“数学三个世界”视域下的椭圆及其标准方程的教学设计与实践

徐 方

一、问题提出

英国数学家戴维·韬尔将数学分为三个发展阶段：实用数学阶段、理论数学阶段、形式数学阶段。把人的认知看成一个积累过程，从具体到一般的逐步抽象，随着抽象程度的加深，逐渐地由语言抽象出符号，通过运用符号实现从操纵数学过程到数学思考的有效转换，建立了数学学习中三个层次的认知方式理论：感知与操作的具体化世界；符号的过程概念化世界；公理和证明形式化世界。

感知与操作是低阶思维活动，具体表现为简单的接受与模仿，符号的过程概念化、公理和证明形式化则是发生在较高认知层次上的心智活动。如何在课堂教学活动中发展学生的认知能力，首先要根据三个层次认知方式特征对教学目标进行分类设计，其次要把信息技术作为认知工具去创设问题情境，让学生去感知并操作确认，最后再通过设计问题让学生进行自主探究、反思交流，引领学生进行高层次的认知活动，进而发展学生的高价思维能力。下面以苏教版选择性必修（一）“椭圆及其标准方程”（第一课时）为例，基于“数学三个世界”理论进行概念课教学设计的实践与思考。

二、教学设计

（一）教材分析

学生之前已经学习了直线与圆的方程，能够根据方程清晰熟练地描述直线与圆的几何特征，经历了用代数方法建立直线和圆的标准方程的过程，初步掌握推导圆的标准方程的一般步骤，已经了解平面解析几何主要研究两个问题：一是根据已知条件求曲线的方程；二是根据曲线方程研究曲线的性质。

与直线、圆一样，本节课仍然按照“建系—设点—列等式—代坐标—化简方程”的步骤推导椭圆的标准方程，为了便于研究椭圆的几何性质，同样需要建立适当的坐标系来使方程的形式更简单。方程形式能否简单要有一定的预判能力，充分利用好曲线的对称性，尽可能让曲线的中心、顶点的坐标简单；化简含有两个根式的椭圆方程时，因为学生以前没有遇到过类似问题，缺乏对复杂根式的化简经验，教学时应详细给出化简过程，并从数学的对称美、简洁美、和谐美的角度对每一步的变形给予合理的解释，通过引导学生反思，自主探究出椭圆其它两种形式的定义，培养学生养成自觉根据曲线方程研究曲线性质的习惯，也为后面学习双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此，本节课有承前启后的作用。

（二）教学目标

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对于平面解析几何的教学要求及本节课的目标阐述：在平面解析几何的教学中，首先，通过实例了解几何图形的背景；其次，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题；再次结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题。了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想[1]。

通过认真研读教材领会编写者的意图，准确把握教材的整体性，弄清楚这一课时在本单元的地位和作用，依据学生数学学习三个层次认知方式的特点，合理地对教学目标进行分类设计，制订本节课的教学目标：

①观察3D动画演示，思考截面曲线上点的运动规律，能在教师的引导下进行推理，感知截面曲线的几何特征（直观感知、符号过程概念化）；

②动手画出椭圆，认同椭圆的几何特征，体验椭圆的几何性质（操作具体化）；

③自主化简方程，体会含有两个根式的方程的化简思路（证明形式化）；

④设置课后反思，让学生能够通过合作探究得出椭圆的其它形式定义（符号过程概念化）。

（三）教学过程设计

“数学三个世界”是按照学生认知能力由低阶到高阶的发展顺序建立起来的理论，教学活动设计既要关注学生已有的认知结构，又要根据学生的认知发展特点，顺利实现三个认知过程间的自然过渡。

感知与操作的具体化教学设计要先借助信息技术演示创设情境，让学生通过对具体模型的直观感知与操作确认，亲身经历知识的发生、发展和形成过程，建立对概念或公式的最初印象；其次要符合学生的认知规律，从直观到抽象、具体到一般的顺序安排教学内容，在学生的最近发展区设计问题，引导学生自主探究，让学生在问题解决中逐步提升认知能力，感知引入符号或方程的必要性。

符号的过程概念化教学设计要注重引导学生通过符号操作进行自主探究，能够通过对抽象的符号过程进行直观表达，完成由过程到过程性概念的转换。如何使学生熟练掌握过程性概念中的过程和概念，并能灵活地运用是这一阶段教学的关键。

公理和证明形式化的教学设计要重点发展学生的高阶思维能力，即发生在较高认知层次上的心智活动，落实教学目标分类中培养学生的分析、综合、评价和创造能力。设计问题要有深度，让学生“跳起来”“够得着”；设计问题要有关联，引领学生发现并提出数学问题，用数学语言予以表达。教学中要处理好预设与生成之间的矛盾。

本节课的教学过程是以椭圆定义的构建和椭圆标准方程的推导为核心，根据教学目标，结合学生的认知能力发展规律，从创设情境、自主探究、方程推导、引导反思、知识运用等五个环节设计问题，在问题解决的过程中落实数学核心素养，发展学生的思维能力。

环节一：创设情境——感知操作具体化世界

课堂教学中教师要在学生已有认知的基础上，善于创设现实、生动的问题情境让学生去体验并理解数学知识，通过问题引领学生自主发现数学规律和问题解决的途径，让他们经历概念的发生、发展和形成的过程，弄清楚知识的来龙去脉。

