浅谈思维导图在高三数学复习中的应用

周祝光，张扬

摘要：完整的高三复习共有三轮，其中一轮复习耗时最长，也是公认的最为重要的复习阶段.可以说，一轮复习的效果决定了高考的成败.在信息化、智能化的时代背景下，思维导图能有效地帮助学生提高高三复习效率.思维导图在高三数学复习中的应用具体可分为以相关知识为线索制作思维导图和以解题程序为线索制作思维导图两类.

关键词：思维导图;高三数学;复习课

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）03-0053-03

完整的高三复习共有三輪，其中一轮复习耗时最长，也是公认的最为重要的复习阶段.可以说，一轮复习的效果决定了高考的成败.如何更好的进行一轮复习是每个数学教师首要思考的问题.

思维导图概念的初次诞生是源于20世纪70年代的一本书籍《启动大脑》，是作者托尼巴赞首次提出的一种创新学习方法.它以符号、图象、文字、颜色为媒介，以某一个关键词或者中心内容为起点，进行层级化和分支化，从而形成一张清晰的，完整的，具备逻辑结构的知识结构图.思维导图在使用的过程中很好的平衡、协调了左右脑的使用，并以建构主义学习理论为依托，不断对关键词或者中心内容进行扩散与延展，充分激发使用者的思维活动，创造的层级关系有效地将新旧知识整合成一个系统，激发人们的创新思维.

本文中所提到的思维导图与上述概念既有重合，但也有一些区别，主要是指应用于高三一轮复习的一种思维工具，具体可分为两种.一种是通过网状结构将学生学习过的基础概念纳入学生原有的知识体系中;另一种是通过树状图的结构对学生解题能力进行指导.简单来说，就是一方面利用图象、语言、符号的交织帮助学生厘清知识间的联系，整合成完整知识系统便于记忆;另一方面帮助学生在学习过程中将不可视的解题方法、路径、数学思想通过图示呈现出来便于理解.本文主要以一节高三微专题为例，展示思维导图在高三一轮复习当中的应用.

1 课堂实录

【教学环节1】

【问题】已知函数f（x）=exsinx-x，求函数在区间〖的最值.

生1：因为无法通过常用结论判断函数f（x）=exsinx-x的单调性，所以对函数求导.

师：思路正确，但没有继续完成，碰到了什么困难？

生1：是的，求解出导数f ′（x）=exsinx+cosx-1，但不知道怎么判断导数值的正负，所以确定不了原函数的单调性和最值.

师：我们学过可以采用什么办法来确定它的正负吗？

生2：可以把f ′（x）=exsinx+cosx-1作为一个新的函数，转化为求方程2sinx+π4=1ex的根，通过观察两函数图象交点为0，1，判断在〖上f ′（x）≥0，所以f（x）在〖上单调递增.所以f（x）min=f（0）=0，∴f（x）max=f（π2）=eπ2-π2.

师：非常好，将函数的零点问题转化为图像的交点问题，灵活的应用转化与化归，数形结合的数学思想.

追问：那碰到不能通过图象直观判断的怎么办？

生3：生2 把f ′（x）看作为一个新的函数给了我启发，如果把它看做是一个新的函数，那么我们再次对它求导，得到导函数的导函数然后再进行分析.

师：非常好，把你的思路付诸于现实.

生3：f ″（x）=2excosx在〖上恒正，所以f ′（x）在〖上单调递增，而f ′（x）min=f ′（0）=0，所以f ′（x）min≥0.f（x）在〖单调递增.

变式：求问题中的函数在〖的最值.

生4：∵f ″（x）=2excosx在〖上非负，∴f ′（x）=exsinx+cosx-1在〖上单调递增.而f ′（0）=0，所以在〖上f ′（x）

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0，在〖上f ′（x）≥0，所以原函数f（x）在〖上单调递减，在〖上单调递增.所以f（x）min=f（0）=0，f（x）max=max{f（-π2），f（π2）}，又∵f（π2）-f（-π2）=（eπ2-π2）-（-e-π2+π2）=eπ2+e-π2-π>eπ2-π>0，∴f（π2）>f（-π2）.∴f（x）max=f（π2）=eπ2-π2.

