浅谈“几何画板”在解析几何教学中的应用研究浅谈“几何画板”在解析几何教学中的应用研究

◎黄江艳

(深圳市罗湖外语学校高中部，广东 深圳 518000)

笔者探究了近几年全国新课标Ⅰ卷20道有关动点轨迹的问题，结合平面解析几何课程教学的特点和高中普通班学生的认知情况，利用几何画板的优势，结合具体情况不断完善教学案例，并且根据案例中提出的问题，通过情境教学的方式进行教学活动，以引导学生在实际操作中养成独立思考的意识，点燃学习热情.

本文结合具体案例研究怎样将平面几何画板应用到几何教学当中，帮助学生了解数学概念和性质，切实解决学生学习过程中出现的一些问题.

一、几何画板在揭示数学概念形成过程中的应用

新一轮课程改革提出的基本理念之一是推动学生实现自主学习.同时，自主学习也是培养学生学习能力的重要途径.在传统的高中数学教学活动中，教师常采用灌输知识的方式，导致课堂气氛枯燥乏味.学生受到不良学习环境的影响，难以产生学习兴趣.他们经常消极对待数学学习，导致数学学习质量较差.几何画板在高中数学教学中的应用不仅能将抽象的静态数学知识转化为生动的动态图像，还能创造出适宜的教学情境和良好的教学环境，使学生通过与环境的互动获得数学知识，提高数学学习质量.数学概念是通过抽象的方式展现现实生活中出现的一些数量关系和空间形式，或者是把原先的数学理论作为基础对相应的思维逻辑进行创新.概念的产生都有其必然性，教师在进行概念教学时要抓住概念产生的背景，找出适合学生理解的、有趣而生动的切入点，引导学生深入理解概念，让学生对数学有一个客观的认识.而利用几何画板可以更加直观、形象地展现过程性概念，有利于让学生掌握数学概念的本质和特点.几何画板作为一款专业软件是教学软件的代表.它形式多样，具有强大的绘图功能.它一出现，就在数学、物理、化学等学科教学的实施中发挥了重要作用.以高中数学教学为例，在教学实施过程中，几何画板的灵活应用不仅能促使数学教师改变传统的教学模式，还大大降低了数学知识的理解难度.

接下来，笔者结合教学经验详细介绍几何画板在高中数学教学中的应用价值，并在此基础上结合教学实践介绍运用几何画板组织教学活动的几种策略，以为一线教师提供教学参考，促进数学教学的发展.

案例1抛物线概念的理解

伸缩性比较差的绳索可以作为绘制椭圆的工具，伸缩性比较差的拉链可以作为绘制双曲线的工具，但是没有办法利用传统道具直观地展现抛物线的轨迹.很多教师在进行教学的过程中会选择直接告诉学生抛物线的概念和抛物线满足的条件，学生理解起来难度非常大.在这时选择几何画板动画技术则可以直接让学生了解抛物线轨迹的产生过程.如图1所示，直线AB与BD垂直，A点是线段BF的垂直平分线AM和直线AB的交点.学生在观察A的运动轨迹过程中可以更加具体、直观地了解抛物线的抽象概念和属性，从而深入理解抛物线知识.

图1

二、几何画板在揭示数学性质发现过程中的应用

因为数学教材的局限性，有时教材会直接展现数学知识的相关性质，这让学生无法对数学产生感性认知，让普通学生理解数学性质的难度加大.运用几何画板的跟踪和生成动画功能则可以有效降低这方面困难.尤其是几何画板可以通过拖动对象的方式研究图形的变化过程，从而使学生理解图形背后的性质.例如，案例2,3,4都可以通过观察图形变化和离心率(或p值)变化的关系，加深学生对椭圆、双曲线和抛物线性质的理解.

案例2改变c值，让离心率出现变化，研究椭圆的变化情况

图2

案例3改变a值，离心率变化，观察双曲线开口大小

图3

案例4改变p值，观察抛物线开口大小

如图4所示，用鼠标拖动点F，改变p=|FF′|的大小，观察抛物线开口的大小，可使学生理解抛物线的性质.学生很容易发现，抛物线的焦点F到准线lCF′的距离p=|FF′|如果逐渐越大，表明抛物线的开口也将越来越大；距离越小，开口越小.学生在研究抛物线开口和p值之间的具体关系时，可以思考抛物线开口的性质，从而更加深入地了解方程和图形之间的联系，一定程度上也会对相关数学知识更加感兴趣.

图4

三、几何画板在问题解决过程中的应用

数学发展史表明，当前解析几何的很多理论和方法都是经过前人的实践总结出来的.虽然学生当前面临的数学问题比较浅显，但是对普通学生而言依然存在着不小的难度.故在遇到一些数学问题时，教师利用几何画板既可让学生加深对问题的印象，又可帮助学生在解答问题时降低难度，提升学生分析问题的能力.

