高等数学专题化教学案例研究——面积的由来及发展

文生兰 刘 倩 李瑞瑞

（信息工程大学 河南·郑州 450001）

目前国内外对知识的专题化探讨方面，人文政治类科目较多，[1-4]在全国图书参考咨询[5]上搜索“专题化、高等教育”词条下的文献显示，截至2021 年上半年，关于专题化讨论的文献805 篇，其中思政类课程619 篇，约占77%，其他如农业、经济、管理、规划等课程居多。而“专题化、高等数学”词条下只有一篇[6]符合要求。这与各科目的学科特点有关，人文政治类科目的各知识点相对独立，易于开展专题化教学，而对高等数学这门课来说，其内容多、知识点碎，且各知识间环环相扣，前面知识是后面的基础，后面知识是前面知识的应用推广，不宜把某一块单独拿来讨论。

实际上，这里我们所说的专题化不是将某个知识点割裂出来，而是在保持核心知识串的基础上，增加知识的广度和深度。即定期将一些重要概念和结论做系统的梳理、总结、延伸，包括这些重要概念和结论的历史背景、发展规律、应用拓展、学科外延，等等，或以专题化讲座的形式，或以选修课的形式，或以线上微课的形式，作为高等数学主讲课的有力补充。既是对学生知识掌握的一种巩固和提高，又是对学生知识的系统化、综合性训练，同时还是对学生科研创新思维能力的培养，进而打牢高等数学作为基础课“根基”的地位。

1 专题化教学案例

1.1 面积概念的产生

面积公式，是数学中常见的公式，也是日常生活中经常与之打交道的公式。那么面积这个概念是怎么来的？最原始的面积公式——长方形的面积为什么使用的是乘法运算？是谁创造出了这个公式？他是怎么想到的呢？我们不妨去查阅资料，从历史中去寻找答案。

很久很久以前，人类来到了农耕时代。刚开始的时候，荒地由谁开垦所属权就归谁。然而，随着时间的推移，这种方式渐渐地失效了，引发了战争，赢得战争的人将土地重新分配。

开始的时候，土地分配大概是靠人情关系加上直觉。

“路人甲，出列，你们家有10 口人，最东面的那块地就归你家了。”一个小领头大声嚷道。

“老李头，出列，你们家有20 口人，最南面的那块地就归你家了。”小领头继续耀武扬威的叫道。

……

就这样到了收粮食缴税的时候，农民终于还是发现了不对劲，在种地技术差不多，环境差不多的情况下，老李家20 口人比路人甲家粮食没有多出来多少。政府也发现了这个问题，但是当时，大家都没有好的办法，毕竟这个时候数学家大概还没有诞生。但是问题总归要解决，怎么办呢？还是跟着感觉走，老李家地少了，那就把路人甲家的地划分一点给老李家。一家一家依次用这种方法来微调。

一年又一年。终于有人想到了一个绝妙的方法。

首先，确定一个标准的模板地块。将整片地划分成若干个模块，然后，家里有几口人就分几块地，这的确是个公平的好方法，显示了人类文明的进步。

这个方法大家越用越熟练。于是，在这群农民实践家中，渐渐地，有人脱颖而出，顺着这个灵感继续探索。

要想知道一块地有多大，只需按模板划分，数一数就可以了。但这样效率太低了，有没有更简便的方法？如果一大块地按模板分块后，第一列有6 块小地，第二列有6块小地，第三列有六块小地，由此可知，一共有6+6+6=18块小地，这意味着什么？意味着6+6+6=3 6。这个时候，恍然大悟，3 表示什么？3 表示每一行有3 块小地，6 表示每一列有6 块小地，那么，要知道这一块土地一共有多少块小土地不就是用每一行土地块数每一列土地块数吗？

到了这一步，有个在历史上没有留下姓名的数学家总结了一个公式：长方形的面积等于每一列小长方形的数量乘以每一行小长方形的数量。

这个数学家的总结帮政府人员减轻了很大的工作量。定义一个标准的长方形，到田地里去丈量。想想，这还是蛮麻烦的，麻烦的地方在于，工作人员又不能扛着这么大的一个模型到地里去，只能靠尺子去量出一个个标准的小地块。既然这样，那我们能不能通过丈量了长度就可以知道这个地能被分成多少块呢？

比如，我量了一块地，长为10 米，宽为6 米。假如我们定义标准的正方形的长为1 米，宽为1 米，则这块长方形土地的面积=6 行 10 列=60 块（标准）。这个式子意味着什么呢？当我们定义标准的小地块的长和宽都等于1 米的时候，那么，我们丈量的土地的长度就等于列的数量，土地的宽度就等于行的数量。这就是我们后来，为什么要定义标准的正方形长度为单位1 的原因。

