聚焦面积本质促进“量感”培育——核心素养背景下的“平行四边形的面积”教学改进

姚红霞，李永胜

（东丰县教师进修学校，吉林东丰136300）

一、问题的提出

“平行四边形的面积”是小学数学比较经典的课例，各版本教材的编排大体相同，一般包括数方格比较面积、猜想公式、图形转化、公式推导等基本环节，其中蕴含的转化思想为后继学习图形面积公式、体积公式积累了一定的操作经验，因而历来受到广大教师的重视，在各级公开课、赛课中出现率较高。

在核心素养背景下重新审视这节课，“平行四边形的面积”一课承载了哪些数学素养？这些素养应该以何种方式呈现在教学之中？“数方格”的数学价值体现在哪里？如何让图形转化成为学生的学习需求？怎样让学生深刻理解公式并加以运用？围绕着这些问题，笔者开展了相关的行动研究和课例研究，以期促进核心素养目标的达成。

二、核心素养背景下的教材理解与目标定位

（一）教材理解（以人教版教材为例）

1.问题情境。比较两个花坛的面积，一个是长方形，一个是平行四边形，由此引出对于平行四边形面积的学习。

2.数方格求面积。把两个图形放在方格纸上（见图1），每个方格为1m2，但平行四边形出现了不满一格的情况，因此教材提示“不满一格的都按半格计算”。这样的编排一方面可以直接回答情境中的问题，得出面积相等的结论；另一方面也体现了面积的数学本质——用面积单位测量出的具体数值，即图形的面积是面积单位累加的结果。［1］

图1 “数方格”比较面积

在平行四边形中，将不满一格的按半格计算，减轻了思考的难度，通过简单的计算可以“数”出平行四边形的面积，但这样的规定使得“数方格”变成了估算，并不能得到精确的面积数。［2］教师在教学实践中可以引导学生在“数得准”上多加思考，鼓励学生尝试将“不满一格”的通过平移“拼整格”，形成几行完整的面积单位（见图2），通过“每行面积单位数量行数”清晰地“看出”平行四边形的面积［3］，这样更有利于量感的培养。另外，“拼整格”活动也为后面的图形转化提供操作经验。实事上，将平行四边形转化成长方形本身就是一个“拼整格”活动，只有保证面积单位数量不变，才能确保“等积变形”。

图2 拼整格

3.猜想公式。将两个图形的相关数据填写在表格中（见表1），并借此猜测平行四边形的面积计算公式。表格中的两行数据规律性极强，很容易猜想出平行四边形的面积用“底×高”计算。

表1 猜想面积公式

从落实核心素养的角度看，如果把“量感”作为核心目标，那么猜想公式就应该回归到图形本身，从“数面积单位”的角度提出猜想。观察“拼整格”后的图形不难发现：每行面积单位的数量是平行四边形的长，面积单位的行数是平行四边形的底。

4.图形转化与公式推导。以小组合作的方式将平行四边形转化成长方形，并通过观察图形转化前后的等量关系推导出计算公式。

有了前面“拼整格”“数得准”的经验，再让学生在“数得快”上深入思考，减少平移的次数，直接沿着高平移，就能一次性拼成整格，同时也完成了图形的转化。这也回应了为什么要把平行四边形转化成长方形而不是别的图形的问题——面积单位是正方形，面积单位有规律地排列就一定是由正方形构成的组合图形，而长方形是最普通的一种。

公式的推导过程是典型的逻辑推理，是培育学生推理意识的较好素材。

（二）目标定位

基于核心素养对小学数学教学的要求以及对教材理解，可知“平行四边形面积”一课蕴含了对发展量感、培养推理意识、提高应用意识等数学素养的培养目标。因此，在数学素养视域下，其教学目标应做如下的定位：

1.经历数方格求平行四边形面积的过程，体会面积的本质——面积单位的累加，初步渗透图形转化思想，建立量感；

2.能够有理有据地猜测平行四边形面积公式，经历探索平行四边形面积计算公式的过程，培养推理意识；

3.掌握平行四边形面积公式的计算方法，能在现实背景下解决相关问题，促进数学学习的应用意识，进一步提高解决实际问题的能力。

（三）教学重、难点的确定

在传统教学中，一般把本课的教学重点设定为“运用转化法推导平行四边形面积公式，能运用公式计算图形面积”。在数学素养体系下，上述的知识与技能目标仍是不可缺少的，但数学核心素养应成为更上位的目标，要在重、难点中加以体现。

