基于多子种群和密度估计的高维多目标进化算法的冷轧负荷分配

赵志伟, 刘 月, 熊志坚, 杨秀伟

(1.唐山学院 计算机科学与技术系, 河北 唐山 063000; 2.华北理工大学 电气工程学院, 河北 唐山 063000)

1 引 言

多目标优化问题在现实应用中很常见,如电气工程,轧制等,涉及同时优化多个目标[1]。由于目标间存在冲突,多目标优化问题通常不是单一的最优解决方案,而是一组替代解决方案,称为帕累托集。进化算法被认为非常适合于解决多目标问题,因为它们基于种群的特性可以在一次运行中获得近似的帕累托集。文献[2]提出了一种共同进化的粒子群优化算法,该算法采用瓶颈目标学习策略求解高维多目标优化问题,通过多个种群以分布式的方式共同进化来保持种群多样性。文献[3]提出了改进的双存档高维多目标进化算法,2个存档分别采用基于指标和基本支配的选择机制,并设计了基于Lp范式的多样性保持机制。文献[4]提出了基于分解的高维多目标NSGA-Ⅱ算法,该算法引入了基于分解的支配关系及基于惩罚的边界交叉多样性因子。文献[5]提出了基于支配和分解的高维多目标进化算法(MOEADD), 该算法较好的平衡了收敛性和多样性。文献[6]提出了一个基于分解的高维多目标进化算法,通过系统采样产生均匀分布的参考点,并采用2个独立的距离测量来平衡收敛性和多样性。

在高维多目标优化中,平衡算法的收敛性和多样性已成为一个挑战性的研究课题,为了解决这2个问题,本文提出一种基于多子种群和密度估计的高维多目标优化算法(MOEAMD)。首先,基于角度寻找一对向量角最小的个体。因为它们的搜索方向是最相似的,故删除其中的一个。如果它们同时存在,会浪费大量的计算资源。为了使删除更加合理,需要同时考虑收敛性和多样性。其次,基于偏移的密度估计能够同时覆盖个体的分布信息和收敛信息,用来比较2个个体,并删除较差的一个。通过采用上述技术,本算法很好地解决了高维多目标优化中平衡收敛性和多样性的难题。为了验证本算法的性能,采用WFG标准测试函数进行了数值仿真实验,实验结果表明本算法的性能明显优于对比算法。最后,本文将所提算法应用到冷轧负荷分配的高维多目标优化中,并取得了良好的效果。

2 MOEAMD算法

本文提出的MOEAMD算法采用了多子种群和密度估计的方法,有效地平衡了高维多目标进化算法的收敛性和多样性。

2.1 基于角度的子种群划分

2.1.1 角度向量

向量角表示2个个体x1和x2之间的空间关系:

(1)

式中:‖*‖表示向量的范数;F(x1)和F(x1)分别为个体x1及x2在向量空间归一化后的目标函数值。

向量角反映了2个个体之间搜索方向的相似程度。具体来说,如果2个个体在不同的方向搜索,则它们之间的向量角较大;否则,向量角较小。如图1所示,个体a和b的向量角θ1小于个体b和c的向量角θ2,所以说明个体a和b有相同的搜索方向。

图1 两目标空间向量角

2.1.2 子种群划分

采用文献[7]的方法来生成参考向量V,并通过参考向量V将归一化的目标空间中的整个种群划分为N个子种群Sj,j∈{1,2,…,N},进而指导进化过程,保持种群的多样性。通过式(2)计算目标向量F(xi)与参考向量Vj的向量角θi,j来进行关联。

(2)

式中i=1,2,…,|Sj|,|Sj|表示Sj的基数。

个体xi的目标向量F(x)与参考向量Vj的向量角最小时,个体xi就与参考向量Vj相关联并一起构建子种群Sj,即:

Sj={xi|arg max cosθi,j}

(3)

如图2所示,F(xi)为目标向量,V1和V2为参考向量,θ1为F(xi)和V1的向量角,θ2为F(xi)和V2的向量角。因θ2<θ1,所以个体xi与参考向量V2相关联,并构建子种群。

图2 个体与参考向量的关联

2.2 收敛性保持机制

当与每个参考向量相关联的子种群个体数量大于1时,通过式(4)在归一化目标空间中,从每个子种群里找到最接近理想点的个体。

C(xi)=‖fn(xi)‖

(4)

式中fn(xi)为F(x)的第n个目标函数。C(xi)反映了个体的收敛性,值越小说明个体的收敛性越好。这个指标只计算同一个参考向量下子种群中个体的收敛性。

如图3所示,V1和V2为参考向量,与V1相关联的3个个体为a、b和c,与V2相关联的3个个体为d、e和f。在归一化空间里,个体b到理想点的距离明显小于a和c,所以在与参考向量V1相关联个体中,b的收敛性最好,这个个体被保留下来,a和c被删除。同理个体d被保留,e和f被删除。

