用待定系数法求解的三种情形

冯祖康 冯显硕

学生虽然熟悉待定系数法的定义与解题步骤，但机械模仿解题过程、缺乏灵活运用能力者居多。笔者思考并总结了用待定系数法求解的三种主要情形，帮助学生从根本上感悟其妙处，提升思维的灵活性与敏捷性。

情形1：所求结果的概型易锁定，可优先考虑待定系数法

初中数学中求一次函数、二次函数解析式等问题，高中数学中求圆锥曲线方程、求数列通项公式及前[n]项和等问题，都具有相似的已知与设问架构。求解时，我们可以先借助系数设出结果的基本形式，然后根据其他条件列出方程（组），最后借助方程求出该系数。此种方法的哲学意蕴是先主后次，即先注重整体的统领地位，后灵活地协同部分。

例1 已知[a1=1]，[an+1=2an+5]，求[an]的通项公式。

解：[a2=2a1+5=7]，设an=A·2n-1+B

当[n]=1时，A+B=1  ①

当[n]=2时，2A+B=7 ②

联解①、②得：A=6，B=-5

∴an=6×2n-1-5=3×2n-5

例2 已知an=2n+1，bn=2n，求：[Tn]=[a1b1]+[a2b2]+…+[anbn]的前[n]项和。

解：设Tn=（An+B）·qn-B，A，B为待定系数，将[n]=1和[n]=2分别代入得

[（A+B）×21-B=6（2A+B）×22-B=26]  解得[A=4B=-2]

∴Tn=（4n-2）×2n+2=（2n-1）×2n+1+2

掩卷而思，如果我們不知道递推数列的通项公式为指数型函数an=Aqn-1+B，等差数列的前[n]项和是常数项为0的二次函数式Sn=An2+Bn，等比数列的前[n]项和为指数型函数Sn=A·qn+B，以及差比数列的前[n]项和公式为Sn=（An+B）·qn-B，就不可能用待定系数法便捷地求解上述两个题目。可见，基本的知识储备是使用待定系数法的前提。

情形2：预感题设中的数学结构与某种熟悉的数学结构有关联，但通过顺向思维难以找到这种关联，此种情况下，可借助待定系数法解题

我们要先尝试列出这种关系，再逆推其系数是否存在解，若存在解，说明猜想能实现，若无解，说明猜想错误。通过猜想、验证的方法寻找答案往往简便易行。

例3 已知数列[an]中，an=1，an+1=c-[1an]，设c=[52]，bn=[1an-2]，求数列[bn]的通项公式（2010高考全国卷一）。

解题时，消去an和an+1后就建立了bn+1与bn的递推关系式：bn+1=4bn+2。这个结构很容易使我们联想到等比数列的定义：bn+1=qbn。不同点是，前者的常数项不为0，而后者为0。如何把前者转化为后者的形式，再加以解决呢？通过猜想，建构bn等于某个等比数列[Cn]与常数[？]的和，即bn=[Cn+？]，则[Cn]=[bn-？]。设[Cn]的公比为q，即[Cn+1]=q[Cn]，由已知可以得到[Cn+1]-[？]=q（bn-[？]），整理后，与已知的bn+1=4bn+2比较，可得q=4，[？]=-[23]。这个结果的建构主要靠数学直观，并不像情形1一样有明确的定义、定理作保证，所以这里的q和[？]并不一定有解。如果把bn猜想成某个等差数列[Cn]与常数[？]的和，则[？]无解，说明猜想错误。

用待定系数法解题的妙处是把由因索果的难题转化为执果索因的易题。比如，把[1n（n-1）]裂项。如果直接变形，由于无章可循，其变形过程盲目性高，成功率低。但当我们设[1n（n-1）]=[αn-1-βn]后，就可以利用待定系数法把分式裂项问题转变为有理论、方法作支撑的通分问题，通分后比较系数即可。