教学重点：进一步理解面积的本质，发展有关平行四边形面积的量感。

教学难点：积累图形转化的数学经验，从面积单位角度理解图形转化的原理。

三、核心素养背景下的“平行四边形的面积”教学改进

（一）创设情境，引领学习

1.学校组织公益劳动，要给两个花池除草，把长方形的分给了五（1）班，把平行四边形的分给了五（2）班，现在两个班级的同学想比较一下哪个花池大？同学们，你能帮他们解决这个问题吗？

生1：这两个花池看起来相差不多，我们可以量一量、算一算。

师：你说的是量长度、算面积吧，可是我们不会计算平行四边形的面积呀！

师：大家想过用面积单位来量吗？

生2：我们可以直接用1㎡的正方形来量，看看哪个花池摆的正方形多，哪个面积就大。

师：我们把这两个花池按比例缩小，画在纸上，咱们就来量一量、数一数！

【设计意图：引导学生运用面积单位的本质——含有面积单位的多少来解决面积比较问题。】

（二）数方格，提出猜想

1.初步感知，拼成整格

（1）初次尝试，自主数格

为了方便大家比较面积，老师在两个图形上印了方格（见图1），1小格代表1㎡，现在你们能数出这两个图形的面积各是多少吗？请同学们独立完成，看看谁数得又准又快。

学生自主学习后汇报。

生1：我数出了长方形一行有6 格，有4 行，一共有24 格，所以它的面积是24㎡。但是平行四边形有不满一格的，我数不准。

生2：我把不满一格的按半格算，平行四边形整格的有20 个，不满一格的有8 个，20+82=24，所以平行四边形的面积就是24㎡。

（2）再次探究，渗透转化

一个小格就是一个面积单位，图形里有几个小格，它的面积就是几。我们用“数单位”的方法求面积，虽然慢一点，但思路是正确的，可是像上面同学那样，把不满一格的按半格算，这是估算结果。你们有办法“数得准”吗？同桌之间先交流一下想法，在方格纸上画一画、数一数。

同桌交流后汇报。

生1：我把平行四边形左下角的大半格平移到右下角的小半格处，正好是一格，每个不满一格的都可以这样平移，这样就数得准了，合起来一共有24个整格（见图3）。

图3 数格子-1

生2：我把平行四边形左下角的小三角形平移到右下角处，正好是2格；把左上角的小三角形移到右上角也是2格，这样就数得准了，合起来一共有24个整格（见图4）。

图4 数格子-2

生3：我把平行四边形左边的大三角形平移到右边，全变成了整格，数起来更快了（见图5）。

图5 数格子-3

【设计意图：“数方格”的本质是用面积单位来度量图形的面积，有利于学生形成量感；“数得准”暗含了图形转化，只有把不满一格的拼成整格才能得到准确的面积，“拼整格”是图形的局部转化，为整个图形的转化积累了操作经验。】

2.解决问题，提出猜想

（1）再数方格，感知算法

师：我们的同学非常有智慧，只用几笔就解决了平行四边形里不满一格的问题，现在你们能很快数出它的面积吗？能比较两个花池的大小了吧！

生1：原来有20 个整格，又平移出了4 个整格，一共是24格。

生2：“拼整格”后，有4 个长条，每个长条有6格，面积就是24㎡。

生3：我数的方法更简单，看最后一个（指图5），一行有6格，有4行，面积就是24㎡。

师：现在能比较出两个花池的面积了吗？

生：都是24㎡，两个花池的面积相等。

【设计意图：再次数方格，体现了量感的价值所在，从一行有几个小格到有这样的几行，再到一共包含了多少格，体现的是“数面积单位数量”是多少，是面积计算的基本原理。】

（2）猜想平行四边形的面积计算公式

我们用数方格——也就是“量面积”的方法解决了花池面积问题，如果我们要计算一个平行四边形广场、一块平行四边形农田的面积，还能用面积单位来量吗？我们要找到一个便捷的计算方法。

