低渗透储层油水相对渗透率最优目标函数处理方法

崔 建，沈贵红，商 琳，2，3，孙彦春，龚丽荣，安 熠

(1.中国石油冀东油田分公司，河北 唐山 063000；2.中国石油冀东油田分公司博士后科研工作站，河北 唐山 063000；3.中国石油勘探开发研究院博士后流动站，北京 100083)

0 引 言

相对渗透率曲线是油田开发工程中十分重要的基础数据[1]。目前，关于非稳态法测定油水相对渗透率的计算方法主要分为2种：一种是显式方法，包括JBN方法[2]或Jones图解法[3]；另一种是隐式方法，利用数值模拟技术模拟室内水驱油实验过程，进而反演出更符合水驱油实际情况的相渗曲线[4]。目前，对于低渗透岩心油水相对渗透率的计算，已有不少学者在JBN方法的基础上进行了改进。宋付权等[5]在渗流速度方程中引入了油相和水相拟启动压力梯度，在注入能力比中考虑了拟启动压力，推导了油相、水相相对渗透率公式，扩展了JBN算法。邓英尔等[6]分别针对水湿和油湿岩心，建立了同时考虑拟启动压力梯度、毛管力及重力的渗流公式，进而推导出同时考虑3种因素下的油相、水相相对渗透率计算公式及饱和度的计算公式。

然而，利用上述方法处理低渗透岩心非稳态恒压驱替实验数据，求得的相渗曲线还有几点不足：①低渗透岩心的孔隙体积比较小，饱和油量有限，驱替相突破以后，被驱替相几乎不再产出[7]。因此，利用显式方法计算出的相渗曲线可能只有少数几个分布密集的点，并不能较好地描述油水渗流关系。②中高渗岩心恒速非稳态驱替只需要记录每一时刻的压力值，而低渗透岩心恒压非稳态驱替时的注入速度需要借助函数拟合或者采用求差商的方法获得。但是对于同一组确定的实验数据，利用不同的方法求得的注入速度不一定完全相同，有的误差甚至很大[8]。③低渗透岩心在较高压差驱替时，启动压力梯度相对可以忽略不计，但毛管压力和驱替压力不可忽略，JBN方法和Jones方法将毛管力效应处理为岩心出口端含水饱和度下的毛管力[9]，并不能全部反映岩心中毛管力对相渗曲线的影响。因此，通过建立最优目标函数，并结合油藏数值模拟，计算得到的相对渗透率曲线能在一定程度上体现岩心实际油水渗流规律，对低渗透油藏油水渗流规律研究具有一定意义。

1 油水渗流模型

对于一维岩心油水两相渗流，作如下基本假设：①流体不互溶且非混相流动；②不考虑岩心和流体的压缩性；③不考虑重力的影响；④毛管力是含水饱和度的函数。

油水质量守恒方程分别为：

(1)

(2)

式中：ρo、ρw分别为油相、水相密度，g/cm3；Vo、Vw分别为油相、水相渗流速度，cm/s；So、Sw分别为含油饱和度、含水饱和度；φ为孔隙度；x为步长；t为时间，s。

考虑毛管力，油水相运动方程为：

(3)

(4)

式中：K为岩心绝对渗透率，mD；Kro、Krw为油、水相对渗透率；po为油相压力，MPa；pw为水相压力，MPa；μo为油相黏度，mPa·s；μw为水相黏度，mPa·s。

室内的相对渗透率实验通常采用洗油之后呈水湿的岩心，其毛管力pc为：

pc=po-pw

(5)

由式(3)和式(4)可以得到：

(6)

由式(6)可以得到：

(7)

(8)

(9)

λ=λo+λw

(10)

(11)

式中：pc为毛管力，MPa；Vt为总渗流速度，cm/s；λ为流度，D/(mPa·s)；λw为水相流度，D/(mPa·s)；λo为油相流度，D/(mPa·s)；fw为含水率，%。

将式(7)代入式(2)得：

(12)

式(12)采用空间上中心差分、时间显式差分的方法进行求解得到差分方程[9]：

(13)

