涉及单形内点几个不等式的稳定性

孙玉婷，王 文，杨世国

（1.安徽文达信息工程学院 通识教育学院，安徽 合肥 231201；2.合肥师范学院，安徽 合肥 230601;3.安徽新华学院，安徽 合肥 230088）

1 引言

当Ω为正则单形时等号成立.文献［2-4］中推广了不等式（1.1），得到如下一些不等式.

G.S.Leng，L.H.Tang［2］获得了不等式

G.S.Leng，T.Y.Ma［3］获得了另一不等式

L.Gerber［4］建立了不等式

其中m是任意正整数，当Ω为正则单形且D为其中心时，（1.2）-（1.4）等号成立.

在不等式（1.2）- （1.4）中取点D为单形Ω 的内心I，此时di=r(i= 0,1,…,n)，便得到不等式（1.1）的实质性推广.

不等式（1.2）- （1.4）又可写成以下形式

本文研究上述三个几何不等式的稳定性，得到相应的稳定性版本，实质上对它们做了进一步的推广.

几何不等式的稳定性这一概念最早是由H.Minkowski和T.Bounesen提出，后期H.Groemer［5］做了详细描述，其中关于欧氏空间单形的几何不等式稳定性反映的是正则单形与一般单形的偏差估计.

因单形的径向函数或支撑函数表达式不易找到，故使得关于其几何不等式的稳定性研究困难重重.介于单形的棱长对单形的确定起重要作用，何斌吾在其论文［6］引入“偏正度量”概念，自此单形几何不等式的稳定性得到广泛而系统的研究.

2 主要结果

本文给出（1.2）- （1.4）不等式的稳定性版本：

当Ω为正则单形且D为中心时等号成立.其中τ≤n+ 1 -k

下给出( 1.4') 的两个稳定性版本.

定理2.5 设σ( Ω,Ωˉ)是单形Ω的“偏正度量”，则对任意的ε＞0，当

3 引理与定理的证明

先介绍以下引理，从而辅助定理的证明

引理3.1［7］设n维单形Ω，有

当Ω是正则单形时等号成立.

引理3.2［8-9］设n维单形Ω，有

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

引理3.3［10］设n维单形Ω，自然数k∈[ ]2,n，有

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

引理3.4［11］设n维单形Ω，τ≤n+ 1 -k,，有

引理3.5［11］设n维单形Ω，有

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

证明 利用文献［12］中不等式

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

将不等式（3.2）代入式3.7右端分母，得

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

利用文献［13］中不等式

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

由式3.9和式3.8即可得式3.6.

定理2.1和定理2.2的证明 利用文献［2］中的不等式（20）式即式（3.10），有

等号成立当且仅当Ω为正则单形且D为中心.

利用式3.10、式3.11、式3.6及算术几何平均不等式，得

利用文献［2］中式（16）即（3.13）式，有

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

由式3.12和式3.13得

利用文献［9］中不等式

等号成立当且仅当Ω为正则单形.

利用幂平均不等式，引理3.3及式3.15，得

由式3.14、式3.16得

由式3.15、式3.1和式3.3得

利用代数恒等式

由式3.18和式3.19得

由式3.17和式3.20得

不难得出当Ω为正则单形且D为其中心时等号成立，故定理2.1成立.

由 式3.15、式3.4、式3.5及式3.3得

由式3.17和式3.21得

易知当Ω为正则单形且D为其中心时等号成立，故定理2.2成立.

定理2.3和定理2.4的证明：利用文献［3］中式3.8即（3.22）式，有

即

当Ω为正则单形且D为其中心时等号成立.

由式3.2

由式3.23和式3.24得

式3.20代入式3.25可证定理2.3.

对式3.25两边k次方后，对R2k应用不等式3.21可证定理2.4.

定理2.5和定理2.6的证明：利用式3.11得

由式3.6和式3.27得

利用文献［9］不等式

当Ω为正则单形时等号成立.

对式3.30两边k次方后，应用式3.21可证定理2.6，当Ω为正则单形且D为其中心时等号成立.

3 小结

本文通过研究欧氏空间单形的稳定性，为后期进一步研究其他凸体如C60 的几何结构奠定基础，从而让C60更好地在工业生产中发挥重要作用.