请同学们观察“拼整格”得到的图形（见图3~图5），你觉得平行四边形的面积和哪个图形有关？能猜测一下平行四边形的面积计算公式吗？说出你的依据。

生1：我们在数格子的过程中把平行四边形转化成了一个或几个小长方形，我想平行四边形的面积一定和长方形的面积有关。

生2：在“拼整格”时，我们直接把平行四边形拼成了长方形，我也觉得平行四边形的面积一定和长方形的面积有关。

生3：长方形的面积是底乘高，平行四边形的面积也可能是相邻的两条边相乘。

生4：我不同意他（指生2）的想法，平移小格时，平行四边形短边（与底相邻的边）已经不存在了，不能用不存在的边来计算。

生5：平移小格后，平行四边形变成了长方形，我猜测平行四边形的面积是底乘高。

生6：“拼整格”后的方格数就是用底乘高算出来的，我也觉得平行四边形的面积是底乘高。

【设计意图：有理有据地猜想体现了思维严谨的数学；由数方格猜想面积公式，体现了由“理”到“法”的过程，是学生量感形成的一次飞跃；同时提示了平行四边形转化成长方形的学理依据。】

（三）图形转化，推导公式

1.动手操作，合作探究

出示小组探究要求：（1）图形转化，利用手中的学具，把平行四边形转化成长方形；（2）推导公式，根据长方形面积公式，推导出平行四边形的面积公式。（注：为了便于发现图形转化前后的等量关系，每组都配备了两个同样的平行四边形，只割补其中的一个，另一个保持不变。）

2.展示交流，推导公式

组1：我们组从平行四边形的一个顶点沿高剪开，形成一个三角形和一个梯形，可以拼成一个长方形（见图6）。长方形的面积等于长乘宽，长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽和平行四边形的高相等，因此平行四边形的面积等于底乘高。

图6 图形转化-1

组2：我们沿平行四边形的任意一条高剪开，得到了两个梯形，可以拼成一个长方形（见图7）。根据转化前后底和长相等、高和宽相等，我们也发现了平行四边形的面积等于底乘高。

图7 图形转化-2

组3：我们组从平行四边形的两个顶点沿高剪开，形成两个三角形和一个长方形，这三个图形也正好能拼成一个长方形（见图8）。虽然转化起来有点麻烦，但面积也是不变的，长方形的长和宽也正好与平行四边形的底和高相等，仍然可以推导出平行四边形的面积等于底乘高。

图8 图形转化-3

3.小结

师：大家做得真好，用不同的方法把平行四边形转化成了长方形，转化前后的面积不变。我们已经知道了长方形面积等于长乘宽；图形转化后，我们又发现了长与底、宽与高是相等的；那么我们就可以用“底”取代“长”、用“高”取代“宽”，这样我们就推导出了平行四边的面积计算公式。

平行四边的面积计算公式也可以用字母表示为S=ah。

【设计意图：让学生经历图形转化的过程，感知面积的不变与图形形状上的变化，并由此推导出面积计算公式；发挥几何直观的作用，运用等量代换思想有条理地叙述推理过程，培养推理意识。】

（四）紧扣本质，深化理解

1.测量并计算平行四边形框架面积，在变化中理解面积的本质。

老师为每个小组准备了平行四边形框架，它们的邻边长都是20cm 和15cm，请你测量所需数据，计算出平行四边形框架的面积。

（1）学生独立完成后，组织全班交流。

生1：我发现边长15cm 是多余条件，我又测量了它的高是12cm，框架面积是20×12=240（cm2）。

生2：我也没用到15cm 的边，测量的高是9cm，框架面积是20×9=180（cm2）。

生3：我手上的框架和他们的都不一样，它的高是7cm，框架面积是20×7=140（cm2）。

生4：我们的框架比较特殊，正好是长方形，不需要测量，直接计算，面积是20×15=300（cm2）

（2）探索面积变化规律。

师：我给大家提供的框架边长是相同的，可是面积却各不相同，这是什么原因呢？我们把这些框架叠在一起（图9），看看你有什么发现。

图9 变化的长方形框架

生1：框架被拉得越高，面积就越大，当拉成长方形的时候面积最大。

生2：框架被拉高，它的高就增加了，底不变，面积自然就变大了。但这个面积不能无限大，把它拉成长方形的时候，面积是最大的。

生3：我发现平行四边形的面积与底和高有关，任何一个量增大或减小，面积就会随着增大或减小。

生4：我发现了框架边长不变，意味着周长都相等，但周长相等的平行四边形面积不一定相等。

师小结：同学们善于观察、勤于思考，发现了这么多有价值的数学规律。正如大家所说的那样，平行四边形在底不变的情况下，面积随着高的变化而发生改变，且与周长无关，当成为长方形时，面积最大。

