线性代数课程的线上线下混合式教学研究

范 静

（上海第二工业大学文理学部 上海 201209）

引言

线性代数是代数学的一个分支，它的研究对象是行列式、矩阵、向量、向量空间、线性变换和线性方程组。它是“矩阵论”“泛函分析”的基础。线性代数是描述和研究量子系统、经济金融系统等的强有力工具。其理论已经应用于许多学科分支，如运筹学、博弈论、金融数学等，而且在工程技术、生物技术、计算机、多媒体网络等领域中都有着极其广泛的应用。[1]线性代数课程的基本概念、理论和方法具有较高的抽象性、较强的逻辑性，对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。因而，线性代数这门公共基础课程是每个理工科学生必修的课程。[2]

在传统的线下线性代数教授过程中，授课教师即便用尽浑身解数，在上课之初就提出主要内容、重点和难点，介绍授课方式，并在理论学习后提出知识点的应用及与专业课的联系，但仍有不少学生只抓期末考试，考罢即抛之脑后，只留下对行列式、矩阵等概念的一些模糊印象。随着时代发展，线性代数的教学在不断地进行改革，教学一线的老师们一直在关注如何提高学生的积极性，如何提升学习效果等。

梁静[3]提出将学科思维导图引入教学中，以提高学生的逻辑思维能力；杨优美等[4]等提出研究式课堂教学方式，通过问题引导激发学生的学习兴趣和求知欲；张军等[5]提出将数学建模思想融入线性代数的教学中，提高学生运用知识解决实际问题的能力。虽然教师和学生面对面进行教学活动，教师主观上想运用各种改革方式调动学生的能动性，发挥他们的主动作用，但是很多客观条件限制了实施效果，如大班教学人数多、课程的学时数有限、考核方式不注重过程、考核内容比教学内容范围小等。在信息技术的深入影响下，传统的教学模式不断暴露出不同程度的问题，各种新兴教学技术的出现，使得线性代数的教学改革有了新的方向。[6]

1 线上线下混合式教学的开展基础

疫情期间，线性代数线上授课完全取代了线下讲课，授课教师为线上教学设计了完整的教学方案，重构了教学内容，完善了教学资源，增加了预习模块、互动答疑、回放巩固、及时检测等过程。但纯粹的在线教学也存在很多问题。客观方面，如学生的网络不稳定、终端硬件损坏等不能保障课程顺利开展，主观方面，如学生学习走神、不参与互动等使得在线教学效果较线下教学大打折扣。在高校线下教学活动恢复正常的后疫情时期，所有的线上教学资源不应昙花一现，教师们辛勤工作的结果应加以更好的利用，也值得具有更持久的生命。这为开展新的教学模式奠定了初步的资源基础。

2020 年7 月15 日，国家发展改革委、中央网信办、教育部等部门联合发布《关于支持新业态新模式健康发展激活消费市场带动扩大就业的意见》。[7]《意见》要求，要把支持线上线下融合的新业态新模式作为经济转型和促进改革创新的重要突破口，并由教育部牵头负责大力发展融合化在线教育，构建线上线下教育常态化融合发展机制，形成良性互动格局。这里的线上是指利用互联网的视频课等，学生在自主选择的时间进行自学；线下是指在固定时间内，在面对面的课堂中，教师针对重点、难点内容进行详细讲解，通过师生互动解决不同学生的问题。线上线下混合就是要将线上自学与线下翻转进行有机、有效的结合。这为后疫情时期线上与线下混合的教学模式奠定了政策基础。

目前，全国各大高校围绕建设“金课”开展了线上线下混合式教学改革。周小燕等[8]对高等农林院校线性代数课程的教学目标、教学实践以及过程性考评活动进行设计，建立以学生“学”为中心的线上线下混合式“金课”；周勇强等[9]将线上线下教学深度融合，把抽象理论与数学文化、中国传统文化、实际工程背景等有机结合；郑文斌等[10]对应用效果进行分析，结果显示：无论是学生的主观满意度，还是客观考核成绩，线上线下混合式教学模式在线性代数课程中的应用效果更佳；吴延红等[11]构建了一种“线上+线下”的混合式教学模式，以提高学生课堂教学的参与率和学习积极性。这些研究成果为线性代数课程进行线上与线下混合的教学模式奠定了理论基础。

2 线上线下混合式教学的实施

2.1 线上授课

为了实施线性代数课程线上线下混合式教学，我们需要从以下四个方面入手，才能使教学目标正确、方式恰当。

2.1.1 重构教学内容，育人于无形

将教学内容进行适当的扩充，并根据难易程度分为线上内容与线下内容。将初步的、基础的、易激发学习兴趣的知识，通过录制10 分钟左右的视频课，并结合扩充内容，放在学习网站上，供学生进行课前预习、课后巩固。期间，如果可以将课程思政内容很好地融入的话，还能在无形中实现“三全育人”。

