用题组促进数学概念课中的深度学习

浙江省衢州第二中学 (324000) 陈一晖

在高中数学概念课的教学过程中，从学生们理解概念到深化概念，再会应用概念解决问题是一个不断提高的过程，而此时常出现个别同学掉队，跟不上教学节奏的现象，这就是继续学习、深度学习的把控不够到位．如何使学生不脱节、不掉队，过好新概念学习这一关，是我们授课者必须深入思考的一个课题，本人通过近几年的教学实践进行了一些有针对性探索，感觉到利用设计题组进行目标训练是切实可行、效果显著的方法.本文向同行们分享一下，如何按照课情与学情的需要，设计对应学习题组以帮助提高数学概念课的教学效率．

1、通过题组探究数学概念的实质和内涵

有部分学生在刚开始接触新概念时，只是从字面上有所理解，还不能注意到细节，更谈不上理解概念的内涵，对实质性的东西是茫然的，此时我们应该设计一些对概念理解不透、容易出现解题偏差的题组，通过仔细分析、及时纠正错误，这样对巩固新概念很有用处．

案例一在巩固奇函数的概念时，我们可以设计如下的题组进行练习，旨在夯实概念．

⑴若函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且有f(-1)=-f(1)，则f(x)是奇函数吗？

⑶函数f(x)=x3-x,x∈(-1,4]是奇函数吗？

⑷函数f(x)=ax2+bx能为奇函数吗？

⑸若函数f(x)奇函数，则一定有f(0)=0吗？

⑹如果函数f(x)=ax2+(2b-1)x,x∈(2b+1,1-b)是奇函数，求f(-1)的值．

分析：⑴由于奇函数的定义中是对于定义域内任意x，都有f(-x)=-f(x)成立，只有其中某一个或部分x满足等式是不能确定为奇函数的，故而答案为不一定．

⑶中f(x)不是奇函数，由于f(-4)没有意义，则f(4)=f(-4)不成立.

⑷中f(x)可以是奇函数，当a=0,b≠0时满足.

⑹由于f(x)是奇函数，则必有a=0，且1-b=-(2+1)，得b=-2，所以f(x)=-5x,x∈(-3,3)，则f(-1)=5．

此组练习，从多个方面强化了奇函数的内涵，随着知识点的增加，当然还有多种类型的题目可以运用，应注意的是选题的广泛性和规范性，以及把握题目难易的坡度和区分度．

2、运用题组探索数学概念的外延和应用

一个数学概念本身不是孤立的，它是建立许多知识点的累积之上的，而一个新概念也需要与已学过的知识进行融合、交汇，形成知识网络，这样这个概念才有意义和存在价值．注意这里的外延是有限度、有方向的，也就是常说的所谓“正迁移”，如果迁移过分或迁移不当，有可能发生谬误．

案例二在学完抛物线的定义和标准方程后，我们可以给学生提供如下的一组提高练习，旨在理解抛物线概念并合理外延概念的作用．

⑴抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为4，求点P到焦点距离；

⑵已知动点P到点A(0,8)的距离比到直线l:y=-7的距离大1，求动点P的轨迹方程；

⑶若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的点M坐标为；

⑷过抛物线x2=4y的焦点F作一条直线交抛物线于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，若y1+y2=6，则|P1P2|的值为．

分析：⑴由抛物线方程知，2p=4，所以准线方程为x=-1，而点P到y轴的距离为4，则点P到准线的距离为5，根据抛物线的定义知，点P到焦点距离为5．

⑶ 由于|MF|是点M到抛物线焦点距离，使|MF|+|MA|取得最小值的点为过点A作与y轴垂直的直线与抛物线的交点，则点M纵坐标为2，代入方程的横坐标也为2．

此组练习都是以抛物线的定义为基准，围绕着这个定义向四周辐射所形成的各类问题，通过本组题的练习，不但深化了抛物线的概念，同时也了解了哪些题是可以运用定义解决的．

3、运用题组辨别形似但本质不同的相关概念

有一些数学概念其表现形式差别不大，容易混淆，但是我们可以通过设计相关题组的方法，把它们放在一起解决，通过分析可发现它们之间的本质是不一样的，通过设计题组及时区分，并解剖它们的本质，可以进一步加深对所学概念的理解，以免犯审题不清造成的错误．

案例三在讲完了分段函数的单调性问题后，可以给出下面一组练习，旨在检查对一些分段函数单调性有关题型的判断情况．

此组练习都是关于分段函数的单调性问题的，其题设部分比较相似，而不相似的部分正是问题的关键，通过分析研判，可以挖掘利用它们的不同，建立符合题意的求解方案．

4、利用题组多向探究发掘数学概念的用途

在一个概念的后面，会有许多对应的练习题目呈现，对此我们必须对它们进行分类和挑选，目的是有针对性地巩固所学的新概念，并使概念发挥作用．同时也可利用对新概念的认识，揭示一些问题的破解方法，扩大学生们视野，提高应变能力，增加学习数学的兴趣．

案例四在讲完函数的最大值与最小值的概念后，给出下面的题组，引导学生对函数的最大值与最小值的概念有一个全方位的了解．

⑴函数f(x)=x3-3x-1，若对于区间[-3,2]上任意x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤t，求实数t的取值范围；

分析：⑴由于f′(x)=3x2-3，当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，易得f(x)max=1，f(x)min=-19．由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t，从而t≥20，即实数t的取值范围是[20,+∞)．

此组题，从形式上看似乎是不同类型的问题，但实质是一样的，它们都是通过求函数的最大值和最小值来解决问题，是函数最值问题的不同应用而已．