图3 收敛性测量示例

2.3 多样性保持机制

在种群中,个体的密度表示个体所在区域的拥挤程度。密度计算在高维多目标优化过程中起着重要作用,能保证种群个体的收敛性和多样性。通过考虑个体与种群中其他个体之间的相互位置关系来估计个体的密度。本文通过欧几里德距离来测量个体xi在种群F中的密度:

d(xi,xj)=‖F(xj)-F(xi)‖

(5)

式中:xi和xj为种群F中的个体,且xi≠xj。

在算法的选择过程中,个体的密度将对区分个体优劣起到主导作用。因此,分布在稀疏区域的个体就会成为首选。当同一参考向量下个体的收敛性相同时启用密度估计,保证优秀个体得以保留。如图4所示,与参考向量V1相关联的个体为a、b和c,其中a和b的收敛性相同,这时通过式(5)对a和b的密度进行计算,个体a的密度小于b的密度,个体a得以保留,提高了种群的多样性。

图4 密度估计示例

2.4 MOEAMD算法流程

下面给出MOEAMD算法步骤。

Step1:参数初始化,种群大小为U,函数评价次数计数器G=0,最大函数评价次数Gmax,交叉概率pc,变异概率pm;

Step2:初始化种群P;

Step3:生产参考向量V;

Step4:对种群PG进行交叉和变异操作,并产生子代QG;

Step5:合并父代PG和子代QG,生成OG;

Step6:归一化OG生成K,并根据2.1.2节对K划分子种群;

Step7:按照第2.2节和2.3节对K进行裁剪，生成Q;

Step8:G=G+1,PG=Q;

Step9:若G>Gmax,则输出PG;否则转至Step4。

3 数值仿真实验

为了验证MOEAMD算法的性能,选择4个优秀的多目标进化算法进行仿真实验对比。

3.1 测试函数

选用经典的WFG标准测试函数对算法进行测试,共包含WFG1～WFG9等9个测试问题[8]。这些测试问题具有不同的特点,可以测试算法的不同性能。表1列举了测试函数的特征。

表1 WFG函数特征

3.2 性能指标

反世代距离评价指标(inverted generational distance,IGD)是使用最广泛的评价指标之一,它可以综合表征解集的收敛性和多样性[9]。IGD越小,解的质量越好,能很好地近似整个帕累托前沿。

(6)

式中:P*为真实的帕累托前沿;A为由多目标优化算法求得的帕累托前沿近似解集;d(z*,A)为P*中点z*与A中最接近的邻域点间的欧式距离;|P*|为P*的基数。

3.3 参数设置

选取了4个经典多目标进化算法(即NSGAII[10], IBEA[11],MOEAD[12],MOEADD[5])作为对比算法,并采用原文献参数设置。所有算法的种群大小均设置为100，交叉概率均为1，交叉分布指数均为20，变异概率均为1/n，变异分布指数均为20。MOEAMD算法的子种群数量N为100。

所有算法在每个测试问题上独立运行20次,达到100 000次函数评价时终止。对于每个WFG测试问题,目标函数数量M分别选取2、4、6、8和10。为了检验统计显著性差异,采用Wilcoxon符号秩检验,对实验结果进行置信度为5%的显著性水平检验[13]。

3.4 实验结果分析

5种算法在WFG测试问题上对IGD值的比较结果如表2所示。表2显示了所有45个WFG测试函数IGD的中值和标准差,其中最好值用灰色背景突出显示。从实验结果可以看出,本文所提算法(MOEAMD)的整体性能是最好的。MOEAMD算法主要在WFG2、WFG4、WFG5、WFG6和WFG7等问题上表现出良好的性能。MOEAMD算法在45个测试问题中获得了25个最好的IGD值。IBEA算法在WFG1、WFG3和WFG9测试问题上性能最好。在两目标的部分WFG测试问题中,NSGAII算法性能表现突出。MOEAD和MOEADD两个算法在以上测试中性能最差。

表2 5种算法的IGD值对比结果

从表2可以看出，这反映出基于权重向量的算法在WFG测试问题上表现不佳。这是由于WFG测试问题的帕累托前沿大多数是不规则的、中断的或混合的。因此,均匀分布的权重向量不能保证得到的解具有良好的分布性。虽然本算法同样使用参考向量来指导搜索过程,但使用角度和密度相结合的方法使得本算法取得了优异的性能。