【归纳总结】

【教学环节2】

【问题】已知函数f（x）=ex-ax2-2x.当a<e2-1时，证明：不等式f（x）>e2-1在（0，+

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）上恒成立.

生5：根据对刚刚问题的反思，一阶导f ′（x）=ex-2ax-2无法直接判断正负，故求二阶导f ″（x）=ex-2a，∵a<e2-1，x∈（0，+

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），f ″（x）>f ″（0）=1-2a>3-e>0.所以f ′（x）在（0，+

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）上单调递增.

师：很好，那为什么没有继续下去，这次的困难是什么？

生5：虽然能判断出一阶导单调递增，但因为它的最小值小于0，说明一定存在零点，但无法求出一阶导的零点，所以不能判断原函数的增减性.也试图画出函数图象，可是也无法找到准确的交点.

师：关于函数的零点问题，除了图像我们还学过什么方法确定零点区间呢？

生6：零点存在性定理.∵f ′（0）=-1<0，f ′（1）=e-2a-2>0，所以存在x0∈（0，1）使得f ′（x0）=0.所以在（0，x0）上f ′（x）<0，在（x0，+

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）上f ′（x）>0.

f（x）min=f（x0）=ex0-ax20-2x0.

师：很好，由零点存在性定理得到原函数的最小值，进而只需说明最小值大于e2-1.我们还可以利用哪些方法来将函数的最小值转化为我们可以求解的函数呢？

生6：f ′（x0）=0不仅是结论，更是条件，即ex0-2ax0-2=0.所以

f（x0）=ex0-ax20-2x0=ex0-x0（ax0+2）=ex0-x0（ex02+1）=ex0（1-x02）-x0>e1（1-12）-1=e2-1

【歸纳总结】

【教学环节3】完善导图，自拟问题

师：通过对本节课的学习，你能否总结出求解一阶导不可判断正负的导数题目的一般策略和操作的具体步骤，请将本节课内容制成完整的思维导图.

师：请写出你自己设计的一个问题，并解决.

2 几点反思

2.1 以相关知识为线索制作思维导图

2.1.1 以基础概念为线索制作思维导图

基础概念是学好数学的关键，将基础概念网格化，是对基础概念之间的关系进行有效的梳理和总结，既能从宏观上把握整体知识的内涵与本质，也能从微观上对知识细节处做好强调.制作基础知识的思维导图大体可以从两个角度进行：第一，整理基础知识的概念、性质、定理等;第二，如何与其他知识进行交汇考察，与不同的知识结合考察的侧重点等.

2.1.2 以数学思想方法为线索制作思维导图

数学思想方法是解决数学问题的“法宝”，是从基础知识、方法中抽象出对知识本质的认识.构建恰当的思维导图可以帮助学生把高中不同教材、章节中使用的数学思想方法的碎片有效的整合起来，帮助学生拥有数学能力，形成数学意识，感知数学思想方法.比如有关数形结合思想的思维导图，如图4.

2.2 以解题程序为线索制作思维导图

2.2.1 以多题一解为线索制作思维导图

在面对由主干知识所形成的数学问题中，拥有多题一解的意识是至关重要的.尤其是高三一轮复习中，教师会大量的使用“微专题”的形式解决一些“特定”问题，此时学生可以从使用了哪些数学概念，变换是否等价，如何准确寻找破题点，能否总结出解决此类问题的一般步骤等方面制作思维导图.

2.2.2 以一题多解为线索制作思维导图

一题多解中构建思维导图可以帮助学生较快对多种方法有更全面的认识.比如，通过对不同方法的整理归纳， 总结通性通法、不同方法间的关联性与限制性，进而找到适合自己的方法.

参考文献：

[1]邵明，杨玉敏.思维导图在初中数学复习课教学中的应用.鞍山师范学院学报，2020（4）：24-29.

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