不连续平面的平面度误差评定方法研究

娄建起， 李 巍， 付艳华， 蔺红运

(1.辽宁科技大学 土木工程学院,辽宁 鞍山 114051；2.东北大学 资源与土木工程学院,辽宁 沈阳 110819；3.北京帝测科技股份有限公司,北京 100012)

1 引 言

平面度误差是指被测实际表面相对其理想平面的变动量，理想平面的位置应符合最小条件[1]。目前,在最小条件下平面度误差的评定算法可分为两类: 求特征点法和人工智能算法。求特征点法主要有凸壳算法和凸多边形算法[2～6]等，其基本原理为利用特征点(高极点、低极点)确定最小区域的包容平面从而求出平面度误差；人工智能算法主要有蜂群算法、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法[7～14]等，这些算法主要将平面度误差转化成对目标函数的非线性最优化问题进行求解。但利用上述方法对不连续平面进行平面度误差评定时，存在抗差能力弱、无法反应误差来源及不能指导平面调整的问题。为此，在满足最小条件的基础上，本文通过平面在空间中的位置关系和点云提取算法建立的包容直线能够很好的反应平面度误差来源，并且能指导平面调整。

2 最小包容区法平面度误差评定原理

最小(包容)区域法(minimum zone method，MZM)[11]是符合国家标准规定的平面度误差评定方法，并且与国际标准相一致。图1为最小包容区域与判别准则。

图1 最小包容区域与判别准则

最小区域是由2个包容平面构成，两个包容平面包括实际被测表面所有要素且相互平行，包容平面间的最短距离fMZM即为平面度误差值，测点P={Pi|i=1,2,…,n}。判断是否为最小区域有3个判别准则：三角形准则、交叉准则、直线准则。

(1)三角形准则：3个高极点(低极点)确定1个包容平面。1个低极点(高极点)结合平行条件确定另1个包容平面。且低极点(高极点)在平面M1或M2的投影点应位于由3个高级点(低极点)所围成的三角形内部或者边上。

(2)交叉准则：2个高极点确定的对角线在包容平面M1上，2个低极低确定的对角线在包容平面M2上，高极点(低极点)组成的对角线在M2或M1上的投影必须与低极点(高极点)组成的对交线相交。

(3)直线准则：2个高极点(低极点)在1个包容平面上，1个低极点(高极点)在另1个包容平面上。低极点(高极点)在平面M1或M2的投影点必须在由2个高极点(低极点)所组成的线段上。

在平面度评定过程中，只要符合3个判别准则中的任意1个，则说明该包容区域为最小包容区域。

3 包容直线法平面度误差评定基本原理

连续平面经过数字化信息提取后，测点的分布也同样具有连续性且平面属性明显，有利于噪声和冗余数据的剔除，总体上连续平面的平面度误差值大小由平面的制作工艺决定，且与平面的空间位置无关。但在被测表面不连续的情况下(如图2所示)，数字化的过程中易出现较多的噪声和冗余数据。根据平面度误差定义可知，测点到理想平面的最大偏距和最小偏距是计算平面度误差的主要数据，噪声和冗余数据参与评定，平面度误差值的计算会出现严重错误。

图2 数字化过程示意图

由于平面的不连续性，不连续的平面间在空间中的位置关系不同。图3为平面在空间中的位置关系图，4个平面与参考平面相交，每个平面上的点到理想平面的距离与其到两平面的交线的距离成正比，不连续的被测表面尺寸越大产生的平面度误差越大，并且两个平面的夹角α大小也直接影响测点到参考平面的距离。因此被测表面的尺寸与平面在空间位置关系是影响平面度误差评定的主要因素。

图3 平面在空间中的位置关系

基于最小区域法平面度误差评定原理，结合影响不连续平面的平面度误差值大小主要因素，以空间中两条平行的包容直线代替包容平面确定每个平面的最小区域，包容平面通过高极点和低极点结合最小区域准则确定，包容直线通过包含高极点与低极点在内并且偏距大小相近的点集结合平行条件确定。

图4为包容直线示意图，包容直线到参考平面最大偏距与最小偏距之差即为平面度误差值。以此方式构造的包容直线不仅能够准确地表达平面在空间的位置状态，还具有一定抵抗噪声数据的能力。

图4 包容直线示意图

4 包容直线法计算流程

包容直线法平面度误差评定主要分为5步：首先，对原始点云采用主成分分析法剔除噪声；然后，对去噪后点云数据进行最小二乘平面拟合；再利用多阈值提取算法提取出拟合包容直线的点集；并利用平行直线拟合算法得出包容直线建立最小区域；最后输出不连续平面的平面度误差值。

算法流程如图5所示。

图5 算法流程

4.1 基于主成分分析的全局噪声剔除

由于平面点云数据特征较多，本文采用主成分分析算法(principal component analysis，PCA)[16，17]，通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构从而简化处理流程。具体算法如下：

(1)对每个平面的点集Q={Qi|i=1,2…n}分别进行主成分分析，拾取明显在平面上的特征点得出平面参数a,b,c的初始值；

(2)点云中各点xi,yi,zi到平面的距离表达式：

(1)

(3)计算距离di的标准偏差σ：

(2)