由此，我们可以推理出：长方形的面积=长 宽。至此，面积公式的探究在历史上取得突破性进展。

1.2 直边图形的面积

在生产生活中，人们经常会遇到规则的直边图形的面积问题，如平行四边形、三角形、梯形、六边形等等，这些都可以通过分割、平移、补面等方法得到它们的面积。如图1，平行四边形ABCD 可以通过做辅助垂线AE，将ACE 部分移到BDF，转化成面积相等的矩形，于是平行四边形的面积就是底乘以高；三角形ABC 可通过补充一个相同的三角形ACD 转化成平行四边形ABCD，这样三角形ABC的面积等于四边形ABCD 面积的一半，即梯形可通过做辅助线拆成一个平行四边形和一个三角形，（上底+下底）高÷2）；而六边形可通过做辅助线拆成六个三角形……这里体现了化未知为已知，化复杂为简单的转化思想，揭示了人类数学创新思维的进步。

图1

1.3 不规则图形的面积

时间来到了公元3 世纪，人们遇到了求一个像车轮一样的圆形的面积问题，数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积，让边数无限增加来逼近圆的面积，[7]为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，并将圆周率的数值精确到了3.1415 和3.1416 之间。借助极限的思想，结合圆的周长，后来经过漫长的演变，才有的圆周率，和圆的面积公式 。

前面我们提到丈量土地问题，实际上，很多时候我们遇到的土地不是规则图形。因为人类文明的发源地常在河水流域，一旦河水暴涨会淹没大量农田，此时需要重新丈量土地，就遇到了不规则图形的面积。早在公元前240年古希腊时期，阿基米德就曾用近似求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积，直到17 世纪，随着极限概念的发展，牛顿和莱布尼茨分别沿用刘徽割圆术的思想，将大图形分割成细小图形，用规则图形来近似不规则图形，求和，取极限，最后得到整个不规则图形的面积—一种特殊形式的和式的极限，即定积分，这里蕴含了微积分解决问题的思想：微小局部以匀代非匀求得近似值，最后借助极限求得精确值。后来他们又各自建立了计算定积分的基本公式—牛顿-莱布尼茨公式，从此人们可以用定积分计算一个不规则图形的面积。

1.4 不封闭图形的面积

事实又一次刷新了我们的认知，一块不封闭的无限延伸的平面图形的面积可能是一个有限的定值，这另一方面也促使了积分概念从黎曼积分向反常积分的推广。

1.5 空间曲面的面积

对于空间的某些规则曲面，像圆柱体的侧面，可以通过剪开，展开成长方形来计算面积。对于一般的空间曲面，它是高度不均匀变化的量，关于区域具有可加性，可借助积分学处理问题的元素法的思想：分割、近似（用相应切平面上平面面积代替）、求和、取极限，得到一个特殊形式的和的极限，进一步可转化成投影区域（以 面为例）上的二重积分空间曲面的面积也可以直接分割、求和、取极限，即用被积函数为1 的第一类曲面积分表示。这又进一步促进了积分学的发展，将积分区域从数轴上的区间，推广到平面区域和空间曲面域。

1.6 进一步拓展

面积是一种度量手段，从“度量”的角度说，一维长度，二维面积，三维体积，更高维的测度，是“面积”的外延，我们可以从纵向的深入，横向的拓展，经纬两方面介绍。

自此，我们研究了面积这一概念的从无到有，及面积计算公式的产生发展过程，它是人们为了解决实际问题而引入的，凝聚了劳动人民伟大的智慧和他们锲而不舍的探索精神。面积计算从规则到不规则，从封闭到不封闭，从平面到空间，融入了数学思维和科研方法，预示着科学的进步，文明的发展。

2 结束语

数学概念和定理是数学知识的基础，来源于实践，是对实际问题高度抽象的结果，能更准确地反映科学的本质，具有普遍意义。[10]如果在讲解这些数学知识时能以专题的形式作为补充，讲清概念或定理的产生背景、发展规律、拓展外延，可以帮助同学们了解这些知识产生的历史，理解它们的本质，掌握它们在实际中或后续课程中的应用，培养学生数学思维，锻炼学生科研方法，将数学家追求真理的不畏困难、坚持不懈的小故事带入课堂，将知识传授、能力培养、思想引领融为一体。

对高等数学这门学科来说，有许多内容可以列为专题讨论：（1）映射、函数、泛函概念的区别与联系；（2）微积分的发展简史（按历史顺序梳理极限、导数、定积分、不定积分等概念根据实际需要一个个产生、发展，又进一步完善的过程）；（3）积分方法总结（采用结构分析法，通过分析被积函数的特点来寻求计算定积分的方法），这对后面重积分及线面积分的学习起奠定基础的作用；（4）微分方程典型案例（实际问题建模转化成数学问题——微分方程，分析方程的类型，总结求解方法）。