一类具分布偏差变元的三阶半线性中立型微分方程的振动性

林 文 贤

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

近段时间以来，泛函微分方程的振动性受到很多数学研究者的关注，参见文献［1-15］，但是，具有分布时滞的中立项的三阶微分方程的振动性较少见到相关成果.下面将研究一类带分布时滞中立项的三阶半线性泛函微分方程

的振动性.

本文总假设下列条件成立:

（H1）α＞0,β＞0,α,β为正奇整数之比；

定义函数

称方程（1）的解是指函数x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0，使得r(t)y″(t)∈C1[Tx,∞)并于[Tx,∞)上适合公式（1）.我们只讨论公式（1）适合Sup{|x(t)|:t≥T}＞0 对一切T≥Tx成立的解.公式（1）的一个解称为振动，如果它在[Tx,∞)上有任意大的零点.否则，称它为非振动.

文献［1-3］对二阶半线性中立型微分方程

在β＞α条件下，文献［13］讨论了式（4）的振动性，得到的结论有

新的振动性定理.这推广和改进了文献［14-15］中的若干结论，并举出实际应用例子.

1 引理

引理1[3]设x(t)是公式（1）的最终正解，则由（2）规定的y(t)当且仅当有以下情形

（I）y(t)＞0,y'(t)＞0,y″(t)＞0;

（II）y(t)＞0,y'(t)＜0,y″(t)＞0.

引理2[16]若存在A＞0,B＞0，且α＞0，则

引理3[17]设u(t)＞0,u'(t)＞0,u″(t)≤0,t≥t0，则∀θ∈(0,1)，∃Tθ≥t0,s.t.

引理4[18]设u(t)＞0,u'(t)＞0,u″(t)＞,u‴(t)≤0,t≥Tθ，则Tγ≥Tθ,s.t.u(t)≥γtu'(t),t≥Tγ.

2 主要结论

以下根据Philos方法[19]，给出式（1）的新的振动结果.设

称函数H∈C1(D,R)为属于X类，记作H∈X，如果

（ⅰ）H(t,t)= 0,t≥t0;H(t,s)＞0,(t,s)∈D0;

为了方便，使用记号：对于ρ,σ∈C1([t0,∞),(0,∞)),设

定理1 设存在函数ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),满足A1(t)＞0，且有

则公式（5）振动.

证明 设x(t)是公式（5）的一个非振动解，由于x(t)=0没有现实背景，仅讨论x(t)≠0的情况.设x(t)为公式（5）的最终正解，故当t≥t1≥t0时有x(t)＞0,且x[τ(t,μ)]＞0,(t,μ)∈[t1,∞)×[a,b]，x(σ(t))＞0.

由引理1可知，存在t2＞t1，使当t≥t2时，y(t)可能为（I）型或（II）型.

当y(t)满足引理1，设y(t)为（I）型，由于τ(t,μ)≤t，故y(t)≥y[τ(t,μ)]，且x(t)≤y(t)，且

则

因为y″(t)＞0，此时由式（6）和式（7），可得

考虑广义Riccati变换

则

由（H2）可知，r(t)≥0,r'(t)≥0，且(r(t)(y″(t))α)'=r'(t)(y″(t))α+αr(t)y″(t))α-1y‴(t)≤0，则有y‴(t)≤0.

令T= max{t2,Tγ}，根据引理3，令u(t)=y'(t)，则∀θ∈(0,1)，∃Tθ≥t0,s.t.

再根据引理4有，∃γ∈(0,1)，Tγ≥Tθ,s.t.

联合式（11）-（13），式（10）成为

对式（14）从T到t积分可得

令t→∞，由（6）有，W(t)→-∞，与W(t)＞0 导致冲突，故假设错误.即若x(t)是引理1 中（I）类时，x(t)是公式（5）的振动解.

另一方面，当y(t)是引理1的（II）类时.因为(r(t)(y″(t))α)'≤0，q(t)＞0,1 -p＞0,y'(t)＜0.有

考虑广义Riccati变换

对式（16）求导，并利用式（15）的结果，可得

令t→∞.根据式（6）可得，V(t)→+∞，这样与V(t)＜0 导致冲突，于是假设错误.即当x(t)满足引理1中（II）型时，x(t)是公式（5）的振动解.证毕.

定理2 设存在函数ρ∈C1([t0,∞),(0,∞))，满足A1(t)＞0，式（6）成立，且有

成立，则公式（5）是振动的.

证明 设公式（5）存在非振动解x(t)，当y(t)满足引理1，设y(t)为（I）型，考虑广义Riccati变换

由（H2）可知，r(t)≥0,r'(t)≥0，且

由引理4可得，存在γ∈(0,1)和Tγ≥Tθ，使得

由式（22）-（24）可得，此时式（21）为

对式（25）从T到t积分可得

令t→∞.根据式（6）可得，W(t)→-∞，这样与W(t)＞0 产生矛盾，故假设不成立.即当x(t)满足引理1中（I）型时，x(t)是公式（5）的振动解.

其次，若y(t)满足引理1 中（II）时，由于(r(t)(y″(t))α)'≤0，则(r(t)(-y″(t))α)'≥0 且q(t) ＞0,1-p＞0,y'(t)＜0.可得

考虑广义Riccati变换

对式（27）求导，并利用式（26）的结果，可得

对式（28）两边同乘以φα(t)，并从t2到t积分，可得

这与式（19）冲突，故假设错误，即当x(t)是引理1中（II）类时，x(t)是公式（5）的振动解.证毕.

3 例子

例讨论以下的三阶中立型方程