考虑非线性刚度的正交切削系统稳定性

2022-03-07石慧荣王海星李宗刚

上海交通大学学报 2022年2期

石慧荣，王海星，李宗刚

(兰州交通大学机电工程学院，兰州 730070)

金属切削加工中的颤振可能导致工件表面质量下降和加工精度不足，而对切削系统的准确分析可有效改进加工工艺，保证工件的加工质量.但是由于切削系统中刀具和工件的变形使得切削区域的塑性变形和工件表面波动变得更加复杂，考虑由此造成的非线性行为对切削系统自激振动的影响能更加有效地提升加工性能.

切削系统中切削力、切削阻尼、时滞及刀具磨损均会诱发系统的非线性行为，该问题已经被诸多学者广泛关注.Molnr 等[1-2]将3/4次切削力Taylor展开，利用非线性分析方法和数值计算法对切削系统进行了研究，表明切削系统中存在双稳态再生颤振、周期、倍周期和Hopf分岔等非线性行为.Wang 等[3]研究了考虑3次非刚度的单自由度车削系统的动力学特性，表明该系统存在多周期、准周期及混沌运动导致的切削不稳定. Nankali 等[4-5]将正交切削系统近似成一个含有2次和3次非线性刚度的二阶微分系统，研究了系统内共振的极限环振荡和分岔行为，确定了保证稳定切削的切削参数临界值.Tyler 等[6]考虑了工件表面法向速度、切深及切削速度相关的过程阻尼对车削稳定性的影响，并验证了该模型的有效性.Yan等[7]对含2次和3次非线性刚度的正交切削系统进行了研究，表明切削系统主要呈现次临界不稳定.任勇生等[8]采用Galerkin法对考虑铣刀结构非线性的颤振模型进行了简化，利用多尺度法研究刀杆的几何尺寸和切削参数对铣削过程叶瓣图(lobe图)以及主共振的影响.杨毅青等[9]研究了不同切削力学模型的精确性，结果显示线性与指数瞬时切削力模型在铣削力及颤振稳定域预测的精度上高于其他几种模型.Ahmadi 等[10]利用平均方法对含有非线性时滞阻尼的正交车削加工系统的动力学特性进行了分析，表明系统中的极限环振荡可能引起切削加工的不确定性.

虽然目前对切削系统的颤振问题已有较多研究，但主要集中在线性系统的稳定性预测分析，一些非线性模型对切削系统参数和切削工艺对稳定性的影响分析仍然不够完善.本文综合考虑切削时滞、非线性切削力以及刀具和工件变形引起的正反馈刚度对切削系统颤振的作用，利用多尺度法研究系统参数和加工工艺参数对系统主共振和次共振的影响，从而准确获取非线性切削系统的稳定切向区域.

1 正交切削系统的数学模型

为了分析切削系统的稳定性，考虑图1所示的转动零件正交切削模型.图中：F0为主切削力，β为切削力与工件切向的夹角，α为主支撑方向u与工件切向的夹角，坐标系xOy为工件坐标系，工件直径为d，以角速度Ω转动，工件切削点的角位移为θ(t)，t为时间，u方向的等效质量、支撑刚度及阻尼分别为M、K和C，h为切削的厚度，根据文献[11]对切削厚度的定义，并将其投影到u方向，可以表示为

图1 正交切削模型Fig.1 Orthogonal cutting model

h=st+Δxsinθ(t)+Δycosθ(t)=

st+Δu(sinαsinθ(t)+cosαcosθ(t))=

st+Δucos(θ-α)

(1)

式中：st为静态切削厚度；t为切削时间；Δx=x(t-τ0)-x(t)，Δy=y(t-τ0)-y(t)，Δu=u(t-τ0)-u(t), 时滞τ0=60/Ω，θ=2πΩt/60.

由文献[12-13]可知，在切削平面内的有效作用力为

(2)

(3)

式中：ρ0为刚度系数，根据切削材料和工艺确定；系数μ和α1、α2对于不同切削工艺根据实验确定；切削速度v=πdΩ/60；b为切削宽度；Fr为x方向的刀具与工件的挤压力；vC为轴向进给速度；F2为Fr的幅值.

F0=ρ0b(1+μe-α1v)st+

ρ0b(1+μe-α1v)Δucos(θ-α)+

(4)

Fr=|F2|eα2vC-

(5)

根据图1的坐标关系，u方向的总切削力为

Fu=F0cos(β-α)+Frsinα+κFrcosα=

(6)

F00=ρ0b(1+μe-α1v)stcos(β-α)+

(sinα+κcosα)|F2|eα2vC

F01=ρ0bstμe-α1vα1cos(β-α)cosα-

|F2|eα2vCα2(sinα+κcosα)sinα

F03=ρ0b(1+μe-α1v)cos(β-α)

F04=ρ0bμe-α1vα1cos(β-α)cosα

式中：κ为刀具和工件之间的摩擦因数.