为了验证所提MOEAMD算法的多样性并直观地描述解的分布,图5给出了5种算法在10目标WFG5测试问题上输出解集的平行坐标图，如图5所示,MOEAMD算法输出解集在收敛性和多样性方面都优于其它4种比较算法。MOEAD和MOEADD算法得到的解集分布性较差。NSGAII算法输出解集只能覆盖部分帕累托前沿。

图5 5种算法在10目标WFG5上获得的非支配前沿平行坐标图

4 高维多目标冷轧负荷分配优化

冷轧过程伴随着机械损耗、化学损耗、热损耗、轧辊磨损等,而采用好的负荷分配方案将会明显降低损耗,改善产品质量。随着进化算法的兴起,很多学者采用进化算法优化负荷分配方案[14～17]。同样,本文使用所提算法对冷轧负荷分配进行高维多目标优化。

4.1 目标函数

4.1.1 最小能耗目标函数

轧制能耗取决于轧制过程中板带材的形变,与压下量和材料硬度存在非线性正相关关系。因此,合理的压下量分配能减少能耗,节约资源,降低环境污染。因轧制功率与轧制能耗有直接关系,故最小能耗目标函数为:

(7)

式中:n为精轧线机架数;Ni为第i机架主电机消耗的功率。

4.1.2 轧制功率均衡目标函数

为平衡各机架的轧制功率,避免个别机架高负荷运转,故建立轧制功率均衡目标函数:

(8)

式中Pi为第i机架主电机的额定功率。

4.1.3 防止打滑目标函数

在轧制过程中,经常会出现打滑的现象,造成带材表面出现划痕,这是因为轧辊的线速度与轧制速度不匹配造成的。由文献[18]可知,打滑因子小于0.5,就可避免打滑现象。为此,本文通过平衡各机架打滑因子,构建了防止打滑目标函数:

(9)

式中ψi为第i机架的打滑因子。

4.1.4 板凸度良好目标函数

在轧制过程中,板凸度是一个重要的质量指标。为获得良好的板凸度,本文建立了板凸度良好目标函数:

(10)

式中:Hc,i为第i机架出口板凸度;hi为第i机架出口厚度。

4.1.5 板形良好目标函数

板形同样是重要的质量指标。为改善板形,常用的方法是调整末机架轧制力。本文建立了末机架板形良好目标函数:

(11)

式中:Fn为末机架轧制力;Fsh为末机架保持良好板形的轧制力。

4.2 约束条件

4.3 实验结果分析

以某冷连轧精轧机线为例,该精轧线有5个机架,各机架电机额定总功率均为18 000 kW,轧辊半径均为300 mm。带钢型号Q235,原始厚度5 mm,原始宽度1 250 mm,末机架出口厚度1 mm。本文使用MOEAD和MOEAMD算法对冷轧负荷分配进行5个目标函数的优化,2种算法的初始种群规模设置均为100,函数评价次数设置均为100 000次。优化前对5个目标函数进行归一化处理。表3中列出了该精轧线原始负荷分配方案,及MOEAD和MOEAMD算法优化后的负荷分配方案。

表3 原始负荷分配方案和优化后负荷分配方案的对比

3种负荷分配方案的轧制总功率如图6所示,显然MOEAMD算法优化后的轧制总功率最小。图7显示了3种方案的各机架轧制功率与额定功率的百分比,其中MOEAD和MOEAMD算法优化后的轧制功率百分比波动较小,但MOEAD算法优化后的末机架轧制功率百分比较第4机架增加,不利于末机架的板形控制。而MOEAMD算法优化后的第3、4、5机架的轧制功率百分比逐渐下降,有利于板形控制。从表3中不难看出，MOEAMD算法优化后的各机架打滑因子变化较小,有效地避免了板带材表面的划痕。

图6 轧制总功率对比

图7 各机架轧制功率百分比

5 结 论

本文提出了一种基于多子种群和密度估计的高维多目标进化算法(MOEAMD)。该算法通过计算个体与参考向量的角度划分子种群及个体密度估计来引导进化方向,从而改善种群的多样性。此外,MOEAMD算法借助收敛性保持机制改善算法的收敛性。本文采用WFG标准测试函数对MOEAMD算法及对比算法进行数值仿真实验,实验结果表明MOEAMD算法的收敛性和多样性均优于对比算法。最后,本文构建了最小能耗、轧制功率均衡、防止打滑、板凸度良好、板形良好等5个目标函数,使用MOEAMD算法对冷轧负荷分配进行高维多目标优化。优化后的负荷分配方案能有效降低轧制能耗、平衡各机架负载、减少打滑、改善板凸度和板形,提高产品质量。