求解三类几何概型问题的措施

周立清

若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积、体积成比例，则称该模型为几何概率模型，其概率公式为几何概型是高中数学概率中的重要知识点.若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积、体积成比例，则称该模型为几何概率模型，此种概率模型具有无限性与等可能性的两大特点，其概率公式为：

常见的几何概型主要包括：与长度、面积、体积有关的 几何概型.解答几何概型概率问题，往往要构造出几何 图形，根据几何图形的特征、性质，求出图形中线段的 长，图形的面积、体积，来求得各事件的概率.本文主要 探讨一下求解三种几何概型概率问题的措施.

一、与长度有关的几何概型

若概率问题中涉及了线段长、边长、距离、时间等，就可以将试验的结果所构成的区域看作一段线段的长度，将问题转化线段的长度问题，分别求出事件所构成的区域长度与实验的全部结果所构成的区域长度，再运用几何概型概率的公式求解.

例1.在区间[0， 10]上任意取一个实数a ，求 a 不大于3的概率.

本题主要考查与长度有关的几何概型的应用，可将该事件理解成为从长度为10的线段上随机取一点，取到每一点都是等可能的，此时随机事件为“取[0， 10]中的任意一点”，就可以运用几何概型概率公式来解题.

二、与面积有关的几何概型

与面积有关的几何概型往往与圆、等腰梯形、扇形、直角三角形、长方形等平面图形的面积有关.解答此类概率问题，要分辨事件所构成的区域是否与面积有关，再根据平面几何图形，如三角形、矩形、圆等的面积公式和几何概型概率公式，就能求得概率的大小.

例2.将长度为 a 的线段段分成三段，求这三段可以构成一个三角形的概率.

我们根据题意构造两个变量 x、y，把变量看成点的坐标，通过构建直角坐标系，将点构成的集合用平面图形表示出来，将问题转化为图形的面积问题来求解，即可顺利解题.

三、与体积有关的几何概型

对于与体积相关的几何概型，需根据几何概型概率公式，将概率问题转化为体积问题，根据常见简单几何体的体积公式求得各个几何体体积的比值.这就要求我们熟记棱锥、棱柱、圆锥、圆锥、长方体、正方体、球等空间几何体的体积公式和几何概型概率公式.

例3.A水杯的容量为2L ，水中含有1个细菌，B水杯的容量为0.1L .若将 A水杯的水倒入 B水杯中，求 B 杯水中含有这个细菌的概率.

解：记“B水杯中有这个细菌”为事件 M，事情 M 的概率只與水的体积有关，

由于 B 水杯中的水为0.1L，A 水杯里有2L 水，

由几何概型概率公式得 P（M）= =0.05.

本题是与体积相关的几何概型问题，虽然题目中没有给出具体的图形，但是联系实际生活，可以得知水杯是空间几何体，故可根据几何概型概率公式解题.

求解几何概型问题需注意以下几点：（1）根据题意和集合观点，将问题看成长度、面积、体积问题；（2）判断实验的结果是否具有无限性与等可能性；（3）灵活运用相关的公式，求得长度、面积、体积.此类题目的难度不大，但同学们需要仔细审题，辨别题目的类型与概率模型，选用正确的概率公式进行求解.

（作者单位：江苏省射阳中学）