(4)对原始点云进行噪声点判别。以经典粗差剔除理论为基础，选择两倍标准偏差为阈值，即当di>2σ时，该点被认为是噪声点，予以剔除；反之，则保留该点。

(5)重复流程(2)～(4)，直到保留点到拟合平面的距离均在规定阈值内，完成初步噪声剔除。

4.2 最小二乘平面拟合

将去噪后的整体点云与各个不连续平面点云分别进行最二乘平面拟合[18～19]，拟合方法如下：

(1)根据最小二乘原理，使测点Pi(xi,yi,zi)到参考平面的最短距离的平方和最小，可建立函数公式：

minD=∑(zi-z)2=∑(zi-Ax-By-C)2

(3)

式中：A、B、C为参考平面法向量的坐标分量值。

(4)

式中：N为测点个数。

解该三元一次方程即可得拟合平面方程A0+B0y+C0z+D0=0，同理各个不连续平面点云也采用相同方式拟合。

联立求出交线方程，转化为点向式方程：

(5)

如图6所示，紫色表示参考平面M0，绿色表示局部点云拟合平面Mi。

图6 平面拟合

4.3 多阈值法提取算法

(1)计算每个平面上的点到交线的偏距D,点在平面上方D取正值反之D取负值，找到偏距最大的点PD-max与最小的点PD-min。

(2)如图所示7，设定ri为D的邻域半径阈值，ri用来确定目标点集的宽度，α是平面M0与平面Mi形成的二面角,hi表示点PD-max到平面M0的距离，mi表示由于拟合产生的误差在hi上的影响范围。令mi=hi/50作为影响范围限制值，可得到ri=mi/sin(α)；根据扫描仪的采样间隔H、目标点集宽度ri和被测目标最短边长li并通过公式n=liri/2H2确定目标点集数量阈值n。

图7 几何关系示意图

基于主成分析的的全局噪声剔除，仅剔除了垂直于平面方向的噪声，因平面度与物体的几何尺寸有直接关系，在寻找点集的过程中结合连续点云的密度特征设立阈值ri可以剔除被扫描物体以外稀疏的噪声数据，通过设定mi降低由于拟合直线产生的误差对平面度的影响，此过程能在寻找到目标点集的同时，达到除噪与限制误差的效果。寻找到的目标点集如图8所示。

图8 用于拟合包容直线的点集

4.4 拟合平行直线

以平面M0与Mi的交线的方向向量为限制条件将多阈值提取的点云进行平行拟合。

(1)设空间直线点向式方程为

(6)

(2)转化为射影式方程

(7)

(8)

(9)

(5)求出参数c，d即可得到各个平面的近似包容直线方程。如图9所示，拟合的空间包容直线能很好的描述平面在空间的姿态，从平面度误差来源的角度设计的近似包容直线能计算4个平面的平面度误差和指导平面调整。

图9 拟合的包容直线

4.5 输出平面度误差值

根据平行线的传递性，包容直线与平面M0平行,计算平面与包容直线的偏距di。直线在平面上方di取正值，反之取负值。di为指导平面调整的直接数据，不连续平面的平面度误差值为

f=(di)max-(di)min

(11)

5 实验分析

本实验研究对象为4块厚度为0.5 mm的薄钢板，将其置于高精度三维扫描测量仪操作台上使其高出平台面2 cm，并且对原始点云进行简化，设置重采样间隔为1 mm，采样后点云数据如图10所示。

图10 重采样后的激光点云数据

本文算法由利用C++和matlab联合编译，将处理过的点云数据导入CloudComapre进行可视化显示。

经主成分分析去噪后4个平面上点云的偏差如图11所示，显然偏距统计量正态分布，因此仅选择(-1，1)区间内的点进行平面拟合，拟合效果见图6。

图11 点云偏差直方图

经本文算法计算可得到4个平面到包容直线的偏距，偏距信息可作为平面调整的直接依据。利用凸壳算法、遗传算法和本文算法同时计算薄钢板的平面度误差值，以及基于根据本文算法提供的偏距信息将平面进行调整后的平面度误差值见表1。

表1 偏距与平面度误差值对照表

本实验安置的薄钢板距平台面2 cm，从凸壳算法得出的平面度误差值可以看出，该方法将平台面上的冗余点作为包容平面上的极点导致平面度误差值产生较大错误，本文提出的算法与遗传算法相比得出的平面度误差值降低0.011 mm。并且经调整后偏距的绝对值整体减小，不同算法计算的平面度误差值均降低，其中本文算法计算结果减少了1.959 mm，这说明本文算法可以指导平面调整和有效地评定不连续平面的平面度误差。

通过计算得到每条包容直线的点云直线拟合误差σ0利用误差传播定律，结合ri=mi/sin(α)，计算出因拟合直线对平面度计算的影响误差σi，如表2所示。

表2 拟合误差与影响误差对照表

从表2可以看出，影响误差平均值为0.005 3 mm，点云直线拟合误差对平面度计算影响小，原因是两个平面的二面角较小小且测量对象的实际尺寸远远大于平面度值。因此以拟合包容直线代替包容平面的方式能精确计算平面度值。

6 结 论

本文针对传统平面度误差评定方法存在的局限性，提出了包容直线法对不连续平面进行平面度误差评定，并给出具体算法流程。研究结果表明：由于平面的不连续性，传统用极点确定包容平面的方法对去燥的精度要求非常严苛，容易产生较大的粗差。而本文算法从平面度误差来源角度设计的包容直线能准确评定不连续平面的平面度误差，具有一定的抗差能力，评价结果与遗传算法相近，并且对平面的调整具有指导作用。为不连续平面的平面度误差评定提供了一种新的参考方法。