问题1：如图1所示，把直立的圆柱形玻璃水杯倾斜，让学生观察水面的边界的变化。

问题2：如图2所示，3D动画演示，用一个平面截一个圆锥面， 让学生观察截得的图形是什么曲线？

图1

图2

【设计意图】学生通过实物观察，观看3D动画演示，会对曲线的外形轮廓建立直观感知，根据已有的数学活动经验，学生自然会发现并提出问题：外形轮廓曲线具有怎样的几何特征?能否通过操作3D动画发现它的几何特征？激起学生强烈的求知欲望，期待着教师的点拨。

环节二：自主探究——符号过程概念化世界

接着用3D画图，在截面的两侧分别放置两个球（Dandelin双球），使它们都与截面相切（切点分别为F1、F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2，设点M是平面与圆锥面的截线上任意一点，再过点M任作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，则MQ和MF2、MP和MF1分别是上下两球的切线[2]。

问题3：图中线段MP和MF1、MQ和MF2分别具有怎样的数量关系？MF1+MF2是定值吗？让学生直接抽象出椭圆的定义。

【设计意图】在学生的期待中，教师通过3D动态展现双球，创设合适的教学情境、提供丰富的数学活动，为数学基本思想的感悟和基本活动经验的积累创造条件[3]，帮助学生利用几何直观进行思维，让学生经历观察、探究过程后，发现“截线上任意一点M到两切点F1、F2的距离之和为定值”这一几何特征。

问题4：选一根长度大于F1F2的细绳，将其两端分别固定在F1和F2点，用铅笔尖把细绳勾紧，使笔尖在纸板上慢慢移动，观察笔尖运动的轨迹是什么，学生拿出提前准备好的工具，同桌相互合作在白纸上画。

【设计意图】通过自己动手画椭圆，亲身经历了动点运动的过程，积累感性经验，让学生获得了感知、认同；通过动手操作，让学生感受到椭圆的对称性、曲线的封闭性等性质，为建系、方程推导做认知上的准备。

图3

环节三：方程推导——概念定义形式化世界

椭圆标准方程的推导过程远比圆的标准方程推导要复杂得多，需要较高认知层次上的心智活动才能完成。通过在学生的最近发展区提出问题，引导学生自主探究，恰当地引入符号变量或方程，引领学生合理地向概念符号过程化过渡。

问题5：让学生回顾前面操作画图的过程和回忆圆标准方程的推导过程，并作出大胆猜想：椭圆具有对称性吗?对称轴在哪?对称中心在哪?要使推导出来的椭圆方程形式比较简单，应如何建系?（以直线F1F2为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系）。

图4

设焦距为2c（c>0），则F1（-c，0），F2（c，0），M（x，y）为椭圆上任意一点，点M与点F1、F2的距离之和为2a（2a>|F1F2|）。

将上式两边平方整理同方法一。

【设计意图】课堂上学生会提出多种推导方法，恰当地处理好预设与生成的关系，要预留充足的时间让学生完整表达自己的想法，充分展示学生的思维过程，让学生经历对比选择最佳方法，发展学生的系统思维能力。

图5

请学生思考2：（1）你能在图中找出表示的对应线段吗？

（2）如果焦点在y轴上，椭圆的标准方程是什么形式？

【设计意图】让学生弄清楚方程中字母的几何意义，加深对标准方程的理解；运用类比的方法，根据形状相同，位置不同，通过化归直接得出焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免再重复运算。

环节四：引导反思——符号过程概念化世界

反思一：方法一和方法二经历了两次平方，方法三经历了一次平方，能否保证平方前后方程的等价性？

【设计意图】反思是提升学生认知层次的一个重要手段，方程推导后引导学生进行反思，促使学生深入分析方程不同结构形式背后的几何解释，让学生发现数学问题的本质。这样还可以诱发学生新的思考，展开新的探究，让学生的思维得到拓展、延伸，从而发展学生的高阶思维能力。

环节五：知识运用——概念定义形式化世界

例题：（1）求到点F（1-2，0）、F（22，0）的距离之和为6的点M的轨迹方程。

（2）求到点F（10，-2）、F（20，2）的距离之和为6的点M的轨迹方程。

（3）求两个焦点的坐标分别为F（1-2，0）、F（22，0），并且经过点的椭圆的标准方程。

【设计意图】通过解决简单问题，让学生熟悉求椭圆标准方程的一般步骤和方法。

三、实践反思

数学概念课的教学设计要将教学内容与具体情境结合起来，借助精心设计的问题，引发学生认知冲突，注重学生在学习过程中的动机生成、情感激发、问题解决、知识建构、方法迁移和思维提升[3]。本节课从问题模型水杯倾斜中水面的变化开始，借助动画演示，让学生实践操作画出椭圆，最后引入方程的推导、化简及方程的应用，符合学生三个层次认知能力的发展顺序。

概念是数学的基础，概念的产生往往包含了数学抽象的过程，而在理解和应用概念的过程中又必然用到逻辑推理与数学运算。因此，在概念课教学中教师应重视过程、背景与联系[5]，以情境引入、感知操作、自主探究、反思交流的方式让学生感受数学概念的生成过程，学生在每个认知阶段的认知方式都不同，因此每个阶段的教学设计还应基于学生已有的认知与学情。