可变抽样区间和样本容量的非正态EWMA控制图经济设计

薛 丽, 李聪凯, 贾元忠

(1.郑州航空工业管理学院 管理工程学院,河南 郑州 450046; 2.天津大学 管理与经济学部,天津 300072)

0 引言

在生产制造过程中，统计过程控制是提高产品过程质量的一种有效方法，控制图作为过程控制的一种重要工具在生产实践中得到广泛应用。为了提高控制图的监控效率，许多学者研究了抽样区间变化(VSI)、样本容量变化(VSS)以及抽样区间和样本容量均变化(VSSI)的动态控制图，研究结果表明动态控制的监控效果均优于静态控制图。当监控过程中的较小波动时，Saccucci[1]设计了正态分布情形下抽样区间变化的EWMA控制图，利用马尔科夫链方法得到了双边VSI EWMA控制图的平均报警时间；吉明明等[2]研究了质量特性值服从非正态分布时的可变抽样区间EWMA均值控制图。薛丽[3]研究了过程不合格品率服从二项分布时，可变抽样区间EWMA控制图。Tang[4]等研究了监控过程均值变化时，可变抽样区间的自适应EWMA控制图。Tran[5]等研究了考虑测量误差下的可变抽样区间EWMA控制图。上面研究聚焦于可变抽样区间EWMA控制图的设计，当抽样区间和样本容量同时变化时， Reynolds[6]等研究了VSSI EWMA控制图的监控性能。他们的研究是建立在观测值服从正态分布的假设背景下，然而在实际中这一假设可能得不到满足，有时观测值会呈现偏态性[7]。当过程观测值不满足正态性假设时，一些学者[2,8]利用Burr分布近似不同情况的非正态分布进行研究。

上述研究是基于控制图的统计特性，没有考虑控制图在监控过程时产生的费用成本。为了降低过程控制时的费用成本， Lorenzen & Vance 于1986年[9]提出了控制图经济设计的统一方法。随后许多学者对动态控制图进行了经济设计。Chou等[10]针对质量特性值服从正态分布的情况下，研究了可变抽样区间EWMA控制图的经济设计。Chen[8]对可变抽样区间非正态均值控制图进行了经济设计。薛丽[12,13]分别研究了可变抽样区间几何EWMA控制图的经济设计以及监控均值标准差的VSI EWMA图经济设计。上面对于动态EWMA控制图的经济设计多集中在可变抽样区间控制图，较少考虑到非正态分布情形下可变抽样区间和样本容量的EWMA控制图。为了提高监控过程效率的同时使过程控制成本降低，本文利用Burr分布近似不同情况下的非正态分布，对可变抽样区间和样本容量的非正态EWMA控制图进行经济设计研究。

1 VSSI非正态EWMA控制图

(1)

其中，λ为平滑系数，Z0=μ0。

控制图的上下控制限分别为：

(2)

其中，k是控制限系数。

控制图的上下警戒限分别为：

(3)

其中，w是警戒限系数。

令h1、h2为长抽样区间和短抽样区间，n1和n2为大样本容量和小样本容量。控制图的监控机制为：若当前样本点落在中心域(LWL,UWL)内，则下一次抽样采用大抽样区间h1以及小样本容量n2的抽样办法；若当前样本点落在警戒域(UWLUCL或Zi

由于质量特性值的分布未知，需要用一种已知的分布形式去近似它。两参数Burr分布可以近似各种类型的分布，例如Gamma分布，Beta分布等，其分布函数如下:

(4)

其中，c和q均为大于1的常数。

针对各种(c,q)，Burr将其对应的偏度系数、峰度系数以及均值、标准差列表给出。对于具有相同偏度系数和峰度系数的随机变量X和Burr变量Y可以相互转换，根据观测值的偏度系数和峰度系数，通过列表找到相应的c和q值，从而确定对应的Burr分布函数。观测值和Burr变量之间的转换公式为:

(5)

(6)

(7)

2 经济模型的建立

为了对VSSI非正态EWMA控制图进行经济设计，提出以下模型假设：(1)假设过程开始处于受控状态(μ=μ0)，经过一段时间以后，过程失控(μ=μ0+δσ，σ保持不变)。(2)受控时长服从均值为1/θ的指数分布。(3)异常原因发生后，在找出并纠正异常原因之前的一段时间，过程一直处于失控状态。(4)在每个抽样间隔内，异常原因发生的次数最多为1，并且在抽样过程中，异常原因不发生。经济模型相关参数定义如表1所述。