【设计意图：经历有选择地测量长度、计算面积的过程，模拟现实问题，提高学生解决实际问题的能力；从变化的角度深入理解面积的含义，进一步培养学生的量感，渗透函数思想。】

2.从图形转化角度理解“底高对应”问题。

计算下图的面积（见图10），小丽用7×4.5 计算，小华用7×6计算，谁算得对？说说你的依据。

图10 底高对应-1

学生独立思考后得出结论：小丽算得对，小华的计算没有用对应的底和高相乘。

师追问：计算面积，为什么一定要“底高对应”呢？道理在哪儿？

生：思考，不语。

师：让我们再退回到图形转化，把平行四边形转化为长方形（见图11），想一想平行四边形“底高对应”的依据到底是什么。

图11 底高对应-2

生恍然大悟：对应的底和高是转化后长方形的长和宽，另一条不对应的高只是长方形内部的一条线。

【设计意图：“底高对应”不是数学实事，而是基于面积公式推导的一个推论，学生需要再次回到图形转化中感知其数学依据，建立良好的数学思维品质。】

（五）全课总结，方法迁移

1.通过这节课的学习你有哪些收获？

2.我们还要学习其他平面图形的面积，你有好的学习建议吗？

【设计意图：将面积本质、图形转化、公式推导等核心问题形成概念，用于指导以后的学习。】

四、思考与结论

（一）关注数学本质，建立知识间的关联

“平行四边形的面积”改进教学凝聚了国内多位教育名家和一线教师的智慧，将“数方格”作为课堂教学的核心内容贯穿全课，“数方格”的过程就是用面积单位测量图形面积的过程。这样的思路正是针对面积的本质属性而设计的，学生从“不满一格”到“拼整格”，再到“数整格”“算整格”，进而推导出平行四边形的面积公式，体现了面积单位在平面图形面积中的重要地位——面积是面积单位的累加。正是这样一个最基本的原理，却能够沟通所有的平面图形面积。后续学习的三角形面积、梯形面积，同样也可以在方格纸中实现图形转化，完成公式的推导。［4］如果我们把面积公式看作“法”，那么“数方格”就是形成“法”的最基本的“理”。学生依托这样的“理”就可以建构整个平面图形的面积的知识架构，进而实现“结构地教，关联地学”。

（二）落实数学核心素养，培养思维关键能力

“为素养而教”已经成为业界共识，本课的数学核心素养目标主要体现在“量感”，量感主要是指对事物的可测量属性以及大小关系的直觉感知。［5］学生量感的形成不是一朝一夕的功课，而是日积月累的感悟。从一维空间——长度到二维空间——面积，再到三维空间——体积，都应该像“数方格”一样（长度是“数线段”，体积是“数方块”），从学生的认知起点开始，从知识的逻辑起点开始，先教给学生最基本的“理”，再逐渐推导出方便快捷的“法”，这是核心素养体系下教学的一般规律。只有强化了素养目标的落实，学生才能获得受益终身的关键能力，才能更好地探索未知世界、应对未来学习与生活的挑战。

（三）改进课堂教学，促进整体化教学

实施整体化教学是落实核心素养的必由之路，以自然单元或核心知识为主线的“单元整体教学”也必然以课堂教学的方式呈现在学生面前，选取典型课例探索其教学规律，研究其改进策略是实施整体化教学的必然选择。［6］“平行四边形的面积”一课在发展量感、培养推理意识、促进数学应用意识等方面具有典型性，这一课时内容的改进意义在于为图形的测量（不仅是面积的测量，也包括长度和体积的测量）整体教学改进提供实证案例，加强单元内部的关联，建构基于单元的核心概念。而这一目的也是在核心素养背景下开展课例研究的最终价值所在。