等差数列前n 项和的性质

赵伟波

（山西省芮城县第一职业学校）

等差数列这节内容是对口升学考试的一个重点。若能巧用性质解决问题，便可提高解题的速度和准确度。下面，我着重介绍等差数列前n 项和的几个性质：

一、根据数列的前n 项和公式，求通项公式

例：已知数列{an}前n 项和Sn=3n2+n，求an。

解：当n=1 时，a1=S1=3+1=4

当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=3n2+n-［3（n-1）2+（n-1）］=6n-2

∵n=1 时，a1=6×1-2=4 也适合此式

∴an=6n-2

点评：已知Sn，求an的过程：当n=1 时，a1=S1，当n≥2 时，an=Sn-Sn-1

二、已知等差数列前n 项和Sn，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k为等差数列

例：已知等差数列前n 项和Sn，且S10=70，S20=60，求S30

解：∵S10，S20-S10，S30-S20成等差数列

∴2（S20-S10）=S10+（S30-S20）

2×（60-70）=70+S30-60

∴S30=-30

三、若｛an｝｛bn｝为等差数列，其前n 项和分别为Sn，Tn，则

例1.已知等差数列｛an｝｛bn｝ 的前n 项和为Sn，Tn，且

②由等差数列性质解题：若m、n、p、q∈N*，m+n=p+q，则am+an=ap+aq

四、当项数为偶数项2n 项时：S偶-S奇=nd，

当项数为奇数项2n+1 时：S奇-S偶=an+1=a中，

例2.已知某等差数列共有2n+1 项，S奇=132，S偶=120，则n=_______

例3.已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求d。

解：∵项数为2n=10 即n=5，S偶-S奇=nd

∴30-15=5d，d=3

例4.在等差数列{an}中，d=，S100=45，则a1+a3+……a99=？

解：由题知，此数列共有2n=100 项，n=50

五、等差数列前n 项和的最值问题

例5.在数列｛53-3n｝中，前n 项和Sn取得最大值的项数n 为第几项？

例6.已知数列｛an｝中，a1=-11，an+1=an+2，求

（1）数列｛an｝前n 项和Sn

（2）Sn的最小值

解：（1）∵an+1=an+2∴an+1-an=2 ∴｛an｝是公差为2 的等差数列

（2）∵Sn=n2-12n=（n-6）2=36

∴当n=6 时，Sn的最小值是-36.