案例5～7都是有关平面上点的运动轨迹问题.研究点的轨迹一直是平面解析几何的重点方向.这一内容也一直是学生学习过程中的重难点.在传统的教学过程中，教师在讲授知识点时会比较潦草地画出重点图形的轨迹图像，学生仅凭想象无法精准了解点的运动轨迹，普通班的学生甚至难以想象图形是如何形成的，更不用谈理解轨迹的特殊位置等问题.而几何画板可以更加直观地展示图形的运动情况，有利于学生掌握轨迹的本质特点，从而提高解决问题的能力.

案例52016年新课标Ⅰ，理T20(1)

设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.

据调查，普通班学生对本高考题在图形想象、相似三角形的寻找、相等线段的发现和圆半径长度相等的利用上有困难.如图5，教师可以利用几何画板，让点C在圆上运动(生成动画)，点E追踪轨迹，观察点E的轨迹，形成感性认识，同时，让运动的速度慢一些，指导学生观察线之间的关系.当点C运动到图示位置(或其他易观察图形关系的位置)，可停止动画，让学生观察平行线，找出相等线段，从而获得答案.另外，在特殊位置y=0处，教师也要特别停顿动画，让学生好好感受，并记住要除去这一情况.

图5

案例6已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(Ⅰ)求C的方程.

本高考题的难点在于涉及三个圆，作图更加困难，动圆的变化更是难上加难，x≠-2也是学生容易遗漏的.教师通过几何画板的演示(如图6)，既可使学生更好地理解和想象图形，也容易使学生找到线段之间的关系，发现特殊位置H是要除去的，因为动圆P运动到位置H会停顿，也容易观察到在位置H时动圆的半径为0，不符合圆的定义，所以要除去，即x≠-2.

图6

案例7圆的外接三角形顶点的运动轨迹

△ABC的顶点为A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是( ).

在本案例的教学中，学生通过观察动点C的运动轨迹容易选出正确答案.教师在本案例的制作中可将相等线段用相同颜色表示(比如图7，|AD|=|AE|，|CD|=|CF|，|BF|=|BE|)，学生很容易找到了相等线段，并结合三角形内切圆的特征，从图中观察和理解了为何动点C的轨迹为双曲线的右支.几何画板能将解决问题的关键点直观地表达出来，让学生一目了然，印象深刻，同时达到使学生全面认识数学问题的目的.

图7

四、几何画板在高中数学教学中的应用策略

(一)改进教学模式，展示数学现象，帮助学生理解数学规律

改进教学模式是几何画板在高中数学教学中的应用价值之一.在实施高中数学课堂教学时，教师可以根据课堂教学的特点进行教学改进，利用几何画板展示某一数学知识点所反映的数学现象，降低数学知识的探究难度，通过对数学现象的观察和分析，使学生逐步深入，掌握数学知识的规律，加深对数学知识的理解.以“集合”为例，本课程的教学活动旨在让学生掌握集合的含义，学习集合的表达方式.在现实生活中，我们可以找到集合的痕迹，因此，在实施课堂教学时，笔者用几何画板直观地展示学生熟悉的生活现象，如家庭、学校、班级、男孩和女孩，并引导学生分析这些概念之间的关系.根据学生的陈述，笔者用几何画板将这些概念以图像的形式表现出来.在展示完这些图像后，笔者启发学生观察和思考这幅图像中概念的特点是什么，它们之间的关系又是什么.在问题的驱动下，学生对集合的概念进行思考和探索，初步构建了对集合概念的认知，为进一步掌握集合概念和集合表示方法奠定了坚实的基础.

(二)创设教学情境，协助学生探索，提高教学质量

传统高中数学课堂教学质量不理想的原因在于学生不能突破重点和难点知识.此外，受抽象思维能力差的影响，学生很难理解重点和难点知识，并进行相关探索.基于几何画板在高中数学教学中的应用价值，教师可以围绕教学内容创设教学情境，让学生体验特定场景，发挥主观能动性，探索知识，掌握重难点知识，提高学习质量.以“直线与平面垂直的判定”一课为例，教师要引导学生总结直线与平面垂直的定义及判定定理.为了突破这一难点，笔者借助几何画板进行演示，在几何画板中，平面内的两条直线可以任意转动，那么平面内的任意直线都可以通过平移成为这两条直线中的一条，故学生可以从演示中看出，只要与两条相交直线都垂直就能保证直线垂直于平面，这刚好与判定定理相吻合.这样的操作使学生带着问题进行探索，独立总结直线与平面垂直的定义，突破了学习难点，提高了课堂教学质量.

总而言之，利用几何画板开展平面解析几何教学是对传统教学方式的一种创新.几何画板的作图和动画功能能够极大地帮助学生加深对知识的理解，但是教师在使用的过程中需要结合具体的教学情况提前进行设计，从而达到提高学生思维品质、收到良好教学效果的目标.教师不能脱离实际情况使用几何画板，因为不切实际的使用并不能发挥几何画板的作用.