在讲分数指数幂时，数学书上以“规定”的方式呈现[amn=amn（a>0）]，学生心理接受度低。如果引导学生借助待定系数法大胆假设[amn=aλ]，两边同乘[n]次方得[am=][aλn]，故[λ=mn]。这样根式与分数指数幂的关系[amn=amn]就很自然地建立起来了。

例4  已知非负实数[x，y，z]满足[x+y+z=1]，证明：[2-x]+[2-y]+[2-z]≥[22]+1。

不等式左边三个根式结构相似，但根式在运算中不易操作，我们主观期望根式能跟熟悉的多项式建立关系，不妨设：

[2-x]≥[2]-[kx]

[？][k2x2-22kx+x≤0]

其中，[kx][≤2]

又∵[x∈0，1]∴[k=2-1]，即当0≤[x]≤[1]时，[2-x]≥[2-（2-1）x]恒成立。

证明：∵0≤[x]≤[1]，0≤[y]≤[1]，0≤[z]≤[1]

∴[2-x]≥[2-（2-1）x] ①

[2-y]≥[2-（2-1）y] ②

[2-z]≥[2-（2-1）z] ③

三式相加得：[2-x]+[2-y]+[2-z]≥2[2]+1，其中[x，y，z]三个数中两个数取0，一个数取1，三个式子同时取“=”号。

情形3：当题目条件与定理不完全相符时，可通过引入系数来“放宽”条件，使之与定理条件吻合，以借它山之石攻玉

引入系数后，“个性”问题就转变成了“类性”问题，我们就可以由“类性”问题出发，再去解决具体的“个性”问题。

例5  已知[a，b，c∈R+]，求证[a2a+b]+[b2b+c]+[c2a+c]≥[a+b+c2]（《数学通报》1995年第4期问题T46）。

[（a-b）2≥0]，在[a]与[b]相等的情况下，不等式取等号。若在某种具体情况下，如[a]不可能等于[b]时，就只能保证[（a-b）2>0]。而此题中[a]与[a+b]两个数明显不相等，但所证不等式中却含有等号，这时便可引进系数“[λ]”，以便与定理条件相吻合。

设[（λa-b）2≥0]，得[a2b≥2aλ-bλ2]，（[b>0][λ][>0]）。当[b=][λa]时，不等式取“=”。

证明：由上式得[a2a+b][≥][2aλ-a+bλ2]①

[b2b+c][≥2bλ-b+cλ2] ②

[c2a+c]≥[2cλ-a+cλ2] ③

三式相加并整理得：

[a2a+b]+[b2b+c]+[c2a+c]≥（[a+b+c]）（[2λ-2λ2]）

令[2λ-2λ2]=[12]，得[λ=2]

例6  求函数[y=2sinx+sinx2]（0<[x]<[π]）的最小值。

若直接应用均值不等式定理得[2sinx+sinx2]≥[21]=2，而[2sinx=sinx2]时，[sin2x=4]，这与[sin2x]≤1相矛盾。原因是[2sinx]与[sinx2]两个数不可能相等。如果忽略了这一隐含条件，直接用均值定理求得的最小值，就不是条件允许范围内的最小值。引入系数α后，就可使之与定理的条件要求相吻合。

解：设存在0<α<2

所以[y=][sinx2+][2-αsinx]+[αsinx]≥

[2sinx2·αsinx]+[2-αsinx]≥[2α2+2-α]

由两个不等式同时取得最小值的条件得：

[sinx2=αsinxsinx=1]，α=[12]，[y]的最小值为[52]

由此可知，用待定系数法求解需要以一定的数学阅历和丰富的联想能力为基础，敏锐地捕捉到答案的主体结构即主要矛盾，进而以主体结构为抓手，通过执果索因的思维方法，达到化难为易的目的。

（作者单位：冯祖康，襄阳市保康县中等职业技术学校;冯显硕，重庆大学法学院）

责任编辑  刘佳