谈谈三角函数周期的几种求法

黄艳

周期性是三角函数的重要性质.求三角函数的周期问题一般较为简单，常以选择题或者填空题的形式出现.但很多同学在解答这类问题时，却花费了大量的时间，究其原因主要在于没有掌握好解题的规律，不能选用合适的解题方法.下面主要谈一谈三角函数周期的几种求法，供大家参考.

一、定义法

定义法是指运用三角函数周期性的定义来解题.当 x 取定义域内的任意一个值时，f（x + T）=f（x）均成立，则 T 为该函数的最小周期.在运用定义法解题时，要通过三角恒等变换，将 f（x + T）变形为最简形式，使其等于 f（x），即可确定函数的周期 T.

例1.求函数 y =2 sin（2x +）的周期.

运用定义法求三角函数的周期，需灵活运用三角函数的诱导公式，进行合理的变形与转化，可由 f（x + T）向 f（x）靠拢，也可由 f（x）向 f（x + T）靠拢.

二、公式法

我们知道，y = A sin（ωx +φ）+ h、y = A cos（ωx +φ）+ h的周期公式为 T = ，而 y = A tan（ωx +φ）+ h 的周期公式为 T = .若能够将较为复杂的函数式变形为y = A sin（ωx +φ）+ h、y = A cos（ωx +φ）+ h、y = A tan（ωx +φ）+h的形式，就可以利用公式法来求三角函数的周期.

例2.求函数 y = sin6 x + cos6 x 的最小正周期.

该三角函数为6次式，需先利用 sin2 x + cos2 x =1以及二倍角公式对其进行化简，使原式化为只含有余弦函数的式子；然后利用余弦函数的周期公式 T = 2π求出最小正周期.运用公式法求三角函数的周期，需熟记正弦、余弦、正切函数的周期公式.

三、最小公倍数法

若函数式是几个三角函数的和或差，则可先求出其中每个三角函数的最小正周期，然后求其最小公倍数，所得的结果即为原函数的最小正周期.运用此方法解题，关键就在于找到所有函数周期的最小公倍数.

例3.求函数 f（x）= sin x+ cos x 的最小正周期.

题中的函数式为正弦函数式与余弦函数式的和，并且正弦函数与余弦函数都是周期函数，于是运用最小公倍数法求两个三角函数的周期，并取其最小公倍数，即可解题.

上述三种方法都较为简单，但是每种方法的适用情形并不相同.无论运用哪种方法解题，都要熟记并灵活运用 y = sin x、y = cos x、y = tanx 的周期性.同學们在解题时，要注意归纳并总结解题的方法与技巧，当再遇到同类题目时就能够从容应对了.

（作者单位：江苏省如东县马塘中学）