巧放缩，妙证数列不等式

管文娟

证明数列不等式问题常以压轴题的形式出现在各类试卷中，此类问题的难度往往较大，且具有较强的综合性.解答此类问题的常用方法是放缩法，解题的关键在于对不等式进行合理的放缩.下面结合实例，重点探讨一下如何对不等式进行巧妙的放缩，从而证明数列不等式.

一、通过构造等差数列放缩不等式

等差数列是我们熟悉的常规数列之一.对于等差数列问题，我们通常可以运用等差数列的通项公式、前 n 项和公式以及性质来求解.因此，对于较为复杂的数列不等式问题，为了便于化简不等式，证明结论，有时可考虑将数列中的各项进行适当的放缩，以构造出等差数列，这样便可将问题转化为等差数列问题，从而使原不等式得以证明.

例 1.求证：n（n + 1） 2 < 1?2 + 2?3 +…+ n（n + 1） < （n + 1） 2 2 .

所要求证的数列不等式中的部分项， ，…， 可构成一个数列，其通项公式为 ，而所要求证的不等式左右两边的式子分别是两个等差数列的和，于是想到将 n（n + 1） 进行适当的放缩，即 n < n（n + 1） < n + 1，从而把原问题转化为求等差数 列 {n}、{n + 1} 的和问题，运用等差数列的前 n 项和公 式进行求解，即可证明原数列不等式.

二、通过构造等比数列来放缩不等式

等比数列也是我们熟悉的常规数列之一.在证明 数列不等式时，可考虑将这个数列的递推关系式或通 项公式进行适当的放缩，把数列构造成等比数列，这 样便可根据等比數列的通项公式、前n项和公式及其 性质来化简所要求证的数列不等式，从而证明结论.

例 2. 数列 {an} 满足 an + 1 = an 2 - nan + 1 （n∈ N+ ），且 an ≥ n + 2. 求证： 1 1 + a1 + 1 1 + a2 +…+ 1 1 + an < 1 2 .

首先将 an + 1 = an 2 - nan + 1 进行放缩，即可构造出 等比数列{ } 1 2n ；再根据等比数列的前 n 项和公式进行 求解，就能顺利证明所要求证的不等式.

例3.求证： 1 21 - 1 + 1 22 - 1 + 1 23 - 1 +…+ 1 2n - 1 < 5 3 .

所要求证的不等式中含有 2n ，于是将通项公式 an 放缩成等比数列，再利用等比数列的前 n 项和公式 进行求和，最后将所得的结果再次放缩，便可证明原 数列不等式成立.有时要经过多次放缩，才能证明数列 不等式.

例4.已知 an = 2 3 [2n - 2 +（- 1） n - 1 ] ，证明：对任意的整 数 m > 4，有 1 a4 + 1 a5 +…+ 1 am < 7 8 .

数列的通项公式中出现了 （-1） n ，于是将数列的相 邻两项看作一个整体，进行适当的变形、放缩，构造出 等比数列 { } 1 2m - 2 ，即可使原问题得解.有时放缩数列 中的一些项也无法求得数列的和，此时需考虑将相邻 两项看成一个整体，将其进行适当的放缩，使其构成等比数列，将问题转化为求等比数列的和问题.

三、通过裂项放缩不等式

有些数列的通项公式可以裂为两项之差的形式， 此时便可通过裂项放缩，将不等式转化为前后两项互 为相反数的数列不等式，通过简单的运算即可求得数 列的和，从而证明数列不等式成立.常见的裂项放缩方 式有：（1）1 n2 < 1 （n - 1）n = 1 n - 1 - 1 n （n ≥ 2）；（2）1 n2 > 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 ；（3） 1 n2 = 4 4n2 < 4 4n2 - 1 = 2? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ； （4） 1 n 2（- n + n + 1）；（6） 1 2n - 1 < 1 2n - 1 - 1 - 1 2n - 1 （n ≥ 2） .

例5.求证：1 + 2 22 + 3 32 +…+ n n2 < 3 .

我们先将数列的通项公式进行裂项放缩，即 n n2 < 2（ 1 n - 1 - 1 n ） ，即可得到1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 +… + 1 n - 1 - 1 n .在求和时，- 1 2 与 1 2 、- 1 3 与 1 3 …… - 1 n - 1 与 1 n - 1 相互抵消，便可快速求得数列的和， 证明数列不等式成立.

从上述分析可以看出，利用放缩法证明数列不等 式，是一个“技术活”，解题者必须仔细分析题目中数 列的特点，选择恰当的代数式，对其进行适当的放缩， 才能顺利破解难题.对于如何进行放缩，同学们需结合 典型题目进行深入的探讨，反复琢磨，积累解题经验， 才能做到运用自如.

（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）