(7)

2 线性系统的稳定性分析

其中：X(s)和F0(s)分别表示x和F0的Laplace变换；s为拉氏变量.令s=jωc，j为虚数单位，ωc为颤振频率，代入传递函数公式，经变换得到系统的极限切削宽度为

(8)

式中：切削系数Ks=ρ0(1+μe-α1v)；Re(·)以及 Im(·) 分别表示函数的实部和虚部.颤振频率为

(9)

式中：Θ为单个波附加分数相位；N=0, 1, …为振动波数，即lobe数.

根据文献[12-13]，切削系统的初始参数由表1给出.后续未作特别说明，参数均为初始参数.

表1 初始切削系统参数Tab.1 Initial parameters of cutting system

根据式(9)得到的系统的稳定性lobe图如图2(a)所示.可以看出，本文所得lobe图最小切削宽度较应用文献[16]方法计算得到的最小切削宽度(图2(b))大，这可能是因为ω=0使工件转动对切削时滞的影响被忽略，导致切削中稳定性lobe图不准确，因此与文献[16]方法所得lobe图相差较大.但由于文献[16]给出的方法在低速切削时，容易引起系统矩阵

图2 系统lobe图Fig.2 Lobe diagrams of system

Ψ=

的不可逆，所以其对切削系统的准确性分析也存在一定不足.

3 切削系统的多尺度法分析

εf3cos(ωτ-α)[x-x(τ-τ0)]+

εk1x2+εk2x3

(10)

设时间尺度Tr=εrτ，(r=0，1，…)，假定式(10)的解为

x(τ)=x0(T0,T1, …)+εx1(T0,T1, …)+

ε2x2(T0,T1, …)+…

(11)

x(τ-τ0)=x0r(T0,T1, …)+εx1r(T0,T1, …)+

εx2r(T0,T1, …)+…

(12)

定义导算子：

(13)

(14)

式中：D0、D1及D2是导算子，分别表示对T0、T1及T2求导.将式(11)～(14)代入(10)，令ε同次幂相等，可得线性偏微分方程组：

(15)

f5cos(ωT0-α)(D0x0)2(x0-xτ0)

(16)

设式 (15)的解为

x0=A(T1,T2, …)ejT0+

(17)

xτ0=Aτ(T1,T2, …)ej(T0-τ)+

(18)

而且Aτ(T1)=Aτ(T1-ετ)≈A(T1)-ετD1A(T1)，所以有：

(19)

将(17)～(19)代入(16)可得：

(20)

式中：δ为公式前面各项的复共轭.可以看出，引入调谐参数σ后，在ω=1+εσ附近系统会发生主共振，在ω=2+εσ、3+εσ和4+εσ附近系统存在 1/2、1/3及1/4次亚共振，由于1/3和1/4次亚共振对切削系统的稳定性影响较小，所以本文主要研究切削参数对主共振和1/2次共振的影响.

3.1 主共振

当ω=1+εσ时，会触发切削系统的主共振，根据式(20)，为了消除久期项，要求：

2jD1AejT0

(21)

(22)

令式(22)左侧为0，并消去φ，则定常解的幅频关系为

(23)

3.2 1/2次亚共振

根据式(20)，当ω=2+εσ时也可能触发系统的共振，为消除久期项，令

(24)

(25)

令式(25)左侧为0，并消去φ，定常解的幅频关系可写为

(4f3+f5a2)2(1-cosτ)2+

(4f3sinτ+4f0f4+3f5a2sinτ)2=

(26)

4 切削系统数值仿真分析

4.1 切削参数对主共振的影响

图3所示为切削参数对主共振的影响，虚线表示不稳定分支，实线为稳定分支.由图3(a)可以看出，随着b的增加，主共振在低速和高速切削的不稳定区域逐渐扩展，在250～350 r/min内由间断不稳定逐渐转变为连续不稳定，当b=3.5 mm时主共振在0～4 400 r/min均会出现不稳定.而且在b较大时会使骨架曲线左移，导致主共振频率降低，幅值增大.图3(b)表明，当st增大时，不稳定区域亦逐渐增大，主共振峰值左移，共振频率下降，其对主共振的影响与b相似，而st对主共振的影响更加显著.图 3(c) 表明，随着vC增大，不稳定区域逐渐扩展，主共振峰值增大，低速时的间断不稳定逐渐扩展为连续不稳定，但vC不影响主共振频率.图3(d)表明，d越小，主共振的峰值越大，低速时的不稳定区域随d的减小而增加，但其对主共振稳定性影响较小.