例如，矩阵的概念是比较简单的教学内容，就可以作为线上内容，通过短视频课进行学习。在视频中，除了讲解矩阵是数表这个本质外，还可以举阅兵式中的队列为例，让学生通过各兵种的队列图片了解不同行列数的矩阵，还可以领略中国人民解放军严格的纪律和过硬的军风，增强学生的民族自豪感、培养学生的爱国情操。

2.1.2 扩充教学案例，育人于应用

线下教学往往受限于有限的教学时间，教学案例的选择有限，无法进行详细的、分类别的讲解。因此，线性代数的多数应用案例就可以在线上通过视频课、练习题进行学习，这既能增加课程的趣味性，又能启发学生解决实际问题的思维。

例如，直观的阅兵队列可以用矩阵来表示，而且实际生活中的航班路线也可以用矩阵来表示。如果从城市A到城市B、城市C 有航班，城市B、城市C 到城市A 也有航班，但城市B 与城市C 之间没有航班。这三个城市间的航班表就可以表示为一个三阶方阵，第1-3 行表示从城市A、城市B、城市C 出发的航班，第1-3 列表示到达城市A、城市B、城市C 的航班。若用数字1 表示有航班，用数字0 表示没有航班，因此，此方阵中第1 行的第2、3 列元素及第1列的第2、3 行元素为数字1，其余元素均为0。

2.1.3 增加软件操作，育人于实际

在线性代数的学习过程中，有限维的向量、矩阵、线性方程组等的维数都很小，但在实际领域内，维数一般大大超出了手动计算的范围。同时，计算机科学的发展，为学习线性代数提供了一个科学的现代化环境。把MATLAB软件引入到线性代数的学习中，借助命令、程序进行运算，通过视频课演示与巩固练习，可以提高学习效率，增强学生解决实际问题的能力。

例如，利用MATLAB 软件创建矩阵时，不仅要讲直接输入数字创建矩阵，还要讲利用查找、赋值等方法产生新的矩阵；不仅要讲矩阵的分块，还要讲矩阵的拼接；不仅要讲数字矩阵的运算，还要讲符号矩阵的运算；不仅要讲矩阵与行列式、向量的理论运算联系，还要讲它们各自在软件中的独特运算。

2.1.4 设计个性方案，育人于精准

线上的教学完全以学生为主体，在无人监督的情况下，应尽量增加师生、人机互动，设计个性化的考核方案，以保证线上学习的有效性。

例如，教师在线上发布征询矩阵的实际生活应用案例或专业领域的应用案例，由学生通过查找资料列举更多的案例，并进行打分及评论。再例如，在矩阵学习初期，很多学生会与行列式的写法混淆，可以设计层级的多选题，在第一个多选题中选出正确的矩阵，如果正确，则结束；否则再弹出一个类似的多选题，直至选择正确才结束。

2.2 线下授课方式的调整

在线下的课堂教学中，在师生面对面的交流中，教师作为主导，应从线上内容的反馈入手，讲评线上学习的问题，进行总结后，导入到翻转思考、引导学习的阶段。因此，我们需要在线下从以下两方面进行调整，才能做到及时巩固、效果良好。

调整教学方法，转变教学思路。在新模式教学中，教师需要综合运用小组合作、以问题为导向的学习方法，进行启发式、探究式、研讨式的讲授，通过生讲生评，生讲师评，及时对学生的课堂表现进行反馈。

设计教学内容，把控教学节奏。在新模式教学中，对教师的要求有增无减，不仅要按照教学进度安排教学内容，还要设计不同的分组讨论主题，使不同程度的学生既可以在讨论中有收获，还能突破一定的难度。

2.3 师资培训及教学评价要紧跟新模式的步伐

对于线上线下混合式教学的开展，还需要以下两方面工作的配合调整，才能从全方位形成老师与学生间的新教学生态。

加强教师培训，增加交流学习。授课教师除了要具备熟练的课程讲授能力之外，还需要对线上平台足够熟悉，可以熟练进行任务发放、答疑评论等。另外，教师还需要学习先进的教学方法，提高自身的素质。因此，教师需要进行各方面的培训和学习，以及本校及校间交流和切磋。

改变教学评价，权衡线上线下。改变以往平时成绩过低的评价方式，制定全新的评价方式，以综合考虑学生线上表现和线下表现，结合课前、课中和课后的学习过程和学习效果，通过学生平时的学习成绩，设置合理的权值，使得最终评定的成绩与学生真实的学习状况保持一致。

3 结束语

目前，很多高校针对线性代数课程进行了线上线下混合式教学探索和实践。本文着重从开展线上线下混合式教学的基础出发，探讨了构建新教学模式所需的调整和改变，包括线上的教学内容、教学案例、软件操作及个性化方案；线下的教学方法和教学内容；并配以教师培训与改变教学评价。通过线上与线下全方位的配合，多样性的结合，在达到学习线性代数理论知识、实际案例、软件应用等学习目标的同时，能够充分尊重学生学习的个性化，有利于学生建立学习的自信，主导自我的发展，从而改善学习现状，提升教学成效。