如何解答三角函数中的取值范围问题

赖周萍 曹艺雯

三角函数是一类特殊的函数，因而求解三角函数中的取值范围问题，不仅要运用三角函数的图象和性质，有时还需利用函数的图象和性质、基本不等式等.求解三角函数中的取值范围问题，关键要寻找一些限制自变量和目标式的条件，这就要求我们不仅要关注题目中所给的条件，还要深挖已知条件之间的联系以及隐含在题目中的一些限制条件.本文主要讨论一下三角函数中取值范围问题的三种解法.

一、利用三角函数的有界性

有界性是三角函数的重要性质，是指在某一区间内三角函数值在某一个范围内.例如，当 x ∈0， π时， y=sinx ∈0， 1.在求三角函数的取值范围时，需先利用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式等，将三角函数式化简为只含一种函数名称的简单函数式；然后利用正弦、余弦、正切函数的有界性来求目标式的取值范围.

例1.求函数 f（x）=3 cos2 x + sinx cosx 的取值范围.

仔细分析题意，可发现本题中隐含的信息：函数的定义域为 R ，则 sin x ∈[-1， 1]，那么根据二倍角公式和辅助角公式，将函数式化为正弦函数式，便可根据正弦函数的有界性求得函数式的取值范围.

例2.求函数 f（x）= 的取值范围.

解法1是将函数式中的变量和常数分离，根据余弦函数的有界性求得 的取值范围，从而求得原函数的取值范围.解法2主要是通过求函数的反函数，利用余弦函数的有界性，将问题转化为解不等式，从而使问题获解.

例3.在△ ABC 中，A，B， C 的对边分别为 a， b， c ， cos C +（cosA -3sin A）cos B =0.

（1）求角 B 的大小；

（2）当 a + c =1时，求 b 的取值范围.解：（1） B = （过程略）；

解答本题，需先根据正弦定理建立三边、三角之间的关系，得到关于 b 的关系式；再通过三角恒等变换，将问题转化为求正弦函数 sin（A+）的取值范围.运用三角函数的有界性求三角函数的取值范围，关键是将问题转化为求正弦、余弦、正切函数的取值范围，根据函数的定义域和正弦、余弦、正切函数的有界性来解答.

二、巧借基本不等式

基本不等式 a + b ≥2a >0，b >0及其变形式 ab ≤（a + b）2、a2+ b2≥2ab 、a3+ b3+c3≥3abc ，是解答取值范围问题的重要工具.在运用基本不等式求三角函数的取值范围时，要先将函数式配凑为两项或三项的和、积的形式，并确定这两项或三项均为正数，便可运用基本不等式求目标式的取值范围.在求得目标式的取值范围后，还需检验等号是否成立.

以例3为例.

解：由余弦定理可得 b2=a2+c2-2ac cosB =（a +c）2-3ac ，

先根据余弦定理建立三角形三边之间的关系，得到关于 b 的关系式，而该式中含有 a、c 的积与和，于是利用基本不等式得到 ac ≤（a +c）2 ，将“积”化为“和”，进而求得 b 的最值.在运用基本不等式求解有关三角形 的三角函数取值范圍问题时，要注意挖掘有关三角形 的隐含条件，如三角形的两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边；三角形的内角和为180°.

三、数形结合

每一种三角函数都有其对应的图象.在求解三角 函数取值范围问题时，我们可采用数形结合法，根据 三角函数式画出函数的图象，借助函数的图象来探究 函数式的取值范围.还可以根据三角函数的定义构造 单位圆，将问题转化为圆的最值问题，利用圆的性质 来解题.

例 4.已知 sin α + sin β = a ，求 cos α + cos β 的取值 范围.

本题若采用常规思路求解，则运算过程较为繁 琐，于是转换思路，根据题意构造圆，化“数”为“形”， 设 点 A（cos α，sin α） 、点 B（cos β，sin β） ，那 么 所 求 的 cos α + cos β 便可被看作是 A、B 两点中点的横坐标的 两倍，据此建立关系式，求得 P 点的轨迹，即可求得 cos α + cos β 的取值范围.

解答三角函数中的取值范围问题需注意以下几 点：（1）通过三角恒等变换，将目标式化为最简形式； （2）根据题意寻找或挖掘对自变量的限制条件；（3）灵 活运用三角函数的图象和性质；（4）灵活运用转化思 想，将问题转化为函数最值问题、平面几何最值问题 来求解.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）