图3 切削参数对主共振的影响Fig.3 Influence of cutting parameters on primary resonance

图4所示为系统参数对主共振的影响.由图4(a)可以看出，随着K的减小，主共振在低频和高频切削的不稳定区域逐渐增大，当K=500 N/mm时主共振在0～3 040 r/min均会出现不稳定.而且K越大，主共振频率越大，高频峰值越小.图4(b)表明，当2次刚度系数K1增加时，主共振的稳定性几乎不变，但主共振骨架曲线左移，低频幅值逐渐减小.在图4(c)中可见，随着3次刚度系数K2逐渐增加，主共振的不稳定区域逐渐扩展，但变化较小，而且K2的增加会使主共振高频峰值左移，导致低速切削时的幅值减小.图4(d)表明，由于工件的硬度、强度等增加，使得刀具ρ0增加，引起主共振不稳定区域逐渐增加，主共振峰值不断增大，同时也可以看出ρ0增加会使主共振峰值频率减小.

图4 系统参数对主共振的影响Fig.4 Influence of system parameters on primary resonance

4.2 切削参数对1/2次亚共振的影响

图5所示为切削参数对1/2次共振的影响.由图5(a)可以看出，随着b的增加， 1/2次共振的不稳定区域逐渐增大，共振幅值逐渐减小，而且较大的b会使发生1/2次共振频率范围缩小.由图5(b)可以看出，当st增大时，发生1/2次共振频率范围逐渐缩小，但不稳定区域几乎保持不变，与b对1/2次共振的影响相似，增加st会使共振幅值逐渐减小.由图5(c)可以看出，vC越大，不稳定区域越大，但变化较小，而且vC不影响发生1/2次共振频率范围.由图5(d)可以看出，d越小，1/2次共振的峰值越大，但d对发生1/2次共振的频率范围和稳定性影响较小.

图5 切削参数对1/2次共振的影响Fig.5 Influence of cutting parameters on 1/2 subresonance

图6所示为系统参数对1/2次共振的影响.由图6(a)可以看出，随着K的减小， 1/2次共振的不稳定区域逐渐增大，共振幅值也不断减小，而且发生1/2次共振频率范围也不断缩小.图6(b)表明，K1增加，1/2次共振的稳定性区域几乎没有变化，但1/2次共振频率范围会向低频移动，而且振动幅值也逐渐减小.在图6(c)中可见，K2增加，会使1/2次共振频率范围缩小，但K2对1/2次共振的稳定性影响较小，而且振动幅值缩减更加显著.图6(d)表明，ρ0增加，切削难度增加，此时1/2次共振不稳定区域逐渐增加，但会导致1/2次共振频率范围缩小，振动幅值下降.

图6 系统参数对1/2次共振的影响Fig.6 Influence of system parameters on 1/2 subresonance

4.3 切削系统整体稳定性分析

图7所示为切削宽度和转速对系统的稳定性云图，红色表示不稳定，蓝色为稳定区域.在整体切削稳定性云图7(a)中可以看出，由于高速切削时切削区域能量不变，而切削区域塑性变形量和切削与前刀面摩擦因数减小，导致切削力下降，所以高速切削时最小切削宽度较大，但由于时滞和工件表面高速波动，极限切削宽度随转速增量较小.通过图2(a)与图7(a)的比较可以看出，二者切削宽度的最小值基本相近，但由于系统的非线性行为，图7(a)中的极限切削宽度比图2(b)要小.图7(b)～7(e)分别为主共振和1/2、1/3及1/4次共振的稳定性云图.可以看出，不同转速下，主共振和次共振的稳定域不同，特定转速和切削条件下可能诱发几种组合共振导致的不稳定，而且主共振和1/3次共振的最小切削宽度b较1/2和1/4次共振大，1/2次共振极限切削宽度b最小，因此其对切削稳定性的影响最大，这一现象也表明正交切削系统中的不稳定主要由次共振引发，这与文献[7]中的结论一致.

在图7中分别取得点A(1 000 r/min, 1 mm)、B(2 500 r/min, 1 mm)、C(4 000 r/min, 2 mm)、D(6 000 r/min, 2 mm)和E(6 000 r/min, 4 mm)作为切削参数，应用4阶Runge-Kutta法对式(5)进行数值求解，其时域、相图(蓝色)和庞加莱相图(红色)如图8所示.可以看出，由于1/2和1/4次共振的不稳定，在低速切削时图8(a)和8(b)出现较复杂的准周期和倍周期运动，而当Ω=4 000 r/min时，主共振和次共振均呈现不稳定，导致图8(c)出现更加复杂的混沌行为.当系统仅存在1/2和1/3次共振不稳定时，对应的图8(e)中，也主要呈现近似的准周期运动.而当系统在稳定点D处，图8(d)系统呈现周期运动特性.由此可知，由于切削系统不稳定导致的准周期和混沌行为会引发x的幅值波动，从而使工件加工表面的不平顺度增加，造成表面加工质量恶化.