谈谈求数列通项公式的“妙招”

左亚秋

研究数列，归根到底是研究数列的通项公式，因此教会学生如何求数列的通项公式，是教学的重要任务之一.笔者在教学中发现，由于数列的通项公式的求法具有一定的系统性与灵活性，许多学生还是不能完全掌握，如2022年数学高考新课标 I 卷中的第17题：为 的等差数列.（1）求数列an 的通项公式；（2）证明：+ +…+ <2.据不完全统计，近四成的考生因求不出数列的通项公式而痛失分数.那么，求数列的通项公式有哪些“妙招”？现总结如下.

一、利用观察法

有些选择题或填空题的题干中只给出数列的前几项，要求从前几项的特征中归纳出数列的通项公式.这类问题属于简单题，主要考查考生的观察和归纳推理能力.对于此类问题，需运用观察法求解.首先仔细观察与分析数列的前几项的特征，明确数列的每一项与项数之间的关系；然后归纳出关于项数的表达式，即可求得数列的通项公式.

例1.数列-1，3， -5，7， -9，…，的一个通项公式为（  ） .

A. an =2n -1          B. an =（-1）（1n -2n）

C. an =（-1）（2nn -1）      D. an =（-1）n +1（2n -1）

解：由数列an 的各项分别为-1， 3， -5， 7， -9， … ， 可知各项的绝对值构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，

所以|an |=2n -1.

又数列的奇数项为负值，偶数项为正值，所以数列的通项公式为 an =（-1）（2nn -1）.故本题选 C 项.

采用观察法求数列的通项公式，要注意关注两点：（1）各项的符号；（2）各项与项数 n 之间的关系.

例2.已知数列an 的前4项分别为 ，， ， ，则它的一个通项公式为（  ） .

通过观察，可发现数列的分子1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，数列的分母2，4，6，8，…是首项为1，公比为2的等比数列，列出关于 n 的表达式，即可解题.

二、运用公式法

公式法是指运用等差数列的通项公式an = a1+（n -1）d （n ∈ N ）* ，等比数列的通项公式 an = a1qn -1（n ∈ N ）解题*.若一个数列是等差数列或等比数列时，只需确定该数列中的某一项的值、首项、公差或公比，就可以直接根据等差、等比数列的通项公式写出该数列的通项公式.

例3.已知等差数列an 的各项均为正数，其前 n 项和Sn 满足 = ，则其通项公式 an =_____.

解答本题，需先由已知关系式求得数列的公差和首项，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项公式。

例4.已知等比数列an 的前 n 项和 Sn =5n + c ，若 bn = a n（2）+ c ，则数列bn 的通项公式为______.

当已知数列是等差数列或等比数列时，通过解方程求得数列的首项和公差或公比，这不失为一种有效的方法.

三、利用数列前 n 项和 Sn 与通项公式 an 之间的关系

数列的前 n 项和Sn 与通项公式an 之间的关系为含有Sn 与an （即Sn =f（an）），此时就需利用数列前 n 项和 Sn 与通项公式 an 之间的关系求解，将 Sn 、Sn -1作差即可.

例5.若数列{an }的前 n 项和为 Sn = ，则其通项公式为_____.

利用数列前 n 项和Sn 与通项公式an 之间的关系求数列的通项公式虽然简单，但需注意所求的通项公式是否满足 n=1时的情形，若满足，则可用一个式子表示，若不满足就需分段表示.

四、累加

当题目给出的递推关系式可以转化为an +1- an =f（n）的形式时，则需利用累加法（逐差相加法）求解.分别令 n=1，2，3，…，n-1，再将这 n-1个式子相加，通过累加，消除中间互为相反数的项，从而求得an 的表达式，求得数列的通项公式.

例6.已知在数列{an }中，a1=1， an +1= an + ，则 a5=_____.

利用累加法求数列的通项公式时，必须注意两点：（1）检验首项是否满足所求得的通项公式；（2）在累加求和时，一般采用裂项相消法.

五、采用累乘法

当题设给出的递推关系式可转化为 =f（n）的形式时，可利用累乘法（逐商相乘法）求数列的通项公式.分别令 n=1，2，3，…，n-1，再将这 n-1个式子相乘，通过累乘，将中间互为倒数的项抵消，从而求得 an 的表达式，求得到数列的通项公式.

例7.已知数列{an }的首项为1，前 n 项和为 Sn ，且 nSn +1=（n +2）Sn ，则数列{an }的通项公式 an =_____.

利用累乘法求数列的通项公式时，一定要关注在累乘后，余下的项是否对称.一般来说，留下的分子通常是最小的，分母是最大的，或留下的分子是最大的，分母是最小的.

六、构造辅助数列

运用构造法求数列的通项公式，需通过凑系数、取倒数、分离整式等方式，把数列的递推关系式转化为形如等比数列或等差数列通项公式的式子；再根据等比数列或等差数列的通项公式，求新构造数列的通项公式，即可求得原数列的通項公式.

该数列的递推关系式较为复杂，需在其左右同时 除以 2n + 1 ，构造出数列 { } an 2n 的前后两项之差的式子； 再根据等差数列的定义，判定新数列为等差数列，便 可根据等差数列的通项公式进行求解.

例9.已知首项为1的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， 且 Sn + 1 = Sn + 12an + 5 ，求数列{an} 的通项公式.

利用构造法求数列的通项公式，关键是将已知的递 推关系式进行合理的变形，有时需用到待定系数法，如， 形如 an + 1 = pan + q （其中p，q均为常数，且 pq（p - 1） ≠ 0 ） 的递推关系式，需在等式的两边加上一个常数，构造 出等比数列.对于同时含有 an、an - 1 、an + 1 的递推关系 式，都可以采用构造法求数列的通项公式.

掌握以上六种求数列通项公式的常用方法，便能 应对一些常见的求数列的通项公式问题.但在解题时， 学生要善于变通，有时可灵活运用两种以上的方法， 求得问题的答案.

（作者单位：吉林省磐石市第一中学）