破解双变量函数最值问题的两个“妙招”

陈铤

含有双变量的函数最值问题常与解三角形、不等 式、方程、三角函数、解析几何、平面向量等知识相结 合，具有较强的综合性.这类问题侧重于考查同学们的 逻辑思维和运算能力，其解法比较灵活.下面，重点探 讨一下破解双变量函数最值问题的两个“妙招”.

一、化双变量为单变量

对于单变量最值问题，我们比较熟悉，解答这类 问题常用的方法有函数性质法、导数法、判别式法和 换元法等.对于较为复杂的双变量问题，我们可以视其 中的一个变量为主元，将另一个变量视为参数；也可 以根据双变量之间的关系，通过设参换元，将双变量 函数最值问题转化为单变量函数最值问题来求解.

当函数中含有两个变量a、b时，可以将其中的一 个变量a视为主元，将另一个变量b视为参数，并用含 有b的代数式表示a；再将其代入函数式，便可将函数 式转化为关于单变量a的函数式，利用函数的单调性 即可求得最值.

例2.已知实数a，b满足 a2 - b 2 = 1，求 3a2 + 4ab + 2b 2 的最小值.

解法一是通过引入参数 m，并进行换元，将双变 量函数式转化为关于 m 的单变量函数式，再利用对勾 函数的单调性进行求解.解法二是通过“1”的代换，将 函数式化简为含有 b a 的式子，然后设 t = b a ，通过设参 换元，将双变量函数最值问题转化单变量函数最值问 题，借助导数法求得函数的最值.化双变量为单变量， 便可将双变量函数最值问题转化简单的、熟悉的单变 量函数最值问题来求解，这样有利于降低解题的难 度，提升解题的效率.

二、利用基本不等式

函数与不等式联系紧密.求解双变量函数最值问题，有时可从不等式的角度进行分析，利用基本不等 式来求最值.利用基本不等式求双变量函数的最值时， 要注意把握“一正二定三相等”的条件.在求最值时，要 善于发现题中的等式与待求函数式之间的联系，将函 数式配凑成两式的和或积的形式，并使其中之一为定 值，这样便可顺利运用基本不等式求得函数的最值. 以例1为例.

我们将目标式看作 2a2 、1 + b 2 两项的积，而这两 项之和为定值，这便为运用基本不等式创造了条件， 只需确保两式均为正数，且取等号时函数式有最大 值，即可根据基本不等式求得函数的最值.

可见，在求解含有双变量的函数最值问题时，既 可以从函数的角度来看待问题，运用函数的性质、导 数法来求解；也可以从不等式的角度来分析问题，利 用基本不等式来求最值.此外，还可以通過三角换元， 利用三角函数的性质求解；通过数形结合，结合代数 式的几何意义和几何图形的性质来求解.在解题时，同 学们要学会从多角度思考，从多维度分析，寻找多种 解题的方法和一类题目的通法，以找到最佳的解题方 案.（作者单位：江苏省启东中学）