Lorenzen & Vance经济模型所考虑的费用成本期望值包括：过程受控时的费用成本、过程失控时的费用成本、抽样和理解结果的费用、错误警报造成的费用、找到特殊原因和恢复过程的费用。由于VSSI 非正态EWMA控制图的抽样区间和样本容量不固定，修改Lorenzen & Vance经济模型中的抽样区间为平均抽样区间，样本容量为平均样本容量，得到VSSI非正态EWMA控制图的费用成本函数ECT：

(8)

表1 相关参数描述

运用马尔科夫链的方法得到ATS0、ATS1、ANSS0、ANOS的计算公式如下：

R=[rij](2v+1)×(2v+1)=(I-U)-1
U=[uij](2v+1)×(2v+1)

(9)

其中Uij=F(B)-F(A)。

(10)

通过前面的讨论可知：VSSI非正态EWMA控制图的经济设计即寻找使目标函数ECT最小时对应的最优参数组合(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)。

3 算例

在炼钢过程中，需要对某种化学成分进行控制，且已知它不服从正态分布。根据收集的数据可知单个观测值的偏斜度和峰度分别为-0.519和3.462。过程受控时μ=μ0=1.5,σ=σ0=1。过程失控时标准差保持不变，μ=μ0+δσ。由于分布未知，可以用c=10和q=10的Burr分布来近似，并采用VSSI非正态EWMA控制图对其进行监控。在其经济模型中，费用参数和模型参数值如下：C0=9，C1=90，θ=0.01，a1=0.6，a4=0.2，E=0.06hr，a2=20，a1=40，γ1=1，γ2=1，T0=0.6hr，T1=2.5hr,T2=2.5hr,δ=1.5。

在matlab(version 7.0)环境下利用遗传算法工具箱进行求解。解向量为(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)，其中n1、n2为整数，h1、h2、k、w和λ为连续值。求解的过程如下：

(1)生成初始种群。随机选取20组作为初始解，各个参数的限制范围如下： 1

(2)选择。分别计算20个初始解的适应度值，本例中适应度值即为目标函数的倒数。适应度好的染色体有较大概率作为幸存者，组成下一代。

(3)交叉。设置交叉率为0.8，交叉办法如下：D1=0.8R+0.2M,D2=0.2R+0.8M。D1为第一个新的染色体，D2为第二个新的染色体，R、M为父辈、母辈染色体，经过20对上一辈染色体随机结合，会产生40个子代。总人口数增加至60。

(4)变异。设置变异率为0.1，则60个解能随机选择6个染色体(60*0.1=6)来实现变异。

(5)重复循环步骤(2)到(5)，设置最大遗传代数为100代。运行到100代时算法停止。得到最优参数值：n1=8，n2=3，h1=1.3232，h2=0.0118，k=2.4065，w=1.0526，λ=0.9516，ECT=15.0034。

4 灵敏度分析

为了研究模型参数(C0,C1,θ,a3,a4,E,a2,a1,T1,T2,δ)对控制图设计参数(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)以及ECT的影响，采用正交试验设计以及回归分析对经济模型进行分析。令控制图设计参数为响应变量，模型参数为自变量。表2记录自变量(模型参数)的两种水平，其余参数固定如下：γ1=1，γ2=1，T0=1,且收集的数据可用c=10和q=10的Burr分布近似。表3(1)记录16次正交试验的方案，表3(2)记录正交试验的结果。

表2 十一个费用参数的两水平

表3(1) 根据L16(215)安排的十六次试验

表3(2) 十六次试验结果

为了研究模型参数对控制图设计参数的影响关系，运用SPSS软件对每一个因变量(设计参数或费用成本函数)进行回归分析。令检验水平α=0.05，得到模型参数对控制图设计参数和费用成本函数的影响关系如下：

(1)模型参数对大样本容量n1的取值影响不显著。

(2)小样本容量n2的取值随着抽样和检测的固定成本a3的增大而增大；随着一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E以及过程波动δ的增大而减小。

(3)长抽样区间h1的取值随着受控时的平均成本C0、抽样和检测的固定成本a3、消除特殊原因的平均时间T2以及过程波动δ的增大而增大；随着失控时的平均成本C1、产生特殊原因的频率θ、一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E以及查找和消除特殊原因的成本a2的增大而减小。