(14)

式中：n为本步时间；N为时间步数；Δx为网格步长；i为第i个网格。

初始条件：

|Sw(x，t)|t=0=Swc

(15)

边界条件：

|pw(x，t)|x=0=p1

(16)

|pw(x，t)|x=L=p2

(17)

式中：Swc为束缚水饱和度，%；p1为岩心左端注水压力，MPa；p2为岩心右端产液压力，MPa；L为岩心长度，cm。

岩心水驱累计产油量Qocal：

(18)

式中：Qocal为岩心水驱累计产油量，mL；A为岩心横截面积，cm2。

2 流量测定与计算

在计算相对渗透率曲线时，实时流量的精确计量十分重要，但恒压驱替实验中难以直接得到实时流量。如果计量方法不当，一个较小的误差可导致求得的油水相对渗透率出现异常值。假设油水的流动是不可压缩的非混相流动，可以根据实时的累计产液量以及累计时间来计算注入流体的流量。选择多项式函数作为累计产液量与累计时间的拟合函数：

QL=a+bT+cT2+dT3

(19)

式中：T为时间，s；QL为累计产液量，m3；a、b、c、d为常数。

多项式函数只要阶数足够高，就能获得高的拟合精度。但高阶多项式函数的曲线拐点多，导致拟合精度高的情况下处理出来的结果也并不一定理想。因此可选择三阶多项式函数。

对式(19)求一阶导数，得到渗流速度Vt的表达式为：

Vt=b+2cT+3dT2

(20)

3 相对渗透率模型

相对渗透率模型采用Willhite模型[10]。该模型的最大特点是设定了束缚水端油相相对渗透率和残余油端水相相对渗透率，而两者是可以通过实验测定的。

油相相对渗透率：

Kro=Kroswc(1-Swn)no

(21)

水相相对渗透率：

(22)

(23)

式中：Kroswc为束缚水饱和度下的油相相对渗透率；Krwsor为残余油饱和度下的水相相对渗透率；no为油相相渗曲线待定指数；nw为水相相渗曲线待定指数；Swn为归一化的含水饱和度。

4 目标函数构建及优化算法

已知[no，nw]是相渗模型中的待定参数，其大小影响着岩心内部网格的压力和含水饱和度分布，进而影响计算的产油量。因此，以每一时刻的产油量模拟值Qocal和实验值Qo的差值的平方和构建目标函数：

(24)

式中：F为目标函数；Qocal(u)为第u个时刻的产油量计算值；Qo(u)为第u个时刻的产油量实验值；m为实验值记录总数。

通过梯度下降法[11]求出一组适当的[no，nw]，使得目标函数F达到最小值。梯度下降法的计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值(也可以沿梯度上升方向求解极大值)。一般情况下，梯度向量为0说明到达极值点，此时梯度的降幅也为0。而采用梯度下降算法进行最优化求解时，算法迭代的终止条件是梯度向量接近0即可，即设置一个非常小的常数阈值。具体步骤为：首先选定初始解no、nw，并给定相应的精度要求；其次计算目标函数F的梯度值，如果梯度值小于精度的要求，则停止，否则在初始解处沿梯度下降方向线性搜索下一个解，重新计算目标函数F的梯度值进行精度判断。

5 实例计算

为了计算低渗透油藏油水相对渗透率，探究启动压力梯度和毛管力对于相渗曲线的具体影响，通过冀东油田南堡4号构造东营组二段储层岩心实验获取了计算相对渗透率的基础参数。岩心的基本物性参数如表1所示(D为岩心直径，cm；Kg为空气渗透率，mD)。油藏条件下，实验用油黏度为4.330 mPa·s，水相黏度为0.831 mPa·s。使用非稳态方法(驱替压差为25 MPa)测试岩心相对渗透率，实验数据见表2。实验结束后，对岩心洗油烘干，

