培养恒等变形终止标志的意识——透过高考压轴题的视点

淮北师范大学数学科学学院 (235000) 姜 琪 张 昆

波利亚在《怎样解题》一书中写道：“标志可以引导我们的行动.缺少这些标志也许是警告我们走入了一条死胡同，这样就帮我们节省了时间，避免了徒劳的努力；它们的出现能使我们把精力集中于正确的一点.”[1]在解数学题时，不少学生面对恒等变形束手无策，找不到变形的方向，或者不知道变形该到什么地方停止.这会导致学生解题效率降低，甚至解不出来.但是，如果学生有恒等变形终止标志的意识，就像哥伦布知道了新大陆的标志一样，就能在终止标志的指引下找到变形的正确方向，发现“新大陆”.本文以几道典型的高考压轴题来说明恒等变形的终止标志.

一、恒等变形终止标志确定示例

例1 (2020年全国高考天津卷·20)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数.

分析：对于问题(Ⅰ)的第(ⅰ)问，读者不难得到：当k=6时，y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=9x-8.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

对于问题(Ⅱ)，由(Ⅰ)知，当且仅当a>2时f(x)存在两个极值点.由x1,x2是f(x)的极值点，可知f′(x1)=f′(x2)=0，即x1,x2满足x2-ax+1=0.所以x1+x2=a,x1x2=1，不妨设x11.

上述是所有的已知条件.接下来要对①式不等号左边的式子进行恒等变形，恒等变形的终止标志是a的独立出现和剩余部分只有一元.

对比发现，⑦式与所要证明的①式不等号右边的式子(a-2)在形式上是相似的.

以上两种恒等变形的结果(⑦和⑨)都符合恒等变形的终止标志，且都能得到最终的结果①，区别在于第一种变形结果在之后的计算中恰巧借助了第(Ⅰ)问的结论，从而简化了大量的计算；而第二种变形结果在之后的计算中没有借助第(Ⅰ)问的结论，证明过程稍显繁琐.

二、恒等变形终止标志意识的培养

通过以上两个典型例子，不难看出，在高考数学压轴题中，恒等变形占据重要地位.在解答此类题目时，要具有恒等变形终止标志的意识，知道恒等变形要朝着什么方向进行，到什么时候终止.作为教师，首先，自己要具备这样的意识；其次，要有意识地培养学生恒等变形终止标志的意识，使学生在面对复杂的恒等变形时，能在终止标志的指引下找到正确的变形方向，不至于像无头苍蝇一样随意变形.那么，作为教师，应当怎样培养学生恒等变形终止标志的意识呢？

其一，教师要亲身经历解题的过程，树立研究意识，在解题的过程中积极思考和总结，增强对恒等变形终止标志的敏感性.教师只有亲身经历了恒等变形的过程，才能切身体会确定恒等变形终止标志的思维过程，认识到它对于数学解题的重要性.如果只是单纯的照搬参考答案，是不会真正地建立这种意识并让学生感同身受的.

其三，教师讲好题的关键一步是教学设计.教师亲身经历解题过程得到了恒等变形的终止标志，在进行教学设计时，不能再以教师自身的视角进行设计，而应当站在学生的立场，与学生进行“心理换位”，把自己设想成学生，体会学生认知结构中已有的知识，体会学生在遇到恒等变形时的思维过程和心理活动，体会学生在变形过程中可能会走的弯路和遇到的困难，等等.[4]教师在进行教学设计时，要不断地问自己：为什么恒等变形的终止标志是这个？怎样想出来的？把自己的思路理清楚并向学生合理呈现.[5]

其四，波利亚指出：“解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学会.”[6]因此，学生萌生在这种意识之后，要注意应用与巩固.如果教师在之前的教学中成功地使学生萌生了恒等变形终止标志的意识，那么接下来教师就要为学生选择具备典型性的相关练习.选择的题目不宜过多，但要“精”，“精”练胜过多练.同时，教师要引导学生对解题过程不断反思、总结，鼓励学生在反思回顾中不断地积累数学解题经验，增强恒等变形终止标志的意识，从而提升学生的数学解题能力和效率.[7]

三、结束语

在高考数学压轴题中，涉及恒等变形的题目非常多，能否正确地进行恒等变形直接关系到解题的效率甚至正误.在例1中，得到的恒等变形的终止标志是k的独立出现和⑥式括号内只有一元；在例2中，得到的恒等变形的终止标志是a的独立出现和剩余部分只有一元.它们恒等变形的终止标志既有相似之处，也有不同之处.因此，面对各种各样涉及恒等变形的题目，我们无法总结出一个可以通用的终止标志.但是，教师可以通过设计合理的教学使学生体会确立终止标志的思维过程，掌握策略方法，逐步培养学生恒等变形终止标志的意识.这样，学生在遇到同类型的题目时就能举一反三、应对自如.总而言之，恒等变形的终止标志对数学解题至关重要，教师要注重培养学生这方面的意识，学生将受益匪浅.