青山缭绕疑无路 忽见千帆隐映来

孙五林

摘要：宋代文学家王安石曾留下千古绝句“青山缭绕疑无路，忽见千帆隐映来 ”. 闲暇时，驾一叶轻舟，畅游在平静而又开阔的江面，去填满充满诗意的心怀，但可曾想到，竹韵深掩的江水里，经常有暗礁埋伏，青山环绕的狭窄处，也许就无路可走.细想一下，这与学生对于导数综合题目的解答何其相似啊，本文从一道导数题目出发，谈了谈学生跌宕起伏的心理历程，供大家参考.

关键词：导数综合;一题多解;素养渗透

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）03-0011-03

细思诗句，寓意深刻.人生“疑无路”时，最容易失去信心，惆怅失意，甚至悲观绝望.可是“千帆隐映来”又告诉我们，困难总是暂时的，危机的时候不能慌乱，总会有脱离困境的办法，希望就在不远的前方.高中导数作为压轴题，可谓十分“变态”，因为导数问题思维强度大，题型繁多，方法性强而灵活，解题突破口不易找寻，所以大多学生对导数压轴题是有恐惧心理的，大多望而生畏，甚至放弃.那么怎样找到突破口呢？笔者认为破解疑难在于转化之道，把问题转化成熟悉的常规问题，让学生看清问题的本质，前方可能无路可走，转化一下也许就柳暗花明.

课堂是教学的第一阵地，我国教育界权威专家、华东师范大学终身教授叶澜女士说到：“一堂好课是有效率的课，丰实的课，平实的课，真实的课，常态的课”.说到底，一堂“好课”就是一堂有效率的课，能照顾到每一类学生的课，如涓涓溪水娓娓道来，让学生学起来轻松，在课上有所收获，并且能在课堂中落实双基，渗透核心素养.下面的这节课，就是笔者本人在高三上的平常课，真实课，课堂围绕着一道导数题目展开，现把这节课的教学过程呈现给大家，望批评指正.

1 开门见山，直接引入

不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常以压轴题形式出现，交汇函数、方程、不等式和数列等知识，考察逻辑推理、数据运算、直观想象等核心素养.那么，不等式恒成立问题的一般处理思路是什么呢？

这种引入直接将学生带入主题，学生迅速进入方法上的思考和回顾，学生回答得最多的方法就是转化，将恒成立问题转化成最值问题，这表明转化的思想大多学生已经具备.

2 典例呈现，越品越香

原题：已知函数f（x）=ex-aln（ax-a）+a（a>0），若关于x的不等式f（x）>0恒成立，则a的取值范围是（）.

A.（0，e2）B.（0，e2〗

C.（1，e2）D.〖

背景：该题是2019年武汉二月调研测试第12题，是最后一道选择题，具有典型性、代表性等特征，方法多样.

师：本题能否参变量分离呢？

生：似乎很难办到，陷入思考？

师：直接来求函数的最值，这是个隐零点问题吗？能否很快算出？

学生在计算过程中遇到了种种困难，这并不是说这个问题不能解决，而是稍显麻烦，那么我们应该将不等式变形，从另外不同的视角来处理这个问题.

视角一：求同存异，去伪为真

师：选项有何特征？

生：观察每个选项的特征，找到他们的相同和不同，1和e2在每个答案中成为了两个特殊值，有的答案包含元素1，有的答案包括元素e2.

师：分别如何验证？

生：思考片刻，当a=e2时，易得f（2）=0;当a=1时，由ex≥x+1，lnx≤x-1得f（x）>x+1-（x-2）-1=2>0，这样通过排除的方式选出来正确的答案.

视角二：去指数、去对数，切线不等式来开路

师：对了，教材习题中其实有切线不等式的原型，这说明我们要立足教材.切线不等式在处理这个特殊情况时，有效地进行了放缩，那么对于一般的情况，我们是否可以进行放缩，进一步求出a的范围呢？

生：不等式ex-aln（ax-a）+a>0（a>0）恒成立，由于a>0，即为ex-lna-ln（x-1）+1-lna>0恒成立，而ex-lna-ln（x-1）+1-lna≥x-lna+1-（x-2）+1-lna=4-2lna，故只要4-2lna>0即可.

课到这里，同学们豁然开朗，对于含lnx与ex型的超越函数，只要做到灵活变形，脑中有形，合理代换，便可峰回路转.

视角三：指数对数两边跑，凹凸反转公切找

师：提到切线，我们还能够想到恒成立的什么处理办法？

生：切线隔离法

师：对了，要找到左右两边lnx与ex型函数的公切线，具体怎么操作呢？

生：原不等式恒成立可化为：exa>ln（x-1）+lna-1恒成立，构造h（x）=exa，g（x）=ln（x-1）+lna-1，由于這两个曲线的凹凸性相反，于是可以求它们相切时参数的值，通过数形结合，求出参数的取值范围.不难求出与两曲线相切时点的横坐标x0=2，进一步可算出a=e2，分析参数变化与对应图象的位置变化关系即可选出答案.

师：这就是说数形结合百般好啊！

视角四：指数对数两边跑，反函数构造巧妙解

师：原不等式恒成立可化为：exa+1>ln（ax-a），实际上y=exa+1和y=ln（ax-a）是什么关系？

生：互为反函数.

