隧道围岩的黏弹塑性解，笔者在后续研究中将重点进行研究；二是在弹塑性模型方面，考虑到目前研究人员多采用小应变理论对圆形隧道围岩进行求解，也有部分研究人员采用对数应变（大应变）对圆形隧道围岩进行了求解，但是考虑因素不全面。笔者在后续研究中将采用双剪统一强度理论或三剪应力统一强度理论，综合考虑渗流、应变软化、剪胀等因素采用对数应变对圆形软岩隧道进行下一步的研究。

（2）在典型的沉桩施工、静力触探等研究方面，主要从饱和土和非饱和土扩孔问题进行了介绍，并指出了未来研究方面，综合考虑土体类型、强度准则、扩孔形式、不同拉压模量以及排水条件等条件推导扩孔问题弹塑性解仍需努力；鉴于非饱和土体问题的复杂性，可通过试验结果，工程案例测试结果或大型通用数值软件计算结果来对理论结构进行验证。