(4)模型参数对小抽样区间h2的取值影响不显著。

(5)产生特殊原因的频率θ、抽样和检测的固定成本a3越大，控制限系数k越小；错误警报造成的平均成本a1、过程波动δ越大，k越大。

(6)警戒限系数w的取值随着一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E、产生特殊原因的频率θ的增大而减小；随着抽样和检测的固定成本a3、过程波动δ的增大而增大。

(7)平滑系数λ的取值随着抽样和检测的固定成本a3、过程波动δ的增大而增大；随着一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E的增大而减小。

(8)产生特殊原因的频率θ、发现特殊原因的平均时间T1、失控时的平均成本C1以及消除特殊原因的平均时间T2越大，费用成本函数ECT越大；过程波动δ越大，ECT越小。

为了能直观的显示出模型参数对模型参数以及费用函数的影响关系，运用Minitab软件的到的主效应分析图如图1～6所示。

5 最优性分析

本节分析VSSI 非正态EWMA控制图与VSS非正态EWMA控制图、VSI非正态EWMA控制图的经济设计进行比较，验证所提出的VSSI非正态EWMA控制图经济模型的优越性。VSSI非正态EWMA控制图的费用成本函数ECT(公式(8))中平均样本容量λ退化成样本容量n，即为VSI非正态EWMA控制图的费用成本函数ECTVSI；VSSI非正态EWMA控制图的费用成本函数ECT(公式(8))中平均抽样区间h0退化成抽样区间h，即为VSS非正态EWMA控制图的费用成本函数ECTVSS。

(1)在相同的模型参数组合前提下，分别对VSI、VSS非正态EWMA控制图的费用成本函数运行遗传算法工具箱，得到参数和费用成本函数最优值，结果见表4和表5。

将表4～5得到的ECTVSI、ECTVSS与表3(2)得到的ECTVSSI分别记录在表6， 并同时计算ECTVSI/ECTVSSI和ECTVSS/ECTVSSI，可以看出在每次试验下，ECTVSI/ECTVSSI和ECTVSS/ECTVSSI的值均大于1，说明ECTVSI和ECTVSS的值均大于ECTVSSI的值。即在相同参数设置下，所建立的VSSI非正态EWMA控制图的经济模型均优于VSI非正态EWMA控制图与VSS非正态控制图，具有较小的费用成本。因此，所设计的VSSI非正态EWMA控制图经济模型较VSI、VSS非正态EWMA控制图的经济模型具有优越性。

(2)实例分析：对数据案例4的实际例子进行分析，分别运用VSI非正态EWMA控制图、VSS非正态EWMA控制图、VSSI非正态EWMA控制图对该炼钢过程进行监控，对这三种控制图分别进行经济设计，得到的控制图最优参数和费用成本函数的结果见表7。

由表7可知，VSSI非正态EWMA控制图的费用成本函数为15.0034，均小于VSI和VSS非正态EWMA控制图的费用成本函数。因此，在对炼钢过程进行监控时，本文设计VSSI 非正态EWMA 控制图经济模型均优于VSI、VSS非正态EWMA控制图。

图1 小样本容量n2主效应图

图2 长抽样区间h1主效应

图3 控线限系数k主效应图

图4 警戒限系数w主效应图

图5 平滑系数λ主效应图

图6 费用成本函数ECT主效应图

表4 VSI非正态EWMA控制图十六次试验结果

表5 VSS非正态EWMA控制图十六次试验结果

表6 最优性分析结果

表7 实例分析结果

6 结论

针对过程数据不服从正态分布的情况，研究VSSI EWMA控制图的经济设计问题。首先对非正态EWMA控制图进行抽样区间和样本容量变化设计；其次建立VSSI EWMA控制图的经济设计模型。通过使费用成本函数ECT最小确定控制图的设计参数(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)的值，并运用遗传算法进行求解。然后运用正交试验设计对经济模型进行灵敏度分析,得出费用成本函数ECT与失控时单位时间内的成本C1、产生特殊原因的频率θ、发现特殊原因的平均时间T1以及消除特殊原因的平均时间T2呈正相关,与过程波动δ呈负相关。最后通过最优性分析得出所建立的VSSI非正态EWMA控制图经济模型优于VSI、VSS非正态EWMA控制图的经济模型，具有较小费用成本函数。