师：反函数内容虽然在高考中涉及较少，要求低，但是我们都知道互为反函数的两个函数图象是关于直线y=x对称的，那么问题又可怎样转化呢？

生：只需要转化为exa+1>x在（1，+

SymboleB@

）上恒成立即可.

感叹：我们苦苦追寻的参变量分离在这里得以实现.

视角五：无中生有去同构，关键形式变量凑

师：在恒成立问题中，有很多是利用函数的单调性构造出来的.如果我们能够找到这个函数模型及不等式两边对应的同一函数，无疑会大大加快解决问题的速度，那么本题怎么配凑，进而用同构函数的单调性来解决呢？

生：原不等式可化为：ex-lna+x-lna>x-1+ln（x-1），即ex-lna+x-lna>eln（x-l）+ln（x-1），构造函数g（x）=ex+lnx，则g（x-lna）>g（ln（x-1）），那么利用g（x）的单调性，去掉外套对应关系g，于是问题变成了常规的恒成立问题.

下课铃声响起……

3 几点思考与启发

3.1 多选题不如选好题

导数是高考的必考内容，考察知识点有导数的几何意義、单调区间、极值最值等.为了更全面复习导数知识，于是笔者决定选择恒成立问题作为出发点，引导学生运用多种方法解题，不仅能沟通知识的内在联系，熟悉题目的结构和解题规律，使知识融会贯通;而且能在多解的基础上探求最佳解法，不断提高解题技巧.更重要的是能使学生思路开阔，学会从不同角度分析，解决问题，发展求异思维，使思维灵活;并能发挥各自的独特见解，培养创造才能，以适应时代的需要.

导数具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景如繁花似锦，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑.因此，笔者选择这个题目，麻雀虽小，五脏俱全，入手容易，学生在不同视角下体验解题带来的快乐，不仅仅是知识的复习，更重要的是思维品质的升华和学生学习兴趣的提升.

3.2 一题多解的理性思考

在课堂复习中，一题多解肯定可以激发学生大胆发现、勇敢创造，通过对题目求解的强烈欲望，加深对所学知识的深刻理解，训练学生对数学知识和数学方法的娴熟使用.但是学生的掌握程度究竟如何，有待通过题目验证，听懂不等于会做，能根据老师的提示转化也不等于拿到一个类似题目自己真的能够完整写出来.本节课是一堂真实的平常课，优点是方法的灌输，思想的渗透很到位，课堂是高效率的，但是本节课留下几个问题值得商议，比如对于本题最优解的教学怎样去体现呢？哪种解法更适用学生呢？考试中又如何选择这些方法来解题呢？我想具体分析每种解法的特点，分析每种解法的本质是什么，根据学生自己的情况，选择权交给学生吧.

3.3 核心素养渗透怎样体现？

函数与导数压轴题是高考的沸腾考点，主要考查学生的“数学运算”、“逻辑推理”、“直观想象”等核心素养，难度很大.在上这方面的复习课时，更要注重对“数学运算”、“逻辑推理”、“直观想象”等核心素养的培养.学生在解决此类题型时，不是理解了解题思路就认为完成了任务，而是要落实，要敢于下笔，要下完笔，要善于反思，灵活解决问题.在我们数学教学过程中，应教会学生思考，善于思考，进行一道题目多种思路解法的训练和变式训练，让学生的思维迁移、发散、开拓和活跃.使学生形成有序的网络化的知识体系，从中领会“化归转化、数形结合、函数与方程”等基本数学思想.教学中鼓励学生大胆猜想、探究、培养学生的创新能力，进一步激发学生的合作探究意识.只有这样，课堂教学才会充满创新，在教学中演绎精彩.核心素养渗透并非一朝一夕，它是需要学生厚积薄发的，这需要持之以恒的毅力.

3.4 青山缭绕疑无路，忽见千帆隐映来

五种解法有的解法还没有继续板书完，有的也仅仅是提到了方法，可是下课铃已响，但整个教室非常安静.同学们都在认真地对五种解法进行讨论，兴趣非常的浓，课后还有很多同学对此题的解法进行再探讨，形成了一种浓厚的学习氛围.反思这节课的教学，其实也是一种励志教育，“青山缭绕疑无路，忽见千帆隐映来”，学生解题遇到困难该怎么办？生活中的琐事遇到困难又怎么办？数学和哲学是不是又拉上了关系.本节课恰好给了师生互动的空间，去调动学生的解题兴趣，学生智慧的火花频频闪烁，多种解法油然而生，所以在课堂教学中，应多创造这种师生互动的机会，激发学生数学兴趣的生成.

参考文献：

[1]李宁.不等式恒成立求参数取值范围题的解法探究数学通讯，2017（01）：19-22.

[2]刘仁琴.说题——一道技能大赛题有感数学学习与研究，2015（17）：76+78.

[3]叶培杰. 师生互动灵感生成———对一道例题的教学反思数学学习与研究，2015（06）：109.

[4]徐庆杰. 教师组本研修的路径和策略探究 中国教师，2021（5）：80-83.