量子计算数学本质及金融应用研究

林 阳

量子计算是遵循量子力学规律调控量子信息单元进行计算的新型计算模式，被认为能够突破经典电子计算机的芯片工艺和算力瓶颈，具有广阔的发展空间。《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》提出，加快布局量子计算等前沿技术，加强关键数字技术创新应用。中国人民银行发布的《金融科技发展规划（2022——2025年）》提出，探索运用量子技术突破现有算力约束、算法瓶颈，提升金融服务并发处理能力和智能运算效率，节省能源消耗和设备空间，逐步培育一批有价值、可落地的金融应用场景。2022年10月，诺贝尔物理学奖花落量子力学和量子计算领域的三位物理学家，更加凸显了量子计算的重要性。

量子计算与经典的电子计算相比具有鲜明的特点和差异，表现出并行和随机计算的特性，并在特定的数学问题上有良好的应用前景。金融业加深对于量子计算特点和数学本质的把握，有利于进一步深化对量子计算的应用。

量子计算数学本质和特点

量子计算遵循的是微观世界的物理规律————量子力学，采用物理对象的状态（如光子偏振态、电子自旋态等）的不同存储信息进行计算。量子力学的数学性质决定了量子计算在数学上呈现并行性和随机性两种特性，也决定了其适合解决的数学问题的类别。

并行性。经典的电子计算机存储信息单元是比特，一个比特只能存储0或者1两种信息中的一种，其存储能力随经典比特数量的增加而线性增加。而量子计算的存储信息单元是量子比特，量子比特可以呈现基态|0＞或基态|1＞，也可以是基态的任意复系数的线性叠加态，数学上表述为|φ＞=a|0＞+b|1＞（a和b均为复数）。其中的根本原因是，表述量子力学状态的波函数是遵从薛定谔方程的，而薛定谔方程是线性偏微分方程，其波函数解的任意复系数线性组合也是允许的解。因此，基态的任意复系数线性组合叠加态也是允许存在的状态。上述表述中，基态可以理解为不会被测量改变的状态，可以类比一个处于正面或反面的硬币，而叠加态则更像一个处于旋转中的硬币，同时包含了两种基态的信息。

因此，一个量子比特可以同时存储|0＞和|1＞两种信息。按照此规律延伸，N个量子比特可以存储从|00…0＞到|11…1＞共2N个可能的状态，其存储能力随着量子比特数量的增加而指数增长。这种多态并存的数学特性使得量子计算机能够实现实质意义上的并行计算。而经典的电子计算机只能依靠硬件效率的提升（如采用频率更高的CPU）或硬件堆叠（如采用多个CPU或多核CPU）来实现算力的线性提升；而量子计算由于其量子比特的叠加态的存在，可以通过一次运算并行得到所有存储在量子比特中的状态的结果，实现算力的指数提升。

概率性。根据量子力学的数学原理，量子比特尽管可以以叠加态存储多个状态，但从这些状态提取信息时必须经过测量。而测量将使得量子比特从叠加态“退化”为其中的一个基态，就如同一个旋转的硬币在被按住观察时只能呈现正反面中的一面的道理。具体的，对于一个量子比特|φ＞=a|0＞+b|1＞进行观测，其退化为基态|0＞的概率为其复系数a的模平方|a|2，退化为基态|1＞的概率为其复系数b的模平方|b|2=1-|a|2。这一点和经典电子计算机也存在本质差别，经典电子计算机无论进行多少次测量都不会改变其状态和其中存储的信息。

金融业应用量子计算的几类数学问题

从上文对于量子计算的特点分析可以看出，由于其数学本质，量子计算更加擅长并行计算和随机计算。这也决定了量子计算在金融业的应用并非所有的场景都适合，例如对于准确性要求极高的交易、账务处理等领域就不适合应用量子计算。金融业可以围绕上述两个特点，寻找适合量子应用的场景。我们可以将这些场景试着抽象和归纳为如下数学问题。

组合爆炸问题。金融业中有较多场景在数学本质上是组合爆炸问题。例如，投资组合的优化问题，如果要从100种潜在的资产中选择10种资产打包为一个投资组合，即便是不考虑资产的权重分配的不同，也有17万亿种可能的组合。因此，金融机构经常需要对潜在资产进行人为筛选，来匹配有限的分析能力。如应用量子计算并行得到多个投资组合的表现结果，将会极大地提升金融机构选择投资品的视野，也有助于不同的金融机构找到不同的投资组合，避免投资中的羊群效应引发的市场剧烈波动。