表1 岩心物性参数

表2 非稳态实验数据

再利用高压压汞实验测定岩心毛管力曲线，并转换成油藏条件下油水的毛管力曲线，如图1所示。

图1 油水毛管力曲线

5.1 JBN方法和Jones方法

对于上述实验参数分别采用JBN方法和Jones图解法进行数据处理。

非稳态相渗实验测定中，当水相到达岩心末端时，由于孔道的连续性突然消失，油水两相的弯液面发生反转，阻碍了水相流出，导致出口端含水饱和度偏高，称为“末端效应”。传统JBN方法忽略了毛管力，许多学者在低渗透岩心的相对渗透率实验中，证实了这对相渗曲线的形态产生不可忽视的影响。针对JBN和Jones方法，在考虑毛管力作用时，对实验数据采用了末端效应校正公式[13]来消除末端效应对相对渗透率曲线形态的影响。

5.2 自动历史拟合方法

自动历史拟合方法的基本原理是通过数值模拟技术不断修正相渗曲线，使得最终模拟计算结果与实际实验结果之间的差距达到最小，从而确定合适的相渗曲线[12]。利用自动历史拟合方法对上述实验数据进行处理。在进行自动历史拟合计算时，Kroswc和Krwsor可由实验确定；另外，毛管力pc数据已知，可以直接将有关数据代入式(13)计算，从而达到考虑毛管力效应计算相对渗透率曲线的目的。

5.3 结果讨论

图2为不同相对渗透率计算方法的计算结果。图3为JBN、Jones方法毛管效应校正情况。图4为自动历史拟合计算结果。

图2 不同相对渗透率计算方法结果

图3 JBN、Jones方法毛管效应校正

图4 自动历史拟合计算结果

(1) JBN、Jones方法和自动历史拟合方法的计算结果相近。JBN方法计算出的油相相对渗透率最大，Jones方法最小；这2种方法计算出的油相相对渗透率曲线曲折不平滑，而自动历史拟合方法计算得出的曲线更加平滑，计算结果介于两者之间。

(2) 在含水饱和度较高时，JBN方法计算的水相相对渗透率比自动历史拟合方法和Jones方法的计算结果略高，自动历史拟合方法计算出的水相相渗曲线在前期的变化趋势和JBN方法接近。说明JBN方法相较于Jones方法在计算水相相对渗透率方面更具优势。

(3) 考虑毛管力时，JBN、Jones方法和自动历史拟合方法得到的变化规律一致，即油相相对渗透率增加，但水相相对渗透率不变。这个规律与实际情况相符，许多相对渗透率实验表明：湿相的吸吮相对渗透率曲线和驱替相对渗透率曲线几乎完全一致[13-15]。自动历史拟合方法计算出考虑毛管力作用的曲线在整个可动流体饱和度范围内变化规律更加明显、均匀。相反，JBN和Jones方法在考虑毛管力作用时，曲线变化很不规则。这是因为JBN和Jones方法只能考虑岩心出口端含水饱和度下的毛管力对相渗曲线的影响。图5为利用自动历史拟合方法得到的无因次累计产油量拟合结果。由图5可知，利用该方法的计算值与实验值非常吻合，说明了该方法具有很好的适用性。

图5 累计产油量拟合

6 结 论

(1) 低渗透岩心相渗实验数据的处理结果表明，JBN和Jones方法所得到的相渗曲线曲折不平滑，考虑毛管力作用时，曲线的变化也不均匀，原因是这2种方法只能考虑岩心出口端含水饱和度下的毛管力对相渗曲线的影响。

(2) 建立了基于最优目标函数的低渗透油藏油水相对渗透率自动历史拟合方法。自动历史拟合方法相比于JBN和Jones方法，能够反映整个非稳态水驱油过程中不同时刻岩心中不同位置的毛管力变化，计算结果具有曲线光滑、规律明显的优势，能够得到更为准确的低渗透油藏相对渗透率曲线，为后续的数值模拟研究及油藏方案设计提供重要参数。

(3) 3种相渗数据处理方法在考虑毛管压力时，都呈现出油相相对渗透率升高、水相相对渗透率基本不变的特点。这是由于在亲水油藏水驱油过程中，毛管力作为水驱油的动力，促进油相的流动，提高了油相渗透率，而对水相相对渗透率基本无影响。