基于学科融合的太阳高度角、太阳方位角公式推导——以2020年11月金华十校高三地理试题为例

庄炎昊

（浙江金华第一中学, 浙江 金华 321015）

高中地理，是一门严谨的综合性学科。“地理学之父”埃拉托色尼曾精确测算出地球周长，开创并奠定了地理学的数理基础。在高中地理教学中，当定性分析不足以解决极限状态问题时，数学仍然是定量认识、解决地理问题的良好视角和工具。通过关联数学知识，学生可以认识到地理学科的数理性，有助于培养学生的抽象思维和空间想象能力，促进其综合发展。

一、原题呈现

读浙江省某校操场17:20（地方时）拍摄到的日照景观图（见图1），完成24、25题。

图1 日照景观图

24.此时篮球架影子的朝向为（ ）

A.东南 B.东北

C.西南 D.西北

25.拍摄此照片的日期最可能是（ ）

A.3月15日 B.6月15日

C.9月15日 D.12月15日

参考答案：A、B

二、卯酉圈法

根据题意，首先解25题，AC选项日期接近春、秋分，17:20均将日落，太阳高度角应明显小于图中所示，而D选项日期的太阳高度角更小，甚至可能在地平线下，因此拍摄日期最可能为6月15日。在此基础上，下面以30°N，6月15日背景，推断篮球架影子的朝向。

首先采用卯酉圈法解题。如图2所示，B为30°N该日周日圈的圆心，A点、C点为周日圈与卯酉圈的交点，时间分别为当地时间18:00和6:00。由此估计17:20太阳大约在Q处，约10°，因此太阳在西北天区，篮球架影子朝向东南。

图2 卯酉圈法解题示意图

卯酉圈法的优点在于能够快速地得出6:00时、18:00时太阳在天球上的位置，即C、A两点，从而判断与此时相近时间太阳在天球的位置，进一步判断日影朝向。但对于其他时间，如9:00、15:00等时刻的日影朝向，此法则无法准确定位。

三、三角函数法

此题中若能知道太阳位于正东、正西方位的地方时，则可快速推断17:20的太阳方位。

基于此，笔者采用三角函数推导得出公式，可定量计算任意纬度（φ）、任意日期（太阳直射纬度为δ）太阳处于正东、正西方位的地方时。

针孔模型是摄像头的最简单模型。其原理是,光线从场景或物体发射过来,经过一个点可认为针孔,被投影到成像表面,在图像平面上,图像被聚焦。因此与远处物体相关的图像大小可以只用一个摄像头参数来描述:焦距。

图3 三角函数法解题示意图

下面笔者以该日太阳到达正西方位为例，求算∠JBF的大小。推导过程如下：

验证：在金华十校题中，若该地为杭州（30°N），日期取6月15日，则φ=30°，δ≈21.5°。

所以，太阳在正西方位的地方时为12:00+46.9°×4°/min≈15:08，远早于题目中给的17:20。因此，当地方时为17:20时，太阳已经位于西北天区，影子的朝向应为东南。根据此公式可定量计算出任意纬度（φ）、任意日期（太阳直射纬度为δ）太阳处于正东、正西方位的地方时。

四、太阳高度角、方位角计算公式推导

为解决这一问题，必须将边角关系放入天球中，且运用部分球面三角形的公式定理。因此在此引入球面三角形边的余弦公式，如下：

图4 球面三角形边的余弦定理示意图

图5 太阳位于L点时的天球示意图（推导太阳高度角）

Z为天顶，连接ZL并延长，与地平圈相交于K，ZK为地球大圆的1/4，因此，所对圆心角∠LOK即为此刻太阳的高度角，记为h。△PZL即为天文三角形，是计算天体周日运动问题的重要三角形。[1]

上式即任意纬度（φ）、任意日期（太阳直射纬度为δ）、任意时角角度（t）的太阳高度角计算公式。

图6 太阳位于L点时的天球示意图（推导太阳方位角）

在球面△LNK中，根据边的余弦公式关系可得：

接下来把∠β放入球面△NPL中，根据边的余弦公式关系可得：

综上，已知任意纬度（φ）、任意日期（太阳直射纬度为δ），任意时角角度（t），求算太阳高度角（h）及方位角（α）的公式如下。

时角角度t所对应的地方时有上午、下午两类，且关于12:00对称，所以根据公式一求得的h值也代表了上、下午地方时的太阳高度。因此，在公式二中，0°＜α＜180°时，表示上午，180°＜α＜360°时，表示下午。

综上所述，树立学科间融合的教学思想，不仅能够促进教师主动反思教学过程、探究和创新教学方法、丰富教学内容、提高教学效率，而且有助于教师地理素养和综合素养的提高。