风险管理中的入模因子选择问题也是组合爆炸问题。金融业面对的风险往往受到国内外政治环境、宏观经济以及金融政策等方面因素的影响。金融机构通过因子建模的方式试图在数学上分析多因子影响下的表现。对于多因子影响模型，应该选择哪些因子进行建模，在数学上也是一个组合爆炸问题。应用量子计算并行对于多种入模因子组合进行分析，将有可能将部分不易察觉的风险因子或因子组合纳入考虑，提升金融机构风险控制的全面性。

此外，还有拓扑学中的路径选择问题，例如金融机构网点（或ATM等自助机具）布局优化问题、金融市场的套利机会寻找问题（例如套汇方案）等，本质上也是在各个路径之间的排列组合中选优的问题，因此也是量子计算的潜在应用场景。

搜索和匹配问题。在排序算法的支持下，结构化数据的搜索效率是可以得到保障的。但对于非结构化的数据，如视频、图像等的搜索，由于缺乏有效的数据组织方法，搜索效率相对较低，只能基于穷举等方法提升效率。而量子计算则可以利用其并行计算能力和Grover等算法极大地提升非结构化数据搜索算法的效率。金融机构数字化转型势必要涉及客户人脸数据、“双录”或安保等场景的视频数据，以及票据、证件影像等图像数据等非结构化数据的搜索和分析。因此，相关的场景也将是金融机构应用量子计算的一个潜在领域。

随机数问题。传统的电子计算机采用确定的方法生成不易被猜中规律的“伪随机数”，但仍有被破解的可能性。真正的随机数只能通过物理过程产生。而量子计算的随机性是源自物理过程的真随机性，不可被重复和破解。因此，基于随机性的量子计算也可以应用在需要随机数的金融服务场景，如密钥生成、客户登录验证码生成等。

模拟问题。例如，资本市场中的衍生品定价问题，由于衍生品的价格取决于底层资产的走势，而衍生品定价中理论的BSM模型等都对市场作了某种理想化假设（无交易摩擦、无风险套利机会等），所以蒙特卡洛模拟算法广泛地应用在衍生品定价领域，通过模仿底层资产的走势来获得期权定价的合理期望值。而量子计算由于其真随机性导致了其能够更好地去除伪随机性带来的模拟噪声，且其并行计算的特性相对于时间线性的蒙特卡洛算法也可以拥有更好的效率。因此，量子计算广泛地应用在资本市场的衍生品定价等领域。

金融业量子计算领域发展建议

综上，量子计算的数学特性决定了其对于特定数学问题的适应性。金融业在探索量子计算应用时，可还原和抽象金融问题的数学本质，然后利用量子计算的特性对相应的数学问题进行求解或效率提升，最终将相应的数学结论还原到真实的金融场景中。尽管目前量子计算距离大规模商用仍有一定距离，但量子计算不是传统意义上的组合创新，而是具备颠覆式创新能力的新技术，将对包括金融业在内的各行各业产生广泛而深远的影响，具有较好的潜在发展价值。建议金融机构将量子计算视为未来影响自身数字化转型的关键技术，加大研究和投入力度，为未来应用量子计算做好充分准备。

加强应用场景的梳理和探索。对目前量子计算的多种使用场景和案例进行系统性梳理，还原量子计算机的特性以及适合解决金融问题的数学本质。从金融问题的数学本质出发，结合自身业务的实际需要，在众多金融业务场景中寻找适合量子计算发挥作用的业务场景，深化量子计算的金融应用。

加强跨行业交流。量子计算金融应用涉及量子计算提供商、云计算提供商、科研院所和金融机构的多方合作。建议建立健全各方跨行业交流机制，对应用需求明确、有望引领和促进金融业数字化转型的量子计算技术方向开展针对性研究，进一步提升相关技术成熟度和可应用性。

加大人才培养。人才是未来金融业发展和应用量子计算的根本。金融业量子计算相关人才需要具备金融、计算机、数学、物理学等多重复合背景，门槛高、培养难度大。建议量子计算产业相关方和金融机构加大对量子计算人才的培养，为金融业应用量子计算培养扎实理论基础和业务实际经验兼备的人才后备军。